Задача бифуркации стационарного потока в периодический по времени поток является существенно двумерной. В одномерной задаче невозможно, чтобы периодическое по времени решение ответвлялось от стационарного решения. В двумерном автономном случае снова рассмотрим эволюционную задачу (IV.2):
\[
\dot{u}_{i}=A_{i j}(\mu) u_{j}+B_{i j k}(\mu) u_{j} u_{k}+\text { ч. в. п., }
\]

где $\dot{u}_{i} \stackrel{\text { def }}{=} d u_{i} / d t$, а $A_{i j}(\mu)$ суть компоненты $\mathbf{A}(\mu)$.
Мы предполагаем, что дискриминант $\left(A_{11}-A_{22}\right)^{2}+4 A_{12} A_{21}$ отрицателен в окрестности $\mu=0$. Тогда собственные значения $\sigma(\mu)=\zeta(\mu)+$ $+i \eta(\mu)$ и собственные векторы $\zeta(\mu)$ матрицы $\mathbf{A}(\mu)$ являются комплексно-сопряженными и
\[
\begin{array}{c}
\sigma(\mu) \zeta=\mathbf{A} \zeta \quad\left(\sigma \zeta_{i}=A_{i j} \zeta_{j}\right), \\
\sigma(\mu) \bar{\zeta}^{*}=\mathbf{A}^{T} \bar{\zeta}^{*},
\end{array}
\]

где $\zeta^{*}(\mu)$-сопряженный собственный вектор, отвечающий собственному значению $\bar{\sigma}(\mu)$, со скалярным произведением $\langle\mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle=\mathbf{x} \cdot \overline{\mathbf{y}}$. Можно

ввести следующую нормировку:
\[
\begin{array}{c}
\left\langle\zeta, \zeta^{*}\right\rangle=\zeta \cdot \bar{\xi}^{*}=\zeta_{k} \bar{\zeta}_{k}^{*}=1, \\
\left\langle\zeta, \bar{\zeta}^{*}\right\rangle=\zeta_{k} \zeta_{k}^{*}=0 .
\end{array}
\]

Собственные значения $\sigma(\mu)=\xi(\mu)+i \eta(\mu)$ порождаются спектральной задачей при исследовании устойчивости решения $u_{i}=0$ системы (VII.1). Мы предполагаем, тто эта потеря устойчивости происходит при $\mu=0$, так что $\xi(0)=0$. Мы будем исследовать бифуркацию в периодические решения при выполнении следующих условий:
\[
\eta(0)=\omega_{0}
eq 0 \text { и } \frac{d \xi(0)}{d \mu}=\xi_{\mu}(0)
eq 0
\]
(скажем, $\xi_{\mu}(0)>0$ ).