Теперь мы будем рассматривать эволюционное уравнение
\[
\frac{d \mathbf{u}}{d t}=\mathbf{f}(\mu, \mathbf{u}), \quad \mathbf{f}(\mu, 0)=0, \quad \mathbf{u} \in H .
\]
Малое возмущение $\mathbf{v}=e^{\sigma t \zeta}$ решения $\mathbf{u}=0$ удовлетворяет уравнениям
\[
\frac{d \mathbf{v}}{d t}=\mathbf{f}_{u}(\mu \mid \mathbf{v}), \quad \sigma \xi=\mathbf{f}_{u}(\mu \mid \xi)
\]
где
\[
\mathbf{f}_{a}(\mu \mid \cdot) \stackrel{\text { def }}{=} \mathrm{f}_{u}(\mu, 0 \mid \cdot) \stackrel{\text { def }}{=} \mathbf{A}(\mu)(\cdot)
\]
— линейная часть $\mathbf{f}(\mu, \mathbf{u})$, вычисленная в точке $\mathbf{u}=0$, а $\mathbf{f}_{u}(\mu \mid \cdot)$ линеаризованный оператор, введенный в § VI.6. Собственные значения
\[
\sigma(\mu)=\xi(\mu)+i \eta(\mu)
\]
оператора $\mathbf{f}_{a}(\mu \mid \cdot)$ удовлетворяют уравнению (VI.46) 2 для ненулевого ६. Они составляют часть того, что называется спектром $\mathrm{f}_{u}(\mu / \cdot)$. Если $H=\mathbb{R}^{n}$, то спектр целиком состоит из собственных значений. Во многих задачах, связанных с дифференциальными уравнениями с частными производными (например, в эволюционных задачах, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных параболического типа, или в задачах, связанных с уравнениями Навье-Стокса для ограниченных областей), спектр целиком состоит из собственных значений.
Нас будет интересовать случай, когда часть спектра, определяющая характер устойчивости решения $\mathbf{u}=0$, является конечным множеством изолированных собственных значений. Вообще говоря, это верно в $\mathbb{R}^{n}$ и в большей части приложений, относящихся к полям, которые встречаются в континуальной физике и механике.
Вообще говоря, $\xi(\mu)$ и $\eta(\mu)$, а, стало быть, и $\sigma(\mu)$ представляют собой непрерывные функции от $\mu$. Если собственное значение $\sigma$ является алгебраччески простым для некоторого значения $\mu_{0}$ параметра $\mu$, то в окрестности $\mu_{0}$ функции $\xi, \eta$ и $\sigma$ обладают такой же степенью гладкости, что и $\mathbf{f}_{n}(\mu \mid \cdot)$. Такой же степенью гладкости обладают полупростые собственные значения, например, когда возмущение кратного собственного значения на $\mu-\mu_{0}$ расщепляет в первом порядке по $\mu$ – $\mu_{0}$ это собственное значение на некоторое число собственных значений, равное кратности собственного значения $\sigma(\mu)$ при $\mu=\mu_{0}$. B § IV. 7 уже было показано, что если $\sigma$ представляет собой кратное собственное значение с индексом Риса, бо́льшим единицы, для некоторого значения $\mu_{0}$ параметра $\mu$, то, вообще говоря, $\xi, \eta, \sigma$ не обязательно должны быть дифференцируемыми по $\mu$ при $\mu=\mu_{0}$, даже если оператор $\mathbf{f}_{u}(\mu \mid \cdot)$ является аналитическим по $\mu$.
Сопряженным для оператора $\mathbf{f}_{a}(\mu \mid \cdot)=\mathbf{A}(\mu)$ является оператор
\[
\mathbf{f}_{a}^{*}(\mu \mid \cdot) \stackrel{\text { def }}{=} \mathbf{A}^{*}(\mu)
\]
удовлетворяющий (V1.41), а сопряженная спектральная задача имеет вид
\[
\bar{\sigma} \zeta^{*}=\mathrm{f}_{a}^{*}\left(\mu \mid \zeta^{*}\right) .
\]
Устойчивость решения $\mathbf{u}=0$ уравнения (VI.45) может быть установлена на основе знания спектра оператора $\mathrm{f}_{a}(\mu \mid \cdot)$. Предположим, что спектр состоит исключительно из собственных значений. Тогда $\mathbf{u}=0$
Рис. VI.1. Собственные значения $\sigma(\mu)=\xi(\mu)+i \eta(\mu)$ оператора $f_{a}(\mu \mid \cdot)$ в критической точке $\mu=0$. В случае (а) пара комплексно-сопряженных простых собст* венных значений пересекает мнимую ось. В случае (б) одно вещественное собственное значение проходит через начало.
условно устойчиво, если все собственные значения имеют отрицательные вещественные части $(\xi<0)$, и неустойчиво, если какое-нибудь собственное значение имеет положительную вещественную часть. Условная устойчивость $^{1}$ ) означает, что $\mathbf{u}=0$ устойчиво по отношению к малым возмущениям. Условно устойчивое решение может быть неустойчивым по отношению к большим возмущениям, эволюция которых не описывается линейной теорией.
Пусть при $\mu<0$ нулевое решение $\mathbf{u}=0$ условно устойчиво, а при прохождении параметра $\mu$ через 0 это решение теряет свою устойчивость. Мы рассмотрим два случая.
(a) Для $\mu=0$ пара простых собственных значений $\pm i \omega_{0}, \omega_{0}
eq 0$, лежит на мнимой оси, а другие собственные значения имеют отрицательные вещественные части. Для критического значения $\mu=0$ параметра $\mu$
\[
\sigma(0)=i \eta(0)=i \omega_{0}, \quad \xi(0)=0,
\]
1) В отечественной литературе этот термин имеет иной смысл.- Прим. перев.
и мы предполагаем, что $\xi_{\mu}(0)>0$. В этом случае мы получаем бифуркацию в периодические по времени решения (см. гл. VII и VIII). Для приводимого здесь анализа достаточно заметить, что линеаризованная задача
\[
\frac{d \mathbf{v}}{d t}=\mathrm{f}_{t}(0 \mid \mathbf{v})
\]
имеет только два независимых периодических по времени решения:
\[
\mathbf{v}(t)=e^{i \omega_{0} i \zeta} \quad \text { и } \quad \overline{\mathbf{v}}(t) .
\]
Другие решения экспоненциально убывают со временем. В этом случае построение бифуркационного решения связано с проектированием в двумерное пространство.
(б) Для $\mu=0$ единственное собственное значение проходит через начало. Если $\sigma=0$-простое собственное значение, то задача может быть сведена к $\mathbb{R}^{1}$ на основе методов, тождественных методам, использованным для сведения к $\mathbb{R}^{1}$ задачи бифуркации решений в $\mathbb{R}^{2}$, когда собственные значения $(2 \times 2)$-матрицы $\mathbf{A}(0)$ вещественные и различные (см. рис. VI.1).
