Рассмотрим автономное уравнение (XI.2) и далее предположим, что $\mathbf{V}=\hat{\mathbf{U}}(\hat{\omega}(\mu) t, \mu)$ есть $(2 \pi / \hat{\omega}(\mu))$-периодическое решение уравнения (XI.2). В первых параграфах этой главы были найдены субгармонические решения уравнения (XI.2), ответвляющиеся от решения $\hat{\mathbf{U}}$. Теперь нас интересуют рєшения, которые ответвятся, когда условие сильного резонанса $\eta_{0} / \omega_{0}=m / n, n=1,2,3,4$, не выполняется, в то время как другие предположения о спектре оператора $J(\mu)$ остаются теми же, что и в § IX.3. В этом случае, как и в нетривиальном периодическом случае, изученном в гл. X, мы получаем некоторый тор асимптотически квазипериодических решений.

Спектральная задача, связанная с анализом устойчивости решения $\hat{\mathbf{U}}(\tau, \mu)$, описывается уравнением (XI.5), а сопряженная спектральная задача-уравнением (XI.6). При $\mu=\mu_{0}$ мы имеем на мнимой оси простые собственные значения $\pm i \eta_{0}+k i \omega_{0}$ и $0+k^{\prime} i \omega_{0}$ с любыми $k, k^{\prime}$ из $Z$. Тогда для значений $\mu$, близких к $\mu_{0}$, имеем пару простых собственных значений $\gamma(\mu), \bar{\gamma}(\mu)$ оператора $J(\mu)$. Кроме того, нуль по-прежнему является простым собственным значением оператора $J(\mu)$, которое соответствует собственной функции $\hat{\hat{\mathbf{U}}}(\tau, \mu) \stackrel{\text { def }}{=} \Gamma_{0}(\tau, \mu)$. Пусть $\boldsymbol{\Gamma}(\tau, \mu)$ – это собственная функция задачи (XI.5), соответствующая собственному значению $\gamma(\mu)$. Сопряженными собственными функциями задачи (XI.6) являются $\Gamma^{*}(\tau, \mu), \bar{\Gamma}^{*}(\tau, \mu)$ и $\Gamma_{0}^{*}(\tau, \mu)$. На основе вычислений, подобных указанным в упражнении X.1, находим следующие условия биортогональности для всех $\tau$ :
\[
\begin{aligned}
\left\langle\Gamma(\tau, \mu), \Gamma^{*}(\tau, \mu)\right\rangle & =\left\langle\mathbf{\Gamma}_{0}(\tau, \mu), \Gamma_{0}^{*}(\tau, \mu)\right\rangle=1, \\
\left\langle\Gamma(\tau, \mu), \Gamma_{0}^{*}(\tau, \mu)\right\rangle & =\left\langle\boldsymbol{\Gamma}(\tau, \mu), \Gamma_{0}^{*}(\tau, \mu)\right\rangle= \\
& =\left\langle\Gamma(\tau, \mu), \bar{\Gamma}^{*}(\tau, \mu)\right\rangle=0 .
\end{aligned}
\]

Теперь подставим $\mathbf{V}$ в виде разложения
\[
\mathbf{V}=\hat{\mathbf{U}}(\tau, \mu)+\mathbf{Z},
\]

где
\[
\left\langle\mathbf{Z}, \Gamma_{0}^{*}(\tau, \mu)\right\rangle=0 ;
\]

при этом $\mathbf{Z}$ и $\tau$ представляют собой подлежащие определению функции от $(t, \mu)$. В случае сильного резонанса, изученном в предыдущих параграфах, $\tau=s, \mathbf{V}=\hat{\mathbf{\Psi}}$, а $\mathbf{Z}=-\mathbf{Y}$.

Мы хотим привести эту задачу к виду (Х.8), (Х.9), позволяющему исследовать ее методом усреднения, который применялся в § X.2. ${ }^{\prime}$ равнение (XI.2) принимает вид ${ }^{1}$ )
\[
\begin{aligned}
\dot{\tau}\left[\frac{d \hat{\mathbf{U}}}{d \tau}+\frac{d \mathbf{Z}}{d \tau}\right]=\mathbf{F}(\mu, \hat{\mathbf{U}}(\tau, \mu)+\mathbf{Z}) & =\mathbf{F}[\mu, \hat{\mathbf{U}}(\tau, \mu)]+ \\
& \quad+\mathbf{F}_{V}(\mu, \hat{\mathbf{U}}(\tau, \mu) \mid \mathbf{Z})+\mathbf{N}(\mu, \tau, \mathbf{Z}),
\end{aligned}
\]

где $\|N(\mu, \tau, \mathbf{Z})\|=O\left(\|\mathbf{Z}\|^{2}\right)$, и так как $\mathbf{F}[\mu, \hat{\mathbf{U}}(\tau, \mu)]=\hat{\omega}(\mu) d \mathbf{U}(\tau, \mu) / d \tau$, то получаем
\[
(\dot{\tau}-\hat{\omega}) \frac{d \hat{\mathbf{U}}}{d \tau}+\dot{\tau} \frac{d \mathbf{Z}}{d \tau}=\mathbf{F}_{v}(\mu, \hat{\mathbf{U}} \mid \mathbf{Z})+\mathbf{N}(\mu, \tau, \mathbf{Z}),
\]

поэтому
\[
(\dot{\tau}-\hat{\omega})\left(\frac{d \hat{\mathbf{U}}}{d \tau}+\frac{d \mathbf{Z}}{d \tau}\right)=J(\mu) \mathbf{Z}+\mathbf{N}(\mu, \tau, \mathbf{Z}) .
\]

Теперь, дифференцируя (XI.118) по $\tau$, находим, что
\[
\left\langle\frac{d \mathbf{Z}}{d \tau}, \Gamma_{0}^{*}(\tau, \mu)\right\rangle=-\left\langle\mathbf{Z}, \dot{\Gamma}_{0}^{*}(\tau, \mu)\right\rangle .
\]

Проектируя (XI.121) на $\Gamma_{0}^{*}(\tau, \mu)$ и используя (XI.122), находим, что
\[
(\dot{\tau}-\hat{\omega})\left[1-\left\langle\mathbf{Z}, \dot{\Gamma}_{0}^{*}(\tau, \mu)\right\rangle\right]=\left\langle\mathbf{N}(\mu, \tau, \mathbf{Z}), \Gamma_{0}^{*}(\tau, \mu)\right\rangle .
\]

Поэтому
\[
\dot{\tau}=\hat{\omega}(\mu)+\frac{\left\langle\mathbf{N}(\mu, \tau, \mathbf{Z}), \Gamma_{0}^{*}(\tau, \mu)\right\rangle}{1-\left\langle\mathbf{Z}, \dot{\Gamma}_{j}^{*}(\tau, \mu)\right\rangle} .
\]

Теперь, разрешая уравнение (XI.121) относительно $d \mathbf{Z} / d \tau$ и используя (XI.124), получаем уравнение
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \mathbf{Z}}{d \tau}=\left(\hat{\omega}(\mu)+\frac{\left\langle\mathbf{N}(\mu, \tau, Z), \Gamma_{0}^{*}(\tau, \mu)\right\rangle}{1-\left\langle\mathbf{Z}, \dot{\Gamma}_{0}^{*}(\tau, \mu)\right\rangle}\right)^{-1}\left(\mathbf{F}_{v}(\mu, \hat{\mathbf{U}}(\tau, \mu) \mid \mathbf{Z})+\right. \\
\left.+\mathbf{N}(\mu, \tau, \mathbf{Z})-\frac{\left\langle\mathbf{N}(\mu, \tau, Z), \Gamma_{0}^{*}(\tau, \mu)\right\rangle}{1-\left\langle\mathbf{Z}, \dot{\Gamma}_{0}^{*}(\tau, \mu)\right\rangle} \frac{d \hat{\mathbf{U}}(\tau, \mu)}{d \tau}\right),
\end{array}
\]

которое имеет вид уравнения (X.1) и которое нужно рассматривать вместе с вспомогательным уравнением (XI.118). Здесь линеаризован-
1) Далее $\dot{\boldsymbol{\tau}} \stackrel{\text { dei }}{=} d \tau / d t$, тогда как $\dot{\hat{\mathbf{U}}}=d \hat{\mathbf{U}} / d \tau, \dot{\mathbf{Z}}=d \mathbf{Z} / d \tau$.

ный оператор есть
\[
-\frac{d}{d \tau}+(\hat{\omega}(\mu))^{-1} \mathbf{F}_{v}(\mu, \hat{\mathbf{U}}(\tau, \mu) \mid \cdot)=\frac{1}{\hat{\omega}(\mu)} J(\mu) .
\]

Роль вспомогательного условия (XI.118) состоит в том, чтобы устранить нулевое собственние значение (и соответствующие собственные значения, лежащие на мнимой оси) оператора $J(\mu)$.
Теперь, как и в гл. $\mathrm{X}$, представим $\mathbf{Z}$ в виде разложения
\[
\mathbf{Z}=z \boldsymbol{\Gamma}(\tau, \mu)+\overline{z \Gamma}(\tau, \mu)+\mathbf{W},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\left\langle\mathbf{W}, \Gamma^{*}(\tau, \mu)\right\rangle=\left\langle\mathbf{W}, \Gamma_{0}^{*}(\tau, \mu)\right\rangle=0, \\
z=\left\langle\mathbf{Z}, \Gamma^{*}(\tau, \mu)\right\rangle .
\end{array}
\]

Уравнение (XI.125) приводит к ск.стеме
\[
\begin{array}{l}
\frac{d z}{d \tau}=\frac{\gamma(\mu)}{\hat{\omega}(\mu)} z+b(\tau, \mu, z, \bar{z}, \mathbf{W}), \\
\frac{d \mathbf{W}}{d \tau}=\frac{1}{\hat{\omega}(\mu)} \mathbf{F}_{v}(\mu, \hat{\mathbf{U}}(\tau, \mu) \mid \mathbf{W})+\mathbf{B}(\tau, \mu, z, \bar{z}, \mathbf{W}),
\end{array}
\]

где
\[
|b(\tau, \mu, z, \bar{z}, \mathbf{W})|+\|\mathbf{B}(\tau, \mu, z, \bar{z}, \mathbf{W})\|=O\left[(|z|+\|\mathbf{W}\|)^{2}\right] .
\]

В силу предположения, числа $\gamma(\mu) /\left.\hat{\omega}(\mu)\right|_{\mu=0}=i \eta_{0} / \omega_{v}$ не удовлетворяют условиям сильного резонанса, и все экспоненты Флоке для $\mathbf{W}$-части решения лежат в левой части комплексной плоскости. Поэтому, используя результаты гл. X, имеем решения уравнений (XI.130, 131), лежащие на бифуркационном инвариантном торе, в следующей форме:
\[
\begin{array}{l}
z(\tau)=\rho(\tau) \exp \left\{i\left[\frac{\eta_{0}}{\omega_{0}} \tau+\theta(\tau)\right]\right\}+ \\
+\sum_{p+q=2}^{N} \gamma_{p q}^{\prime}(\tau, \mu)[\rho(\tau)]^{p+q} \exp \left\{(p-q) i\left[\frac{\eta_{0}}{\omega_{0}} \tau+\theta(\tau)\right]\right\}+O\left(\varepsilon^{N+1}\right), \\
\mathbf{W}(\tau)=\sum_{p+q=2}^{N} \Gamma_{p q}^{\prime}(\tau, \mu)[\rho(\tau)]^{p+q} \exp \left\{(p-q) i\left[\frac{\eta_{0}}{\omega_{0}} \tau+\theta(\tau)\right]\right\}+O\left(\varepsilon^{N+1}\right),
\end{array}
\]

где, как и в гл. Х, число усечения $N$ неограничено, а функции $\rho(\tau), \theta(\tau), \mu$ отнесены к параметру $\varepsilon$ :
\[
\begin{array}{c}
\mu=\mu_{2} \varepsilon^{2}+\mu_{4} \varepsilon^{4}+\ldots+O\left(\varepsilon^{N+1}\right), \\
\rho(\tau)=\varepsilon+\varepsilon^{n-3} \rho_{n-3}(\theta)+\varepsilon^{n-2} \rho_{n-2}(\theta)+\ldots+O\left(\varepsilon^{N+1}\right), \\
\theta(\tau)+\varepsilon^{n-4} h_{n-4}[\theta(\tau)]+\varepsilon^{n-3} h_{n-3}[\theta(\tau)]+\ldots=\varepsilon^{2} \Omega\left(\varepsilon^{2}\right) \tau+\chi(\tau, \quad \varepsilon) .
\end{array}
\]

В (XI.135) число $n$ определяется уравнением $\exp \left(2 \pi i n \eta_{0} / \omega_{0}\right)=1$, а $\rho_{l}$ и $h_{l}$ суть $2 \pi / n$-периодические функции с равными нулю средними значениями, которые, как и в § X.9,10, можно определить в форме полиномов от $e^{ \pm i n \theta}$. Функция $\chi$ содержит вековые члены по $\tau$, a
\[
\left|\frac{\partial \chi}{\partial \tau}\right|=O\left(\varepsilon^{N}\right)
\]

равномерно по $\tau$.
Уравнениями (XI.117), (XI.127), (XI.133-135) определяются траектории, отнесенные к переменной $\tau$, с начальным условием для $\theta$, даваемым значением $\chi(0, \varepsilon)$. Однако для того, чтобы получить закон движения по этим траекториям, необходимо знать зависимость $\tau(t)$.