Покажем, что бифуркация периодического по времени решения может быть построена из решения линеаризованной задачи в критической точке. Это бифуркационное решение представимо в форме
\[
a(t)=b(s, \varepsilon), \quad s=\omega(\varepsilon) t, \quad \omega(0)=\omega_{0}, \quad \mu=\mu(\varepsilon),
\]

где $\varepsilon$-это амплитуда, определяемая соотношением
\[
\varepsilon=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} e^{-i s} b(s, \varepsilon) d s=[b] .
\]

Решение (VII.6) уравнения (VII.5) единственно с точностью до произвольного переноса начала отсчета времени. Это означает, что при замене $t \rightarrow t+c$ решение $b(s+c \omega(\varepsilon), \varepsilon)$ изменяет свою фазу. Это единственное решение является аналитическим по $\varepsilon$, если функция $f(\mu, a)$ аналитическая по переменным ( $\mu, a, \bar{a})$, и может быть представлено в виде ряда
\[
\left[\begin{array}{c}
b(s, \varepsilon) \\
\omega(\varepsilon)-\omega_{0} \\
\mu(\varepsilon)
\end{array}\right]=\sum_{n=1}^{\infty} \varepsilon^{n}\left[\begin{array}{c}
b_{n}(s) \\
\omega_{n} \\
\mu_{n}
\end{array}\right] .
\]