Если вещественное изолированное простое собственное значение $\sigma(\mu)=\xi(\mu)$ оператора $f_{u}(\mu \mid \cdot)$ строго пересекает начало комплексной $\sigma$-плоскости при $\mu=0$, то получаем бифуркацию решения $\mathbf{u}=0$ в стационарное решение $\mathbf{u}
eq 0$ при $\mu
eq 0$. Эюо решение можно разложить на часть, принадлежащую нуль-пространству оператора $\mathrm{f}_{u}(0 \mid \cdot)$, и малую часть, которая ортогональна собственному вектору $\xi^{*}$ оператора $\mathrm{f}_{u}^{*}(0 \mid \cdot)$, соответствующему $\sigma=0$. Анализ идентичен анализу, проведенному для случая, когда и принадлежит $\mathbb{R}^{2}$, при этом следует иметь в виду, что добавочная малая часть $\mathbf{w}$, определенная в (VI.30), представляет собой некоторый тип «суперпозиции всех других мод»собственных функций оператора $\mathrm{f}_{t}(0 \mid \cdot)$. $\mathrm{B} \mathbb{R}^{n}$ существует $n-1$ дру. гих мод. С другой стороны, для дифференциальных уравнений с част* ными производными такие суперпозиции, даже бесконечные суперпозиции, не всегда возможны. Однако всегда можно определить $\mathbf{~ к а к ~}$ вектор, ортогональный $\zeta^{*}$.

В задачах общего типа в $H$ основным моментом является проверка применимости альтернативы Фредгольма. Говорят, что альтернатива Фредгольма применима, если необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения
\[
\mathbf{f}_{u}(0 \mid \mathbf{v})=\tilde{\mathbf{w}}, \quad \mathbf{v} \in H
\]

состоит в выполнении соотношения
\[
\left\langle\tilde{\mathbf{w}}, \zeta^{*}\right\rangle=0
\]

для всех $\zeta^{*}$, таких, что $\mathbf{f}_{u}^{*}\left(0 \mid \zeta^{*}\right)=0$. Тогда решение $\mathbf{v}$ определяется с точностью до элементов $\zeta$, удовлетворяющих уравнению $\mathrm{f}_{a}(0 \mid \zeta)=0$.

В случаях, уже изученных нами, размерности нуль-пространств операторов $\mathbf{f}_{u}(0 \mid \cdot)$ и $\mathbf{f}_{u}^{*}(0 \mid \cdot)$ совпадают. В этой главе мы имеем одноили двумерные нуль-пространства, ассоциированные с собственным вектором $\xi$, и одно- или двумерное сопряженное нуль-пространство, ассоциированное с $\zeta^{*}$. Поэтому можно найти единственное решение $\mathbf{v}$ уравнения (VI.60), удовлетворяющее
\[
\left\langle\mathbf{v}, \zeta^{*}\right\rangle=0
\]

для всех $\zeta^{*}$ из нуль-пространства $\mathbf{f}_{u}^{*}(0 \mid \cdot)$.
Тогда можно смотреть на теорию § VI. 2 как на соответствующий метод проекции в случае бифуркации в алгебраически простом собственном значении в $\mathbb{R}^{n}$ или в гильбертовом пространстве. Придерживаясь последовательности изложения, которая была уже принята при анализе задач в $\mathbb{R}^{1}$ и в $\mathbb{R}^{2}$, мы в § VI. 10 дадим анализ проекции изолированных решений, которые разрушают бифуркацию в двойном собственном значении с индексом, равным двум, а в § VI. 12 применим этот метод для исследования бифуркации в двойном полупростом собственном значении с индексом, равным единице.