Если вещественное изолированное простое собственное значение $\sigma (\mu )=\xi (\mu )$ оператора $f_u(\mu \mid \cdot )$ строго пересекает начало комплексной $\sigma$-плоскости при $\mu =0$, то получаем бифуркацию решения $\mathbf{u}=0$ в стационарное решение $\mathbf{u}eq0$ при $\mu eq0$. Эюо решение можно разложить на часть, принадлежащую нуль-пространству оператора ${\mathrm{f}}_u(0\mid \cdot )$, и малую часть, которая ортогональна собственному вектору ${\xi }^{\ast }$ оператора ${\mathrm{f}}_u^{\ast }(0\mid \cdot )$, соответствующему $\sigma =0$. Анализ идентичен анализу, проведенному для случая, когда и принадлежит ${\mathbb{R}}^2$, при этом следует иметь в виду, что добавочная малая часть $\mathbf{w}$, определенная в (VI.30), представляет собой некоторый тип «суперпозиции всех других мод»собственных функций оператора ${\mathrm{f}}_t(0\mid \cdot )$. $\mathrm{B}{\mathbb{R}}^n$ существует $n-1$ дру. гих мод. С другой стороны, для дифференциальных уравнений с част* ными производными такие суперпозиции, даже бесконечные суперпозиции, не всегда возможны. Однако всегда можно определить $\mathbf{к}\mathbf{а}\mathbf{к}$ вектор, ортогональный ${\zeta }^{\ast }$.

В задачах общего типа в $H$ основным моментом является проверка применимости альтернативы Фредгольма. Говорят, что альтернатива Фредгольма применима, если необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения
$${\mathbf{f}}_u(0\mid \mathbf{v})=\tilde{\mathbf{w}},\mathbf{v}\in H$$

состоит в выполнении соотношения
$$⟨\tilde{\mathbf{w}},{\zeta }^{\ast }⟩=0$$

для всех ${\zeta }^{\ast }$, таких, что ${\mathbf{f}}_u^{\ast }(0\mid {\zeta }^{\ast })=0$. Тогда решение $\mathbf{v}$ определяется с точностью до элементов $\zeta$, удовлетворяющих уравнению ${\mathrm{f}}_a(0\mid \zeta )=0$.

В случаях, уже изученных нами, размерности нуль-пространств операторов ${\mathbf{f}}_u(0\mid \cdot )$ и ${\mathbf{f}}_u^{\ast }(0\mid \cdot )$ совпадают. В этой главе мы имеем одноили двумерные нуль-пространства, ассоциированные с собственным вектором $\xi$, и одно- или двумерное сопряженное нуль-пространство, ассоциированное с ${\zeta }^{\ast }$. Поэтому можно найти единственное решение $\mathbf{v}$ уравнения (VI.60), удовлетворяющее
$$⟨\mathbf{v},{\zeta }^{\ast }⟩=0$$

для всех ${\zeta }^{\ast }$ из нуль-пространства ${\mathbf{f}}_u^{\ast }(0\mid \cdot )$.
Тогда можно смотреть на теорию § VI. 2 как на соответствующий метод проекции в случае бифуркации в алгебраически простом собственном значении в ${\mathbb{R}}^n$ или в гильбертовом пространстве. Придерживаясь последовательности изложения, которая была уже принята при анализе задач в ${\mathbb{R}}^1$ и в ${\mathbb{R}}^2$, мы в § VI. 10 дадим анализ проекции изолированных решений, которые разрушают бифуркацию в двойном собственном значении с индексом, равным двум, а в § VI. 12 применим этот метод для исследования бифуркации в двойном полупростом собственном значении с индексом, равным единице.