Бифуркационное решение (V.3) можно получить непосредственно из (V.2) или же его можно построить применением процедуры, которая использовалась для (V.3). При этом примем во внимание, что $a_{0}=b_{\mathrm{n}}=c_{\mathrm{n}}=d_{0}=0$, и определим
\[
\begin{array}{c}
\hat{u}_{l}=\frac{u_{l}}{\mu}, \\
\hat{f}_{l}\left(\mu, \hat{u}_{1}, \hat{u}_{2}\right) \stackrel{\text { def }}{=} \frac{f_{l}\left(\mu, u_{1}, u_{2}\right)}{\mu^{2}}=0,
\end{array}
\]
тде $l=1,2$, и
\[
\begin{array}{l}
\hat{f}_{1}\left(\mu, \hat{u}_{1}, \hat{u}_{2}\right)=a^{\prime} \hat{u}_{1}+b^{\prime} \hat{u}_{2}+\alpha_{1} \hat{u}_{1}^{2}+2 \beta_{1} \hat{u}_{1} \hat{u}_{2}+\gamma_{1} \hat{u}_{2}^{2}+O(|\mu|), \\
\hat{f}_{2}\left(\mu, \hat{u}_{1}, \hat{u}_{2}\right)=c^{\prime} \hat{u}_{1}+d^{\prime} \hat{u}_{2}+\alpha_{2} \hat{u}_{1}^{2}+2 \beta_{2} \hat{u}_{1} \hat{u}_{2}+\gamma_{2} \hat{u}_{2}^{2}+O(|\mu|),
\end{array}
\]
а $a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}, d^{\prime}, \alpha_{l}, \beta_{l}, \gamma_{l}$ суть функции от $\mu$. Если $\mu=0$, то уравнения $\hat{f}_{l}\left(0, \hat{u}_{10}, \hat{u}_{20}\right)=0$ описывают конические сечения:
\[
\begin{array}{l}
\hat{f}_{10} \stackrel{\text { def }}{=} \hat{f}_{10}\left(0, \hat{u}_{10}, \hat{u}_{20}\right)= \\
\quad=a_{0}^{\prime} \hat{u}_{10}+b_{0}^{\prime} \hat{u}_{20}+\alpha_{10} \hat{u}_{10}^{2}+2 \beta_{10} \hat{u}_{10} \hat{u}_{20}+\gamma_{10} \hat{u}_{20}^{2}=0, \\
\hat{f}_{20}^{\text {def }}=\hat{f}_{2}\left(0, \hat{u}_{10}, \hat{u}_{20}\right)= \\
\quad=c_{0}^{\prime} \hat{u}_{10}+d_{0}^{\prime} \hat{u}_{20}+\alpha_{20} \hat{u}_{10}^{2}+2 \beta_{20} \hat{u}_{10} \hat{u}_{20}+\gamma_{20} \hat{u}_{20}^{2}=0 .
\end{array}
\]
Бифуркационные решения получаются как точки пересечения двух конических сечений. Эти конические сечения пересекаются в $\left(\hat{u_{1}}, \hat{u_{2}}\right)=(0,0)$ при любом $\mu$. Кроме начала существуют самое
Рис. V.3. Бифуркационные кривые, когда уравнение $\mathscr{C}\left(y_{0}\right)=0$ имеет три корня и выполняется (V.23) для каждой пары $\lambda^{[k]}(0), y^{[k]}(0)$.
большее три других решения (см. рис. V.3). Точки пересечения $(\mathrm{V} .29)_{1}$ и (V.29) $)_{2}$, отличные от $(0,0)$, соответствуют корням кубического уравнения $\mathscr{C}\left(y_{0}\right)=0$ (V.26). В дополнение к $(0,0)$ существуют или три решения, или два решения, или одно решение (см. рис. V.4). Уравнения (V.7) связаны с приведенными здесь уравнениями преобразованием $\left(\mu, \hat{u_{1}}, \hat{u}_{2}\right)=(\varepsilon \lambda, 1 / \lambda, y / \lambda)$.
Связь между существованием и устойчивостью бифуркационных решений, которая упоминалась в § V.1, имеет особенно прозрачную форму в параметризации (V.27). Сначала заметим, что $y(\mu)=$ $=\mu \mathscr{y}_{0}+O\left(\mu^{2}\right)$ и
\[
\operatorname{det} y=\mu^{2} \operatorname{det} y_{0}+O\left(|\mu|^{3}\right),
\]
где
\[
\mathscr{y}_{0}=\left[\begin{array}{ll}
\frac{\partial \hat{f}_{10}}{\partial \hat{u}_{10}} & \frac{\partial \hat{f}_{10}}{\partial \hat{u}_{20}} \\
\frac{\partial \hat{f}_{20}}{\partial \hat{u}_{10}} & \frac{\partial \hat{f}_{20}}{\partial \hat{u}_{20}}
\end{array}\right] \text {. }
\]
Устойчивость решений (V.3) по отношению к малым возмущениям определяется знаком вещественных частей собственных значений
Три решения
Рис. V.4. Бифуркационные решения вида (V.3) соответствуют гочкам пересечения двух конических сечений (V.28). Бифуркация гарантируется теоремой о неявной функции, если решениям соответствуют очки пересечения, а не точки касания.
$\gamma_{1}(\mu), \gamma_{2}(\mu)$ матрицы $y(\mu)$. Если $\mu$ мало́, то
\[
\left(\gamma_{1}(\mu), \gamma_{2}(\mu)\right)=\mu\left(\gamma_{10}, \gamma_{2 v}\right)+o(\mu),
\]
где $\left(\gamma_{10}, \gamma_{20}\right)$-собственные значения $y_{0}$. Решения (V.3) уравнений $f_{l}\left(\mu, u_{1}, u_{2}\right)=0$ устойчивы, когда $\mu>0$ мало́, если $\operatorname{Re} \gamma_{10}<0$ и $\operatorname{Re} \gamma_{20}<0$. Если же $\operatorname{Re} \gamma_{10}>0$ или $\operatorname{Re} \gamma_{20}>0$, то решения (V.3) неустойчивы.
Теорема о неявной функции гарантирует существование бифуркации для $\mu$, близких к нулю, если удовлетворяются уравнения (V.29) и
\[
\operatorname{det} y_{0}=\gamma_{10} \gamma_{20}
eq 0 \text {. }
\]
Это условие не выполняется в точке касания (см. рис. V.4). Если $\operatorname{det} y_{0}<0$, то или $\gamma_{10}>0$, или $\gamma_{20}>0$, и одно из двух собственных значений
\[
\gamma_{1}(\mu)=\gamma_{10} \mu+O\left(|\mu|^{2}\right)
\]
или
\[
\gamma_{2}(\mu)=\gamma_{20} \mu+O\left(|\mu|^{2}\right)
\]
будет положительным, когда $|\mu|$ мало. Поэтому отсюда следует, что бифуркационное решение (V.3) неустойчиво с обеих сторон от критического значения, если $\operatorname{det} y_{0}<0$ (как на рис. V.1(б)).
Если $\gamma_{10}$ вещественное и $\operatorname{det} y_{0}<0$, то $\gamma_{10}$ и $\gamma_{20}$ одновременно положительные или одновременно отрицательные. Тогда уравнение
Рис. V.5. Распределение устойчивости, когда det $y_{0}>0$, а собственные значения вещественные. Здесь $\varepsilon=u_{1}$ или $\varepsilon=u_{2}$. В (а) суперкритическое решение неустойчиво, а субкритическое решение устойчиво.
(V.31) показывает, что бифуркационное решение устойчиво с одной стороны от критической точки и неустойчиво с другой ее стороны (см. рис. V.5).
Случай, когда $\gamma_{20}=\bar{\gamma}_{10}$ комплексное, не столь очевидным образом связан с $y_{0}$. В этом случае двойное собственное значение расщепляется на пару комплексно-сопряженных, как на рис. IV. 3 (г) (где следует заменить $\sigma$ на $\gamma$ ). В этом случае, если $\operatorname{Re} \gamma_{10}=\operatorname{Re} \gamma_{20}
eq 0$ (след $\mathscr{y}_{0}
eq 0$ ), мы имеем тот же тип анализа устойчивости, что и на рис. V.5.
