Необходимо уточнить понятие двойных точек. Пусть $\left(\mu_{0}, \varepsilon_{0}\right)$ особая точка. Тогда равновесные кривые, проходяцие через особые точки, должны удовлетворять уравнению
\[
2 F(\mu, \varepsilon)=F_{\mu \mu} \delta \mu^{2}+2 F_{\varepsilon \mu} \delta \varepsilon \delta \mu+F_{\varepsilon \varepsilon} \delta \varepsilon^{2}+o\left[(|\delta \mu|+|\delta \varepsilon|)^{2}\right]=0,
\]

где $\delta \mu=\mu-\mu_{0}, \delta \varepsilon=\varepsilon-\varepsilon_{0}, F_{\mu \mu}=F_{\mu \mu}\left(\mu_{0}, \varepsilon_{0}\right)$ и т. д. В пределе при $(\mu, \varepsilon) \rightarrow\left(\mu_{0}, \varepsilon_{0}\right)$ уравнение (II.6) для кривых $F(\mu, \varepsilon)=0$ приводится к квадратному уравнению
\[
F_{\mu \mu} d \mu^{2}+2 F_{\varepsilon \mu} d \varepsilon d \mu+F_{\varepsilon \varepsilon} d \varepsilon^{2}=0
\]

для тангенсов угла наклона касательных к кривым. Отсюда находим
\[
\left[\begin{array}{l}
\mu_{\varepsilon}^{(1)}\left(\varepsilon_{0}\right) \\
\mu_{\varepsilon}^{(2)}\left(\varepsilon_{0}\right)
\end{array}\right]=-\frac{F_{\varepsilon \mu}}{F_{\mu \mu}}\left[\begin{array}{l}
1 \\
1
\end{array}\right]+\sqrt{\frac{D}{F_{\mu \mu}^{2}}}\left[\begin{array}{r}
1 \\
-1
\end{array}\right]
\]

или

где
\[
D=F_{e_{11}}^{2}-F_{\mu \mu} F_{\varepsilon e} .
\]

Если $D<0$, то не существует вещественных касательных, проходящих через $\left(\mu_{0}, \varepsilon_{0}\right)$, и точка $\left(\mu_{0}, \varepsilon_{0}\right)$ является изолированной (сопряженной) точкой — решением уравнения $F(\mu, \varepsilon)=0$.

Рассмотрим случай, когда ( $\left.\mu_{\theta}, \varepsilon_{0}\right)$ не является особой точкой высокого порядка. Значит, ( $\left.\mu_{0}, \varepsilon_{0}\right)$ есть двойная точка тогда и только тогда, когда $D>0$. Если две кривые проходят через особую точку и $D=0$, то тангенс угла наклона касательной в особой точке, в которой касание кривых имеет высокий порядок, определяется уравнением (II.8) или (II.9). Если $D>0$ и $F_{\mu \mu}
eq 0$, то существуют две касательные с тангенсами углов наклона $\mu_{e}^{(1)}\left(\varepsilon_{0}\right)$ и $\mu_{e}^{(2)}\left(\varepsilon_{0}\right)$, даваемыми уравнением (11.8). Если $D>0$ и $F_{\mu \mu}=0$, то $F_{\varepsilon \mu}
eq 0$,
\[
d \varepsilon\left[2 d \mu F_{\varepsilon \mu}+d \varepsilon F_{\varepsilon \varepsilon}\right]=0
\]

и существуют две касательные с тангенсами углов наклона $\varepsilon_{\mu}\left(\mu_{0}\right)=0$ и $\mu_{\varepsilon}\left(\varepsilon_{0}\right)=-F_{\varepsilon \varepsilon} / 2 F_{\varepsilon \mu}$. Если $\varepsilon_{\mu}\left(\mu_{0}\right)=0$, то $F_{\mu \mu}\left(\mu_{0}, \varepsilon_{0}\right)=0$. Таким образом, все возможные ситуации исчерпываются следующими двумя случаями:
(A) $D>0, F_{\mu \mu}
eq 0$ с тангенсамл угла наклона касательных $\mu_{\varepsilon}^{(1)}\left(\varepsilon_{0}\right)$ и $\mu_{\varepsilon}^{(2)}\left(\varepsilon_{0}\right)$.
(Б) $D>0, \quad F_{\mu \mu}=0$ с тангенсами угла наклона касательных $\boldsymbol{\varepsilon}_{\mu}\left(\mu_{0}\right)=0$ и $\mu_{\varepsilon}\left(\varepsilon_{0}\right)=-F_{\varepsilon \varepsilon} / 2 F_{\varepsilon \mu}$.