Теперь нашей основной целью является вывод аналитических выражений для тора, изображенного на рис. X.1, поперечное сечение которого описывается уравнением $\rho=\boldsymbol{\rho}(\theta)$, где $(\rho, \theta)$-полярные координаты, связанные с $x$ и $y$ соотношениями
\[
y=e^{i \omega_{0} t} x, \quad x=\rho e^{i \theta} .
\]
Для того чтобы преобразовать к полярным координатам уравнение (X.33), описывающее эволюцию $у$ в случае, когда $r$ иррационально, и уравнение (X.34), описывающее эволюцию $у$ в случае, когда $r=$ – $m / n$ рационально, рассмотрим преобразование (X.38) и соотношение
\[
\dot{y}=\left[\dot{\rho}+i \omega_{0} \rho+i \dot{\theta} \rho\right] e^{i\left(\theta+\omega_{0} t\right)} .
\]
Тогда в рациональном случае получаем
\[
\begin{array}{l}
\dot{\rho}=\rho\left\{\mu \hat{\xi}(\mu)+\sum_{q \geqslant 1}^{2 q+1 \leqslant N} \operatorname{Re}\left[a_{q, 0}(\mu) \rho^{2 q}\right]+\right. \\
+\sum_{k>0} \sum_{q \geqslant 0}^{2 q+1+k n \leqslant N} \rho^{2 q+k n} \operatorname{Re}\left[a_{q, k}(\mu) e^{i k n \theta}\right]+ \\
\left.+\sum_{k>0} \sum_{q \geqslant 0}^{2 q-1+k n \leqslant N} \rho^{2 q-2+k n} \operatorname{Re}\left[a_{q,-k}(\mu) e^{-i k n \theta}\right]\right\}+ \\
+R_{1}(t, \mu, \rho, \theta, \mathrm{Y}) \quad(\mathrm{X} .40) \\
\end{array}
\]
Рис. X.1. Эскиз бифуркационного тора $T^{2}$. (а) Тор $T^{1}$ (предельный цикл, который соответствует нетривиальному $T$-периодическому решению $\mathbf{U}(t)=\mathbf{U}(t+T)$ ). (б) Тор $T^{2}$ (показан вид его экваториального сечения) можно наглядно представить себе как замкнутую трубку, содержащую предельный цикл. Поперечное сечение тора лежит в $\mathbb{R}^{n}$. (в) Поперечное сечение тора $T^{2}$ со средним радиусом $\varepsilon$ для малых $\varepsilon$, если (1) множитель Флоке не является корнем из единицы и (2) множителем Флоке служит корень из единицы с $n=5$. (г) Двумерный тор $T^{2}$ и периодический сегмент траектории, которая наматывается на тор.
и
\[
\begin{array}{l}
\rho \dot{\theta}=\rho\left\{\mu \hat{\omega}(\mu)+\sum_{q \geqslant 1}^{2 q+1 \leqslant N} \operatorname{Im}\left[a_{q, 0}(\mu) \rho^{2 q}\right]+\right. \\
+\sum_{k>0} \sum_{q \geqslant 0}^{2 q+1+k n \leqslant N} \rho^{2 q+k n} \operatorname{lm}\left[a_{q, k}(\mu) e^{i k n \theta}\right]+ \\
\left.+\sum_{k>0} \sum_{q \geqslant 0}^{2 q-1+k n \leqslant N} \rho^{2 q-2+k n} \operatorname{Im}\left[a_{q,-k}(\mu) e^{-i k n \theta}\right]\right\}+ \\
+R_{2}(t, \mu, \rho, \theta, \mathbf{Y})
\end{array}
\]
где
\[
R_{1}+i R_{2}=e^{-i\left(\theta+\omega_{0} t\right)} \tilde{b}_{1}(t, \mu, y, \bar{y}, \mathbf{Y}) ;
\]
при этом и и $\bar{y}$ даются формулами (X.38), а $\mathbf{Y}$ удовлетворяет уравнению (X.25), в котором
\[
\mathbf{B}_{2}(t, \mu, \rho, \theta, \mathbf{Y}) \stackrel{\text { del }}{=} \tilde{\mathbf{B}}_{1}(t, \mu, y, \bar{y}, \mathbf{Y}) .
\]
Если $r$ иррационально, то положим
\[
a_{q, k}=a_{q,-k}=0,
\]
так что члены двойных сумм в правых частях (X.40) и (X.41) обращаются в нуль. В обоих случаях рационального и иррационального $r$ имеем оценки
\[
\begin{array}{c}
\left|R_{l}(t, \mu, \rho, \theta, \mathbf{Y})\right|=O\left(\rho^{N+1}+\rho\|\mathbf{Y}\|+\|\mathbf{Y}\|^{\mathbf{2}}\right), l=1,2, \\
\left|\mathbf{B}_{2}(t, \mu, \rho, \theta, \mathbf{Y})\right|=O\left(\rho^{N+1}+\rho\|\mathbf{Y}\|+\|\mathbf{Y}\|^{2}\right) .
\end{array}
\]
