Пусть теперь ${\gamma }_0=0$-алгебраически двойное, полупростое, двойное собственное значение оператора $J_0$. Тогда существуют две независимые собственные функции ${\mathbf{\Gamma }}_{00}={\dot{\mathbf{U}}}_0(s)$ и ${\mathbf{\Gamma }}_{01}$, удовлетворяющая уравнению $J_0{\mathbf{\Gamma }}_{01}=0$, и две независимые сопряженные собственные функции ${\mathrm{\Gamma }}_{00}^{\ast }$ и ${\mathrm{\Gamma }}_{01}^{\ast }$, такие что
$$\begin{array}{l}{[{\mathbf{\Gamma }}_{00},{\mathbf{\Gamma }}_{00}^{\ast }]}_{2\pi }={[{\mathbf{\Gamma }}_{01},{\mathbf{\Gamma }}_{01}^{\ast }]}_{2\pi }=1,\\ {[{\mathbf{\Gamma }}_{00},{\mathbf{\Gamma }}_{01}^{\ast }]}_{2\pi }={[{\mathbf{\Gamma }}_{01},{\mathbf{\Gamma }}_{01}^{\ast }]}_{2\pi }=0.\end{array}$$

Қаждый собственный вектор, принадлежащий нуль-пространству оператора $J_0$, можно представить в виде линейной комбинации независимых векторов
$${\mathrm{\Gamma }}_0=A{\mathrm{\Gamma }}_{01}+B{\mathrm{\Gamma }}_{01}.$$

Чтобы вычислить ${\gamma }_{\mathrm{i}}$ в (XI.17), необходимо определить $A$ и $B$. Значения $A$ и $B$ можно найти из условий биортогональности, требуемых для разрешимости задачи (XI.17).
Используя (XI.23), уравнение (XI.17) можно записать в виде
$${\gamma }_1(A{\mathbf{\Gamma }}_{00}+B{\mathbf{\Gamma }}_{01})+{\hat{\omega }}_1(A{\dot{\mathrm{\Gamma }}}_{00}+B{\dot{\mathrm{\Gamma }}}_{01})=J_0{\mathbf{\Gamma }}_1+\mathcal{y}(A{\mathrm{\Gamma }}_{00}+B{\mathbf{\Gamma }}_{01}).$$

Существует особое решение уравнения (X 1.24 ), которое можно получить в результате дифференцирования Іуравнения (XI.5) по $\mu$ при $\mu ={\mu }_0$. Это приводит к уравнению (XI.24) с ${\gamma }_1=B=0$ и $A=1$. Тогда получаемое уравнение
$$\widehat{{\omega }_1}{\dot{\mathrm{\Gamma }}}_{00}=J_0{\mathrm{\Gamma }}_1+y{\mathrm{\Gamma }}_{00}$$

разрешимо, если
$${\hat{\omega }}_1{[{\dot{\mathrm{\Gamma }}}_{00},{\mathrm{\Gamma }}_{0j}^{\ast }]}_{2\pi }={[\mathcal{Y}{\mathrm{\Gamma }}_{00},{\mathrm{\Gamma }}_{0i}^{\ast }]}_{2\pi },j=0,1,$$

и, используя (XI.25), находим, что уравнение (XI.24) разрешимо, если ${\gamma }_1$ является собственным значением матрицы
$$\left[\begin{array}{ll}0& {[\mathcal{Y}{\mathrm{\Gamma }}_{01}-{\hat{\omega }}_1{\dot{\mathrm{\Gamma }}}_{01},{\mathrm{\Gamma }}_{00}^{\ast }]}_{2\pi }\\ 0& {[\mathcal{Y}{\mathrm{\Gamma }}_{01}-\widehat{{\omega }_1}{\dot{\mathrm{\Gamma }}}_{01},{\mathrm{\Gamma }}_{01}^{\ast }]}_{2\pi }\end{array}\right].$$

Собственными значениями этой матрицы являются ${\gamma }_1^{(1)}=0$ и
$${\gamma }_1^{(2)}={[\gamma {\mathrm{\Gamma }}_{01}-{\hat{\omega }}_1{\dot{\mathrm{\Gamma }}}_{01},{\mathrm{\Gamma }}_{01}^{\ast }]}_{2\pi }.$$

В настоящем случае из предположения о том, что потеря устойчивости является строгой, следует, что ${\gamma }_1^{(2)}>0$. Заметим, что в рассматриваемом здесь случае двойного полупростого собственного значения потере устойчивости решения Хопфа, изученного в § VIII.4, отвечают следующие частные значения:
$${\hat{\omega }}_1={[y{\mathrm{\Gamma }}_{00},{\mathrm{\Gamma }}_{00}^{\ast }]}_{2\pi }={[y{\mathrm{\Gamma }}_{00},{\mathrm{\Gamma }}_{01}^{\ast }]}_{2\pi }=0.$$