Пусть теперь $\gamma_{0}=0$-алгебраически двойное, полупростое, двойное собственное значение оператора $J_{0}$. Тогда существуют две независимые собственные функции $\boldsymbol{\Gamma}_{00}=\dot{\mathbf{U}}_{0}(s)$ и $\boldsymbol{\Gamma}_{01}$, удовлетворяющая уравнению $J_{0} \boldsymbol{\Gamma}_{01}=0$, и две независимые сопряженные собственные функции $\Gamma_{00}^{*}$ и $\Gamma_{01}^{*}$, такие что
\[
\begin{array}{l}
{\left[\boldsymbol{\Gamma}_{00}, \boldsymbol{\Gamma}_{00}^{*}\right]_{2 \pi}=\left[\boldsymbol{\Gamma}_{01}, \boldsymbol{\Gamma}_{01}^{*}\right]_{2 \pi}=1,} \\
{\left[\boldsymbol{\Gamma}_{00}, \boldsymbol{\Gamma}_{01}^{*}\right]_{2 \pi}=\left[\boldsymbol{\Gamma}_{01}, \boldsymbol{\Gamma}_{01}^{*}\right]_{2 \pi}=0 .}
\end{array}
\]

Қаждый собственный вектор, принадлежащий нуль-пространству оператора $J_{0}$, можно представить в виде линейной комбинации независимых векторов
\[
\Gamma_{0}=A \Gamma_{01}+B \Gamma_{01} .
\]

Чтобы вычислить $\gamma_{\mathrm{i}}$ в (XI.17), необходимо определить $A$ и $B$. Значения $A$ и $B$ можно найти из условий биортогональности, требуемых для разрешимости задачи (XI.17).
Используя (XI.23), уравнение (XI.17) можно записать в виде
\[
\gamma_{1}\left(A \boldsymbol{\Gamma}_{00}+B \boldsymbol{\Gamma}_{01}\right)+\hat{\omega}_{1}\left(A \dot{\Gamma}_{00}+B \dot{\Gamma}_{01}\right)=J_{0} \boldsymbol{\Gamma}_{1}+\mathcal{y}\left(A \Gamma_{00}+B \boldsymbol{\Gamma}_{01}\right) .
\]

Существует особое решение уравнения (X 1.24 ), которое можно получить в результате дифференцирования Іуравнения (XI.5) по $\mu$ при $\mu=\mu_{0}$. Это приводит к уравнению (XI.24) с $\gamma_{1}=B=0$ и $A=1$. Тогда получаемое уравнение
\[
\hat{\omega_{1}} \dot{\Gamma}_{00}=J_{0} \Gamma_{1}+y \Gamma_{00}
\]

разрешимо, если
\[
\hat{\omega}_{1}\left[\dot{\Gamma}_{00}, \Gamma_{0 j}^{*}\right]_{2 \pi}=\left[\mathcal{Y} \Gamma_{00}, \Gamma_{0 i}^{*}\right]_{2 \pi}, \quad j=0,1,
\]

и, используя (XI.25), находим, что уравнение (XI.24) разрешимо, если $\gamma_{1}$ является собственным значением матрицы
\[
\left[\begin{array}{ll}
0 & {\left[\mathcal{Y} \Gamma_{01}-\hat{\omega}_{1} \dot{\Gamma}_{01}, \Gamma_{00}^{*}\right]_{2 \pi}} \\
0 & {\left[\mathcal{Y} \Gamma_{01}-\hat{\omega_{1}} \dot{\Gamma}_{01}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}}
\end{array}\right] .
\]

Собственными значениями этой матрицы являются $\gamma_{1}^{(1)}=0$ и
\[
\gamma_{1}^{(2)}=\left[\mathcal{\gamma} \Gamma_{01}-\hat{\omega}_{1} \dot{\Gamma}_{01}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi} .
\]

В настоящем случае из предположения о том, что потеря устойчивости является строгой, следует, что $\gamma_{1}^{(2)}>0$. Заметим, что в рассматриваемом здесь случае двойного полупростого собственного значения потере устойчивости решения Хопфа, изученного в § VIII.4, отвечают следующие частные значения:
\[
\hat{\omega}_{1}=\left[y \Gamma_{00}, \Gamma_{00}^{*}\right]_{2 \pi}=\left[y \Gamma_{00}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}=0 .
\]