Изложенная здесь процедура нахождения траекторий на торе в точности совпадает с той, которая была использована в § X. 8 при исследовании случая $n=5$.

Сначала мы должны найти $\rho(\theta, \varepsilon)$ из (X.56) с учетом асимптотических выражений (X.105) и (X.106) Для $n$ нечетного находим
\[
\begin{array}{r}
\frac{1}{\varepsilon^{2}} \frac{d \theta}{d t}=\Omega_{0}+\overline{\bar{\psi}}_{2} \varepsilon^{2}+\overline{\bar{\psi}}_{4} \varepsilon^{4}+\ldots+\overline{\bar{\psi}}_{2,} \varepsilon^{2 v}+\ldots+\varepsilon^{n-4} \psi_{n-4}^{*}(\theta)+ \\
+\varepsilon^{n-3}\left(\overline{\bar{\psi}}_{n-3}+\psi_{n-3}^{*}(\theta)\right)+\ldots+O\left(\varepsilon^{N-2}\right),
\end{array}
\]

где предполагается, что $\Omega_{0}=\mu_{2} \hat{\omega}_{c}+\beta_{10}$ отлично от нуля,
\[
\begin{array}{c}
\psi_{l}=\overline{\bar{\psi}}_{l}+\psi_{l}^{*}(\theta), \quad \overline{\bar{\psi}}^{*}=0, \\
\overline{\bar{\psi}}_{2 t+1}=0, \psi_{l}^{*}(\theta)=0 \text { для } l<n-4, \\
\psi_{n-5+l}^{*}(\theta)=\sum_{q=0}^{l-2 q>0}\left[\theta_{l q} e^{n(l-2 q) i \theta}+\bar{\theta}_{t q} e^{-n(l-2 q) i \theta}\right],
\end{array}
\]

а все $\theta_{l q}$ постоянные. (Например, $\psi_{n-4}^{*}(\theta)=\theta_{10} e^{i n \theta}+\bar{\theta}_{10} e^{-i n \theta}$, где $\theta_{10}=2 \beta_{10} g_{10}+\beta_{010}$.)
Для $n=2 v$ четного имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{\varepsilon^{2}} \frac{d \theta}{d t}=\Omega_{0}+\overline{\bar{\psi}}_{2} \varepsilon^{2}+\overline{\bar{\psi}}_{4} \varepsilon^{4}+\ldots+ \\
+\varepsilon^{2 v-4}\left(\overline{\bar{\psi}_{2 v-4}}+\psi_{2 v-4}^{*}(\theta)\right)+\ldots+O\left(\varepsilon^{N-q}\right)
\end{array}
\]

где, как и прежде, $\psi_{l}=\overline{\bar{\psi}}_{l}+\psi_{l}^{*}(\theta)$,
\[
\begin{array}{c}
\psi_{2 l+1}(\theta)=0 \text { для всех } l>0, \\
\psi_{2 l}(\theta)=0 \text { для } 2 l<2 v-4, \\
\psi_{2 v-4+2 l}^{*}(\theta)=\sum_{q=0}^{l}\left[\theta_{l q} \exp (2 v(l+1-q) i \theta)+\bar{\theta}_{q l} \exp (-2 v(l+1-q) i \theta)\right] .
\end{array}
\]

Чтобы решить уравнения (X.107) и (X.108), поступим как в § X.8 и сделаем замену
\[
\tilde{\theta}=\theta+\varepsilon^{n-4} h_{n-4}(\theta)+\varepsilon^{n-3} h_{n-3}(\theta)+\ldots+\varepsilon^{N-1} h_{N-1}(\theta),(\mathrm{X} .109)
\]

где подлежащие определению функции $h_{l}(\theta)$ удовлетворяют условиям
\[
h_{l}(\theta)=h_{l}\left(\theta+\frac{2 \pi}{n}\right), \quad \overline{\bar{h}}_{l}(\theta)=0 .
\]

Отсюда следует, что
\[
\frac{1}{\varepsilon^{2}} \frac{d \bar{\theta}}{d t}=\left\{1+\varepsilon^{n-4} h_{n-4}^{\prime}(\theta)+\varepsilon^{n-3} h_{n-3}^{\prime}(\theta)+\ldots+O\left(\varepsilon^{N}\right)\right\} \frac{1}{\varepsilon^{2}} \frac{d \theta}{d \bar{t}},
\]

где $d \theta / d t$ дается формулой (X.107) для $n$ нечетного и формулой (X.108) для $n=2 v$ четного. Обозначим через $C\left(\varepsilon^{2}\right)$ совокупность всех усредненных членов в (X.107) и (X.108). Тогда для каждого из двух случаев будем иметь уравнение
\[
\frac{1}{\varepsilon^{2}} \frac{d \theta}{d t}=C\left(\varepsilon^{2}\right)+\varepsilon^{n-4} \Phi^{*}(\theta, \varepsilon)+O\left(\varepsilon^{N}\right),
\]

где $\overline{\bar{\Phi}} \cdot(\theta, \varepsilon)=0$, а $C(0)=\Omega_{0}$. Комбинируя (Х.111) и (Х.112), можно получить упорядоченную последовательность уравнений для определения функций $h_{l}(\theta)$, удовлетворяющих условиям (X.110), отождествляя коэффициенты при независимых степенях $\varepsilon$ в соотношении
Для функций $h_{l}(\theta)$ получаем выражения
\[
h_{n-\delta+p}(\theta)=\sum_{l=0}^{p-2 l>0}\left[v_{p l} e^{i n \theta(p-2 l)}+\bar{v}_{p l} e^{-i n \theta(p-2 t)}\right], p \geqslant 1 \text {, }
\]

если $n$ нечетное, и
\[
\begin{array}{c}
h_{l}(\theta)=0 \text { для } l \leqslant 2 v-5, \quad h_{2 l+\mathrm{f}}(\theta)=0, \quad(\mathrm{X} .114)_{\varepsilon} \\
h_{2 v-4+2 p}=\sum_{l=0}^{p}\left[v_{p l} \exp i 2 v(p+1-l) \theta+\bar{v}_{p l} \exp (-i 2 v(p+1-l) \theta)\right], \\
p \geqslant 0,
\end{array}
\]

если $n=2 v$ четное.
Используя (X.113), можно привести (X.111) к виду
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{\varepsilon^{2}} \frac{d \tilde{\theta}}{d t} & =C\left(\varepsilon^{2}\right)+\varepsilon^{2 n-8} \overline{\overline{\psi_{n-4}^{*} h_{n-4}^{\prime}}}+\ldots+O\left(\varepsilon^{N-2}\right)= \\
& =\Omega\left(\varepsilon^{2}\right)+O\left(\varepsilon^{N-2}\right)
\end{aligned}
\]

и, как следствие (X.115), уравнение (X.109) можно представить в виде
\[
\varepsilon^{2} \Omega\left(\varepsilon^{2}\right) t=\theta+\varepsilon^{n-4} h_{n-4}(\theta)+\varepsilon^{n-3} h_{n-3}(\theta)+\ldots+\chi(t, \varepsilon),
\]

где $|\dot{\chi}(\dot{t}, \varepsilon)|=O\left(\varepsilon^{N}\right)$, а функции $h_{t}(\theta)$, даваемые формулами (X.114), таковы, что
\[
h_{l}(\theta)=h_{l}\left(\theta+\frac{2 \pi}{n}\right), \overline{\bar{h}}_{l}(\theta)=0 .
\]