Теперь хотелось бы аккуратно показать, как задачи высокой размерности, дифференциальные уравнения в частных производных и интегро-дифференциальные уравнения на основе методов проекции приводятся к одно- и двумерным задачам.

Лучше начать с задачи, которая уже была рассмотрена в гл. V, воспользовавшись другими обозначениями, а именно с задачи бифуркации в стационарные решения в $\mathbb{R}^{2}$, если собственные значения $\mathbf{f}_{a}(0 \mid \cdot)=\mathbf{A}(0)(\cdot)$ вещественные и различные. Эта задача, в сущности, является одномерной после проектирования, связанного с собственным значением $\xi_{1}(0)=0$ в критической точке и собственным вектором $\mathbf{x}_{1}$ и сопряженным вектором $\mathbf{y}_{1}$. Для большей эффективности лучше излагать это доказательство проекции бифуркационной задачи в $\mathbb{R}^{1}$ в обозначениях, которые можно непосредственно распространить на задачу бифуркации в вещественном простом собственном значении для бесконечномерных задач, таких как задачи, которые возникают при исследовании дифференциальных уравнений в частных производных.