В этой главе и в гл. X мы рассмотрим бифуркацию нетривиальных $T$-периодических решений. Относительно происхождения и структуры таких задач читателю было сы полезно прочитать вновь объяснения, приведенные в § I. 2 и § I.3. Следуя нашей обычной процедуре, мы будем строить эту теорию в $\mathbb{R}^{n}, n \geqslant 2$, и покажем, как анализ приводится $\mathrm{K} \mathbb{R}^{1}$ или $\mathbb{R}^{2}$ на основе использования проекций, связанных с альтернативой Фредгольма. В определенном смысле задача в $\mathbb{R}^{n}$ с конечным $n$ на самом деле является бесконечномерной. В отличие от стационарных задач, в которых встречаются только постоянные векторы, здесь мы должны иметь дело с векторными функциями, которые периодически зависят от времени и потому принимают бесконечное множество различных значений. Поэтому в этой главе вычислительные упрощения, связанные с рассмотрением преимущественно $\mathbb{R}^{2}$, а не $\mathbb{R}^{n}$, не очень большие. В $\mathbb{R}^{n}$ мы используем те же самые обозначения, которые можно было использовать для эволюционного уравнения в пространстве Банаха. Поэтому наши результаты одинаково имеют место и в $\mathbb{R}^{n}$, и, например, для эволюционных задач, описываемых дифференциальными уравнениями с частными производными, аналогичными уравнениям Навье-Стокса или уравнениям, описывающим реакцию или диффузию в химических системах, если эти дифференциальные уравнения с частными производными можно представить в фсрме эволюционных задач в банаховом пространстве.
Обозначения
$\mathbb{P}_{n T}=\{\mathbf{u}: \mathbf{u}(t)=\mathbf{u}(t+n T), n T$-периодические непрерывные функции $\} ;$ $J(\mu)$ – линейный оператор, определенный в § IX. 2 как
\[
J(\mu)=-\frac{d}{d t}+\mathrm{f}_{u}(t, \mu, 0 \mid \cdot)
\]

и действующий в $\mathbb{P}_{T}$, областью определения которого является множество непрерывно дифференцируемых $T$-периодических функций. Поэтому оператор $J(\mu)$ является $T$-периодическим. Аналогично, оператор $J_{0}=J(0) T$-периодический. Оператор $\mathcal{J}$-линейный оператор, определенный в § IX.8, который имеет $T$-периодические коэффициенты и действует в $\mathbb{P}_{n T}$ (расширенное пространство). Далее,
\[
\sigma(\mu)=\xi(\mu)+i \eta(\mu)
\]
– экспонента Флоке при исследовании устойчивости решения $\mathbf{u} \equiv 0$,
\[
\gamma(\varepsilon)=\xi(\varepsilon)+i \eta(\varepsilon)
\]
– экспонента Флоке при анализе устойчивости субгармонического решения $\mathbf{u}(t, \varepsilon)
ot \equiv 0$. (Замечание. Мы используем одни и те же обозначения $\xi$ и $\eta$ для разных функций.) Как и прежде,
\[
\mathrm{f}_{u}(t \mid \cdot) \stackrel{\text { def }}{=} \mathrm{f}_{u}(t, 0,0 \mid \cdot)
\]
– линейный оператор (в $\mathbb{R}^{n}$ ) (см. § I.6, § I. 7);
\[
\mathbf{f}_{u u}(t|\cdot| \cdot) \stackrel{\text { def }}{=} \mathrm{f}_{u u}(t, 0,0|\cdot| \cdot)
\]
– билинейный симметричный оператор: $\mathbf{f}_{u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{i}\right| \mathbf{u}_{2}\right)=\mathbf{f}_{u_{u}}\left(t\left|\mathbf{u}_{2}\right| \mathbf{u}_{1}\right)$;
\[
\mathbf{f}_{u u u}(t|\cdot| \cdot \mid \cdot) \stackrel{\text { def }}{=} \mathbf{f}_{u u u}(t, 0,0|\cdot| \cdot \mid \cdot)
\]
– трилинейный симметричный оператор:
\[
\mathbf{f}_{u u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{2} \mid \mathbf{u}_{3}\right)=\mathbf{f}_{u u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{3} \mid \mathbf{u}_{2}\right)=\mathbf{f}_{u u t}\left(t\left|\mathbf{u}_{2}\right| \mathbf{u}_{1} \mid \mathbf{u}_{3}\right) .
\]

Мультилинейные операторы появляются в результате повторного дифференцирования $\mathrm{f}(t, \mu, \mathbf{u})$ по и в точке $\mu=0, \mathbf{u}=0$. В приведенных операторах предполагается, что производные вычисляются в точке $(\mu, \mathbf{u})=(0,0)$.

Содержание этой главы основано на результатах, полученных в работе Ж. Йосса и Д. Джозефа Bifurcation and stability of $n T$ periodic solutions branching from $T$-periodic solutions at points of resonance, Arch. Rational Mech. Anal., 66, 135-172 (1977).