Определим оператор
\[
\mathfrak{J}=-\frac{d}{d t}+\mathrm{f}_{u}(t \mid \cdot)
\]

область определения которого состоит из дифференцируемых $n T$ периодических векторов.

Естественно, что множество $T$-периодических векторов меньше, чем множество $n T$-периодических векторов, dom $J_{0} \subset \operatorname{dom} \mathfrak{J}$. Спектр оператора соответствует спектру матрицы монодромии $\boldsymbol{\Phi}(n T, 0)$, и поскольку $\boldsymbol{\Phi}(n T, 0)=\{\boldsymbol{\Phi}(T, 0)\}^{n}$, то 1 является единственным собственным значением $\Phi(n T, 0)$, лежащим на единичной окружности. Если $n=1$ ( $m / n=0$, где $m$ и $n$ определены в (IX.28)) и если $n=2$ $(m / n=1 / 2$ ), то это собственное значение является простым. Если $n \geqslant 3$, то это-двойное собственное значение. Собственное значение $\Phi(n T, 0)$, равное единице, соответствует нулевому собственному значению оператора $\mathfrak{J}$. И $n T$-периодический вектор
\[
\mathbf{Z}(t)=\exp \left(\frac{2 \pi i n t}{n T}\right) \zeta(t), \quad \zeta \in \mathbb{P}_{T},
\]

и ему сопряженный вектор $\overline{\mathbf{Z}}$ принадлежат нуль-пространству опе-
\[
\mathrm{JZ}=\sqrt{\mathbf{Z}}=0 .
\]

Если $n=2$ ( $m / n=1 / 2)$, то существует только один собственный вектор и его можно выбрать вещественным.

Полезно сформулировать лемму о нулевом собственном значении оператора Л. Напомним, что оператор § определен для критической точки.

Лемма. Предположим, что условия (I) $и$ (II), относящиеся $\kappa$ собственным значениям оператора $J_{0}$ (или, что эквивалентно, $\kappa$ собственным значениям $\lambda_{0}$ матрицы монодромии $\Phi(T, 0)$ ), выполнены. Тогда если
\[
n=1 \text {, }
\]

то нуль есть простое собственное значение оператора $\S$ одним вещественным собственным вектором $\mathbf{Z}=\bar{\zeta}=\overline{\mathbf{Z}}=\overline{\boldsymbol{\xi}}$; если
\[
n=2 \text {, }
\]

то нуль-простое собственное значение оператора § с одним вещественным собственным вектором $\mathbf{Z}=e^{i \pi t / 2 T} \zeta(t)=\mathbf{Z}$; если
\[
n>2 \text {, }
\]

то нуль-двойное собственное значение оператора $\rrbracket$ и любое решение $\mathbf{v}$ уравнения $\S \mathbf{v}=0$ можно представить в виде линейной комбинации двух независимых векторов (Z, $\overline{\mathbf{Z}})$, принадлежащих нуль-пространству оператора $\mathfrak{}$.