Теперь мы ослабим предположение, введенное в § III.1, и предположим, что (III.2) и (III.4) выполняются для $D<0$. Это предположение означает, что особая точка уравнения $\tilde{F}(\mu ,\epsilon ,0)$ является изолированной (сопряженной точкой) и бифуркация отсутствует, если $\delta =0$. Можно поступить так же, как и в § III.2, и вычислить $\delta =\mathrm{\Delta }(\mu ,\epsilon )=O(|\mu |+|\epsilon |{)}^2$, где
$${\mathrm{\Delta }}_{\mu \epsilon }^2-{\mathrm{\Delta }}_{\mu \mu }{\mathrm{\Delta }}_{\epsilon \epsilon }<0.$$

Главная часть $\delta =\mathrm{\Delta }(\mu ,\epsilon )$; т. е. $\delta =(1/2){\mathrm{\Delta }}_{\epsilon \epsilon }{\epsilon }^2+{\mathrm{\Delta }}_{\epsilon \mu }\epsilon \mu +(1/2){\mathrm{\Delta }}_{\mu \mu }{\mu }^2$ определяет сечения эллиптического параболоида вместо гиперболического параболоида, исследованного в § III.2. При корректном (изоляты), и они стягиваются в нуль при $\delta \to 0$. Если $\delta$ имеет другой знак, то решений не существует.
Пример III.4
$$\tilde{F}(\mu ,\epsilon ,\delta )\stackrel{\text{ def }}{=}{\mu }^2+\mu \epsilon +{\epsilon }^2-\delta +O\{{\delta }^2+|\delta |(|\epsilon |+|\mu |)+(|\epsilon |+|\mu |{)}^3\}=0$$

определяет замкнутые кривые, близкие к эллипсам, если $\delta$ положительно и мало (см рис. III.10).

Упражнение

III.1. (Теория несовершенств для «бифуркации в бесконечности» $(\mu \to \mathrm{\infty }$ ).) Рассмотрим следующие два примера:
$$\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=x(\frac{1}{\mu }-x-x^2)+\delta ,\\ \frac{dx}{dt}=x(\frac{1}{\mu }-x^2)-\delta ,\end{array}$$

где $\mu >0$ или $\mu <0$.

Покажите, что стационарные решения и характер их устойчивости имеют вид, представленный на рис. III. 11 и III.12. (Сравните с рис. III. 5 и III.6.)

Задачи бифуркации из бесконечности исследованы Розенблатом и Девисом (Rosenblat and Davis, SIAM J. Appl. Math., 1, 1-20 (1979)).

Замечания

Истоки теории несовершенств можно проследить по крайней мере до работ Койтера (1945) по устойчивости упругого равновесия и Зохнера (1933) по ориентации жидких кристаллов. Теория несовершенств Матковского и Рейсса (1977) близка к изложенной здесь, однако цели, преследуемые этими авторами, побудили их рассматривать задачу (аналитическую в случае, когда $F$ аналитична) как задачу сингулярного возмущения. Мы предпочитаем подчеркнуть аналитическую

Рис. III.11. Случай (III.34).

Рис. III.12. Случай (III.33).

природу задачи, обусловленную теоремой о неявной функции, чтобы определить аналитические итеративные процедуры получения кривых. Теорию несовершенств можно рассматривать как частный случай теории катастроф P. Тома (1968), соответствующий наличию лишь одного управляющего параметра ( $\delta$ ). В этом простейшем случае теории катастроф важную роль играет каноническая кубическая кривая
$$\delta =2b\epsilon \mu +d{\epsilon }^3,$$

описывающая разрушение односторонней бифуркации. Она служит приближением (с точностью до членов самого низкого торядка) к кривой (III.30), связывающей $\delta$ и $\epsilon$ на плоскости $\mu =$ const. Анализ членов правой части уравнения (III.30) показывает, что $\delta \sim O\left({\epsilon }^3\right)$, а члены, отброшенные при переходе от (III.30) к (III.35), имеют порядок $O\left({\epsilon }^4\right)$. График кривой (III.35) подобен показанному на рис. III.8. Согласно нашей теории, рис. III. 7 дает первое приближение к кривым, разрушающим бифуркацию, и нет никакой необходимости рассматривать кубическое уравнение. В недавней работе Голубицкого и Шеффера (1979) некоторые предположения теории Тома ослаблены, и задача о разрушении бифуркации эквивалентными классами управляющих параметров рассматривается с общей, но более или менее разработанной точки зрения.