Теперь мы ослабим предположение, введенное в § III.1, и предположим, что (III.2) и (III.4) выполняются для $D<0$. Это предположение означает, что особая точка уравнения $\tilde{F}(\mu, \varepsilon, 0)$ является изолированной (сопряженной точкой) и бифуркация отсутствует, если $\delta=0$. Можно поступить так же, как и в § III.2, и вычислить $\delta=\Delta(\mu, \varepsilon)=O(|\mu|+|\varepsilon|)^{2}$, где
\[
\Delta_{\mu \varepsilon}^{2}-\Delta_{\mu \mu} \Delta_{\varepsilon \varepsilon}<0 .
\]
Главная часть $\delta=\Delta(\mu, \varepsilon)$; т. е. $\delta=(1 / 2) \Delta_{\varepsilon \varepsilon} \varepsilon^{2}+\Delta_{\varepsilon \mu} \varepsilon \mu+(1 / 2) \Delta_{\mu \mu} \mu^{2}$ определяет сечения эллиптического параболоида вместо гиперболического параболоида, исследованного в § III.2. При корректном (изоляты), и они стягиваются в нуль при $\delta \rightarrow 0$. Если $\delta$ имеет другой знак, то решений не существует.
Пример III.4
\[
\tilde{F}(\mu, \varepsilon, \delta) \stackrel{\text { def }}{=} \mu^{2}+\mu \varepsilon+\varepsilon^{2}-\delta+O\left\{\delta^{2}+|\delta|(|\varepsilon|+|\mu|)+(|\varepsilon|+|\mu|)^{3}\right\}=0
\]
определяет замкнутые кривые, близкие к эллипсам, если $\delta$ положительно и мало (см рис. III.10).
Упражнение
III.1. (Теория несовершенств для «бифуркации в бесконечности» $(\mu \rightarrow \infty$ ).) Рассмотрим следующие два примера:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=x\left(\frac{1}{\mu}-x-x^{2}\right)+\delta, \\
\frac{d x}{d t}=x\left(\frac{1}{\mu}-x^{2}\right)-\delta,
\end{array}
\]
где $\mu>0$ или $\mu<0$.
Покажите, что стационарные решения и характер их устойчивости имеют вид, представленный на рис. III. 11 и III.12. (Сравните с рис. III. 5 и III.6.)
Задачи бифуркации из бесконечности исследованы Розенблатом и Девисом (Rosenblat and Davis, SIAM J. Appl. Math., 1, 1-20 (1979)).
Замечания
Истоки теории несовершенств можно проследить по крайней мере до работ Койтера (1945) по устойчивости упругого равновесия и Зохнера (1933) по ориентации жидких кристаллов. Теория несовершенств Матковского и Рейсса (1977) близка к изложенной здесь, однако цели, преследуемые этими авторами, побудили их рассматривать задачу (аналитическую в случае, когда $F$ аналитична) как задачу сингулярного возмущения. Мы предпочитаем подчеркнуть аналитическую
Рис. III.11. Случай (III.34).
Рис. III.12. Случай (III.33).
природу задачи, обусловленную теоремой о неявной функции, чтобы определить аналитические итеративные процедуры получения кривых. Теорию несовершенств можно рассматривать как частный случай теории катастроф P. Тома (1968), соответствующий наличию лишь одного управляющего параметра ( $\delta$ ). В этом простейшем случае теории катастроф важную роль играет каноническая кубическая кривая
\[
\delta=2 b \varepsilon \mu+d \varepsilon^{3},
\]
описывающая разрушение односторонней бифуркации. Она служит приближением (с точностью до членов самого низкого торядка) к кривой (III.30), связывающей $\delta$ и $\varepsilon$ на плоскости $\mu=$ const. Анализ членов правой части уравнения (III.30) показывает, что $\delta \sim O\left(\varepsilon^{3}\right)$, а члены, отброшенные при переходе от (III.30) к (III.35), имеют порядок $O\left(\varepsilon^{4}\right)$. График кривой (III.35) подобен показанному на рис. III.8. Согласно нашей теории, рис. III. 7 дает первое приближение к кривым, разрушающим бифуркацию, и нет никакой необходимости рассматривать кубическое уравнение. В недавней работе Голубицкого и Шеффера (1979) некоторые предположения теории Тома ослаблены, и задача о разрушении бифуркации эквивалентными классами управляющих параметров рассматривается с общей, но более или менее разработанной точки зрения.
