Теперь перейдем к задаче нахождения траекторий на торе. В частности, найдем $\theta=\theta(t, \varepsilon)$ как решение уравнения (X.56) ния этой задачи определим
\[
\tilde{\theta}=\theta+\sum_{l=1}^{N-1} \varepsilon^{t} h_{l}(\theta)
\]
и построим периодические функции $h_{l}(\theta)=h_{l}(\theta+2 \pi)$, средние значения которых равны нулю, $\overline{\bar{h}}_{l}=0$, так, чтобы $\dot{\tilde{\theta}}$ была равна константе с точностью до членов порядка $\varepsilon^{N}$. Оказывается, что эти
\[
h_{l}(\theta)=h_{l}\left(\theta+\frac{2 \pi}{5}\right), \quad \overline{\bar{h}}_{l}=0 .
\]
Дифференциальное уравнение для $\tilde{\theta}$ имеет вид
\[
\frac{d \tilde{\theta}}{d t}=\left\{1+\sum_{l=1}^{N-1} \varepsilon^{l} h_{l}^{\prime}(\theta)\right\} \frac{d \theta}{d t},
\]
где $d \theta / d t$ даетея формулой (X.56) при $n=5$. После рваложения правой части (X.56), по степеням $\varepsilon$
\[
\begin{array}{c}
\mu=\mu_{2} \varepsilon^{2}+\mu_{4} \varepsilon^{4}+\mu_{8} \varepsilon^{6}+\ldots, \\
\rho(\theta)=\varepsilon+\varepsilon^{2} \rho_{2}(\theta)+\varepsilon^{3} \rho_{8}(\theta)+\varepsilon^{4} \rho_{4}(\theta)+\ldots
\end{array}
\]
находим, что
\[
\frac{d \theta}{d t}=\Omega_{0} \varepsilon^{2}+\Theta_{1}(\theta) \varepsilon^{3}+\Theta_{2}(\theta) \varepsilon^{4}+\Theta_{3}(\theta) \varepsilon^{5}+\ldots,
\]
где
\[
\begin{array}{l}
\Omega_{0}=\mu_{\mathrm{R}} \hat{\omega}_{6}+\beta_{10}, \\
\Theta_{1}(\theta)=2 \beta_{10} \rho_{\mathrm{s}}(\theta)+\beta_{010} e^{s i \theta}+\bar{\beta}_{010} e^{-s i \theta}, \\
\theta_{2}(\theta)=\mu_{4} \hat{\omega}_{0}+\mu_{2}^{2} \hat{\omega}_{1}+\mu_{2} \beta_{11}+2 \beta_{10} \rho_{3}(\theta)+\beta_{10} \rho_{2}^{2}(\theta)+\beta_{20}+ \\
+3 \rho_{2}(\theta)\left(\beta_{\theta i 0} e^{s i \theta}+\bar{\beta}_{0 i 0} e^{-\xi i \theta}\right), \\
\Theta_{3}(\theta)=2 \beta_{10} \rho_{2}(\theta) \rho_{3}(\theta)+2 \mu_{2} \beta_{11} \rho_{8}(\theta)+4 \beta_{80} \rho_{2}(\theta)+ \\
+3\left[\rho_{2}^{2}(\theta)+\rho_{8}(\theta)\right]\left[\beta_{010} e^{s i \theta}+\bar{\beta}_{010} e^{-s i \theta}\right]+ \\
+2 \beta_{11} \rho_{4}(\theta)+\left[\beta_{110} e^{5 i \theta}+\bar{\beta}_{110} e^{-\delta i \theta}\right]+ \\
+\mu_{2}\left[\beta_{011} e^{5 i \theta}+\bar{\beta}_{011} e^{-s i \theta}\right] \\
\end{array}
\]
и т. д. Здесь и вообще
\[
\begin{array}{c}
\overline{\bar{\Theta}}_{2 l}
eq 0 \text { и } \overline{\bar{\Theta}}_{2 l+1}=0, \quad l \geqslant 1, \\
\Theta_{l}(\theta)=\Theta_{l}\left(\theta+\left(\frac{2 \pi}{5}\right)\right) .
\end{array}
\]
Из уравнений (X.77) и (Х.78) следует, что
\[
\begin{aligned}
\frac{d \tilde{\theta}}{d t}=[1 & \left.+\varepsilon h_{1}^{\prime}(\theta)+\varepsilon^{2} h_{2}^{\prime}(\theta)+\varepsilon^{8} h_{3}^{\prime}(\theta)+\ldots\right] \times \\
& \times\left[\Omega_{0} \varepsilon^{2}+\Theta_{1}(\theta) e^{8}+\Theta_{2}(\theta) \varepsilon^{4}+\Theta_{8}(\theta) \varepsilon^{5}+\ldots\right]+O\left(\varepsilon^{N}\right) .
\end{aligned}
\]
Теперь для упрощения (X.81) будем строить периодические функции $h_{l}(\theta)$
\[
h_{l}(\theta)=h_{l}\left(\theta+\left(\frac{2 \pi}{5}\right)\right) \text {, }
\]
для которых
\[
\overline{\bar{h}}_{l}=0
\]
для всех $l \geqslant 1$ и такие, что
\[
\frac{d \tilde{\theta}}{d t}=\varepsilon^{2} \Omega\left(\varepsilon^{2}\right)+O\left(\varepsilon^{N}\right),
\]
где $\Omega\left(\varepsilon^{2}\right)$ – полином, не зависящий от $t$ и $\theta$. Наш метод выбора состоит в следующем. Сначала сгруппируем члены правой части (X.81)
по степеням $\varepsilon$ :
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{\mathrm{e}^{2}} \frac{d \tilde{\theta}}{d t}= & \Omega_{0}+\left(\Omega_{0} h_{1}^{\prime}+\Theta_{1}\right) \varepsilon+\left(\Omega_{0} h_{2}^{\prime}+\Theta_{2}+\Theta_{1} h_{1}^{\prime}\right) \varepsilon^{2}+ \\
& +\left(\Omega_{0} h_{3}^{\prime}+\Theta_{3}+\Theta_{2} h_{1}^{\prime}+\Theta_{1} h_{2}^{\prime}\right) \varepsilon^{3}+\ldots+ \\
& +\left(\Omega_{0} h_{l}^{\prime}+\Theta_{l}+\Theta_{l-1} h_{1}^{\prime}+\ldots+\Theta_{1} h_{l-1}^{\prime}\right) \varepsilon^{l}+\ldots+O\left(\varepsilon^{N-2}\right) .(\mathrm{X} .85)
\end{aligned}
\]
Мы предполагаем, что $\Omega_{0}
eq 0$. Затем последовательно выбираем $h_{n}(\theta)$ таким образом, чтобы каждый коэффициент был заменен его средним значением. Для первого коэффициента полагаем
\[
\Omega_{0} h_{1}^{\prime}+\theta_{1}=\overline{\bar{\Theta}}_{1},
\]
где
\[
\Theta_{1}=\Theta_{10} e^{s i \theta}+\bar{\Theta}_{10} e^{-5 i \theta}, \quad \overline{\bar{\Theta}}_{1}=0 .
\]
Поэтому
\[
h_{1}=-\frac{\Theta_{10}}{5 i \Omega_{0}} e^{s i \theta}+\frac{\bar{\Theta}_{10}}{5 i \Omega_{0}} e^{-5 i \theta} .
\]
Для второго коэффициента находим, что
\[
\Omega_{0} h_{2}^{\prime}+\Theta_{2}+\Theta_{1} h_{1}^{\prime}=\overline{\bar{\Theta}}_{2}+\overline{\overline{\Theta_{1} h_{1}^{\prime}}}
eq 0 .
\]
Нетрудно найти функцию $h_{2}(\theta)$, удовлетворяющую (X.86), (X.82) и (X.83). Для третьего коэффициента имеем
\[
\Omega_{0} h_{3}^{\prime}+\Theta_{8}+\Theta_{3} h_{1}^{\prime}+\Theta_{1} h_{8}^{\prime}=\overline{\bar{\Theta}}_{8}+\overline{\overline{\Theta_{\mathbf{3}} h_{1}^{\prime}}}+\overline{\overline{\Theta_{1} h_{2}^{\prime}}}=0
\]
и т. д. Средние значения коэффициентов о нечетными номерами обращаются в нуль, и
\[
\begin{array}{l}
+\ldots+O\left(\varepsilon^{N-1}\right) \stackrel{\text { def }}{=} \Omega\left(\varepsilon^{2}\right)+O\left(\varepsilon^{N-2}\right): \\
\end{array}
\]
Если $\lambda_{0}^{5}=1$, то траектории на торе определяются, вообще говоря, асимптотическим выражением вида
\[
\varepsilon^{2} \Omega\left(\varepsilon^{2}\right) t=\theta+\varepsilon h_{1}(\theta)+\varepsilon^{2} h_{2}(\theta)+\ldots+\varepsilon^{N-1} h_{N-1}(\theta)+\chi(t, \varepsilon),
\]
где $h_{l}(\theta)$ суть $(2 \pi / 5)$-периодические функции, средние значения которых равны нулю, $N$ – неограниченное число, а $\dot{\chi}(t, \varepsilon)=O\left(\varepsilon^{N}\right)$.
