Теперь перейдем к задаче нахождения траекторий на торе. В частности, найдем $\theta =\theta (t,\epsilon )$ как решение уравнения (X.56) ния этой задачи определим
$$\tilde{\theta }=\theta +\sum _{l=1}^{N-1}{\epsilon }^t{h}_l(\theta )$$

и построим периодические функции $h_l(\theta )=h_l(\theta +2\pi )$, средние значения которых равны нулю, ${\bar{\overline{h}}}_l=0$, так, чтобы $\dot{\tilde{\theta }}$ была равна константе с точностью до членов порядка ${\epsilon }^N$. Оказывается, что эти
$$h_l(\theta )=h_l(\theta +\frac{2\pi }{5}),{\bar{\overline{h}}}_l=0.$$

Дифференциальное уравнение для $\tilde{\theta }$ имеет вид
$$\frac{d\tilde{\theta }}{dt}=\{1+\sum _{l=1}^{N-1}{\epsilon }^l{h}_l^{\prime }(\theta )\}\frac{d\theta }{dt},$$

где $d\theta /dt$ даетея формулой (X.56) при $n=5$. После рваложения правой части (X.56), по степеням $\epsilon$
$$\begin{array}{c}\mu ={\mu }_2{\epsilon }^2+{\mu }_4{\epsilon }^4+{\mu }_8{\epsilon }^6+\dots ,\\ \rho (\theta )=\epsilon +{\epsilon }^2{\rho }_2(\theta )+{\epsilon }^3{\rho }_8(\theta )+{\epsilon }^4{\rho }_4(\theta )+\dots \end{array}$$

находим, что
$$\frac{d\theta }{dt}={\mathrm{\Omega }}_0{\epsilon }^2+{\mathrm{\Theta }}_1(\theta ){\epsilon }^3+{\mathrm{\Theta }}_2(\theta ){\epsilon }^4+{\mathrm{\Theta }}_3(\theta ){\epsilon }^5+\dots ,$$

где
$$\begin{array}{l}{\mathrm{\Omega }}_0={\mu }_{\mathrm{R}}{\hat{\omega }}_6+{\beta }_{10},\\ {\mathrm{\Theta }}_1(\theta )=2{\beta }_{10}{\rho }_{\mathrm{s}}(\theta )+{\beta }_{010}{e}^{si\theta }+{\overline{\beta }}_{010}{e}^{-si\theta },\\ {\theta }_2(\theta )={\mu }_4{\hat{\omega }}_0+{\mu }_2^2{\hat{\omega }}_1+{\mu }_2{\beta }_{11}+2{\beta }_{10}{\rho }_3(\theta )+{\beta }_{10}{\rho }_2^2(\theta )+{\beta }_{20}+\\ +3{\rho }_2(\theta )({\beta }_{\theta i0}{e}^{si\theta }+{\overline{\beta }}_{0i0}{e}^{-\xi i\theta }),\\ {\mathrm{\Theta }}_3(\theta )=2{\beta }_{10}{\rho }_2(\theta ){\rho }_3(\theta )+2{\mu }_2{\beta }_{11}{\rho }_8(\theta )+4{\beta }_{80}{\rho }_2(\theta )+\\ +3[{\rho }_2^2(\theta )+{\rho }_8(\theta )][{\beta }_{010}{e}^{si\theta }+{\overline{\beta }}_{010}{e}^{-si\theta }]+\\ +2{\beta }_{11}{\rho }_4(\theta )+[{\beta }_{110}{e}^{5i\theta }+{\overline{\beta }}_{110}{e}^{-\delta i\theta }]+\\ +{\mu }_2[{\beta }_{011}{e}^{5i\theta }+{\overline{\beta }}_{011}{e}^{-si\theta }]\end{array}$$

и т. д. Здесь и вообще
$$\begin{array}{c}{\overline{\overline{\mathrm{\Theta }}}}_{2l}eq0\text{ и }{\overline{\overline{\mathrm{\Theta }}}}_{2l+1}=0,l⩾1,\\ {\mathrm{\Theta }}_l(\theta )={\mathrm{\Theta }}_l(\theta +\left(\frac{2\pi }{5}\right)).\end{array}$$

Из уравнений (X.77) и (Х.78) следует, что
$$\begin{array}{rl}\frac{d\tilde{\theta }}{dt}=[1& +\epsilon h_1^{\prime }(\theta )+{\epsilon }^2{h}_2^{\prime }(\theta )+{\epsilon }^8{h}_3^{\prime }(\theta )+\dots ]\times \\ & \times [{\mathrm{\Omega }}_0{\epsilon }^2+{\mathrm{\Theta }}_1(\theta )e^8+{\mathrm{\Theta }}_2(\theta ){\epsilon }^4+{\mathrm{\Theta }}_8(\theta ){\epsilon }^5+\dots ]+O\left({\epsilon }^N\right).\end{array}$$

Теперь для упрощения (X.81) будем строить периодические функции $h_l(\theta )$
$$h_l(\theta )=h_l(\theta +\left(\frac{2\pi }{5}\right))\text{, }$$

для которых
$${\bar{\overline{h}}}_l=0$$

для всех $l⩾1$ и такие, что
$$\frac{d\tilde{\theta }}{dt}={\epsilon }^2\mathrm{\Omega }\left({\epsilon }^2\right)+O\left({\epsilon }^N\right),$$

где $\mathrm{\Omega }\left({\epsilon }^2\right)$ — полином, не зависящий от $t$ и $\theta$. Наш метод выбора состоит в следующем. Сначала сгруппируем члены правой части (X.81)
по степеням $\epsilon$ :
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{{\mathrm{e}}^2}\frac{d\tilde{\theta }}{dt}=& {\mathrm{\Omega }}_0+({\mathrm{\Omega }}_0{h}_1^{\prime }+{\mathrm{\Theta }}_1)\epsilon +({\mathrm{\Omega }}_0{h}_2^{\prime }+{\mathrm{\Theta }}_2+{\mathrm{\Theta }}_1{h}_1^{\prime }){\epsilon }^2+\\ & +({\mathrm{\Omega }}_0{h}_3^{\prime }+{\mathrm{\Theta }}_3+{\mathrm{\Theta }}_2{h}_1^{\prime }+{\mathrm{\Theta }}_1{h}_2^{\prime }){\epsilon }^3+\dots +\\ & +({\mathrm{\Omega }}_0{h}_l^{\prime }+{\mathrm{\Theta }}_l+{\mathrm{\Theta }}_{l-1}{h}_1^{\prime }+\dots +{\mathrm{\Theta }}_1{h}_{l-1}^{\prime }){\epsilon }^l+\dots +O\left({\epsilon }^{N-2}\right).(\mathrm{X}.85)\end{array}$$

Мы предполагаем, что ${\mathrm{\Omega }}_{0}eq0$. Затем последовательно выбираем $h_n(\theta )$ таким образом, чтобы каждый коэффициент был заменен его средним значением. Для первого коэффициента полагаем
$${\mathrm{\Omega }}_0{h}_1^{\prime }+{\theta }_1={\overline{\overline{\mathrm{\Theta }}}}_1,$$

где
$${\mathrm{\Theta }}_1={\mathrm{\Theta }}_{10}{e}^{si\theta }+{\overline{\mathrm{\Theta }}}_{10}{e}^{-5i\theta },{\overline{\overline{\mathrm{\Theta }}}}_1=0.$$

Поэтому
$$h_1=-\frac{{\mathrm{\Theta }}_{10}}{5i{\mathrm{\Omega }}_0}{e}^{si\theta }+\frac{{\overline{\mathrm{\Theta }}}_{10}}{5i{\mathrm{\Omega }}_0}{e}^{-5i\theta }.$$

Для второго коэффициента находим, что
$${\mathrm{\Omega }}_0{h}_2^{\prime }+{\mathrm{\Theta }}_2+{\mathrm{\Theta }}_1{h}_1^{\prime }={\overline{\overline{\mathrm{\Theta }}}}_2+\stackrel{―}{\overline{{\mathrm{\Theta }}_1{h}_1^{\prime }}}eq0.$$

Нетрудно найти функцию $h_2(\theta )$, удовлетворяющую (X.86), (X.82) и (X.83). Для третьего коэффициента имеем
$${\mathrm{\Omega }}_0{h}_3^{\prime }+{\mathrm{\Theta }}_8+{\mathrm{\Theta }}_3{h}_1^{\prime }+{\mathrm{\Theta }}_1{h}_8^{\prime }={\overline{\overline{\mathrm{\Theta }}}}_8+\stackrel{―}{\overline{{\mathrm{\Theta }}_{\mathbf{3}}{h}_1^{\prime }}}+\stackrel{―}{\overline{{\mathrm{\Theta }}_1{h}_2^{\prime }}}=0$$

и т. д. Средние значения коэффициентов о нечетными номерами обращаются в нуль, и
$$\begin{array}{l}+\dots +O\left({\epsilon }^{N-1}\right)\stackrel{\text{ def }}{=}\mathrm{\Omega }\left({\epsilon }^2\right)+O\left({\epsilon }^{N-2}\right):\end{array}$$

Если ${\lambda }_0^5=1$, то траектории на торе определяются, вообще говоря, асимптотическим выражением вида
$${\epsilon }^2\mathrm{\Omega }\left({\epsilon }^2\right)t=\theta +\epsilon h_1(\theta )+{\epsilon }^2{h}_2(\theta )+\dots +{\epsilon }^{N-1}{h}_{N-1}(\theta )+\chi (t,\epsilon ),$$

где $h_l(\theta )$ суть $(2\pi /5)$-периодические функции, средние значения которых равны нулю, $N$ — неограниченное число, а $\dot{\chi }(t,\epsilon )=O\left({\epsilon }^N\right)$.