Пусть $\mathbf{A}-(n \times n)$-матрица, $n \geqslant 2$; определим
\[
\mathbf{T}=\mathbf{A}-\sigma \mathbf{l} \text {, }
\]

где $\sigma$-какие-либо из собственных значений А. Пусть
\[
N_{l}=\left\{\psi: \boldsymbol{\Upsilon}^{l} \cdot \psi=0\right\}
\]
– нуль-пространство матрицы $\mathbf{T}^{t}$,
\[
\mathbf{T}^{l}=\mathbf{T} \cdot \mathbf{T} \ldots \mathbf{T}(l \text { раз), }
\]

и обозначим через
\[
n_{l}=\operatorname{dim} N_{l}
\]

число независимых векторов $\psi$, которые обращаются в нуль матрицей $\mathbf{T}^{l}$, где $l \geqslant 1$. Если $\mathbf{T} \cdot \psi=0$, то $\mathbf{T}^{n} \cdot \psi=0$ для $n \in \mathbb{N}, n \geqslant 2$. Поэтому, например, $N_{2} \supseteq N_{1}$ и $N_{n+1} \supseteq N_{n}$. В § IV. 2 было показано, что индекс Риса $v$-наибольшее целое число, для которого
\[
N_{1} \subset N_{2} \subset \cdots \subset N_{v}=N_{v+k} \text { для всех } k \in \mathbb{N},
\]

где вложения являются строгими. Нами уже определены
\[
\begin{array}{l}
n_{v}=\text { алгебраическая кратность } \sigma, \\
n_{1}=\text { геометрическая кратность } \sigma,
\end{array}
\]

и, естественно, $n_{v} \geqslant n_{1}$. Векторы $\psi \in N_{1}$ являются собственными векторами для $\sigma$; они удовлетворяют равенству $\mathbf{T} \cdot \boldsymbol{\psi}=0$. Векторы $\psi \in N_{l}, l>1$, называются обобщенными собственными векторами.

Если $v=1$, то не существует обобщенных собственных векторов. В этом случае $\sigma$-полупростое собственное значение $\mathbf{A}$; оно простое, если $n_{1}=1$, и более высокой кратности в противном случае. Индекс Риса, равный единице, означает, что $\sigma$-полупростое собственное значение.

Кроме того, для присоединенной задачи имеем следующие обобщенные нуль-пространства:
\[
N_{l}^{*}=\left\{\Psi^{*}:\left(\mathbf{T}^{T}\right)^{l} \cdot \boldsymbol{\Psi}^{*}=0\right\} .
\]

Они имеют ту же самую размерность, что и $N_{l}$ :
\[
n_{l}=\operatorname{dim} N_{i}^{*}=\operatorname{dim} N_{l} \text { для } 1 \leqslant l \leqslant v .
\]

Покажем теперь, что собственные значения $\sigma$ вещественной симметрической матрицы А являются вещественными и полупростыми, и поэтому собственные векторы А являются собственными, а не обобщенными собственными векторами. Мы имеем $\mathbf{A} \cdot \mathbf{x}=\sigma \mathbf{x}$ и $\langle\mathbf{A} \cdot \mathbf{x}, \mathbf{x}\rangle=\langle\mathbf{x}, \mathbf{A} \cdot \mathbf{x}\rangle$, так что $\sigma\langle\mathbf{x}, \mathbf{x}\rangle=\bar{\sigma}\langle\mathbf{x}, \mathbf{x}\rangle$ и $\sigma=\bar{\sigma}$, если $\mathbf{x}
eq 0$. Предположим теперь, что $\mathbf{T}^{2} \cdot \boldsymbol{\psi}=0$. Тогда
\[
0=\left\langle\mathbf{T}^{2} \cdot \boldsymbol{\psi}, \boldsymbol{\psi}\right\rangle=\langle\mathbf{T} \cdot \boldsymbol{\psi}, \mathbf{T} \cdot \boldsymbol{\psi}\rangle,
\]

где $\overline{\mathbf{T}}^{T}=\mathbf{T}$, потому что $\bar{\sigma}=\sigma$. Отсюда следует, что $\mathbf{T} \cdot \boldsymbol{\psi}=0$, и поэтому $\boldsymbol{\psi}$-собственный, а не обобщенный собственный вектор.

В общем случае можно показать (см. книги по линейной алгебре, в которых излагается теория жордановых базисов), что можно выбрать обобщенные собственные векторы $\mathbf{T}$ : $\boldsymbol{\psi}_{i}^{(1)}, \ldots, \psi_{i}^{\left(v_{i}\right)}$ так, что
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{T} \cdot \boldsymbol{\psi}_{i}^{(1)}=0, \quad \mathbf{T} \cdot \boldsymbol{\psi}_{i}^{(2)}=\boldsymbol{\psi}_{i}^{(1)}, \\
\mathbf{T} \cdot \boldsymbol{\psi}_{i}^{\left(v_{i}\right)}=\psi^{\left(v_{i}-1\right)}, \quad i=1, \ldots, k .
\end{array}
\]

Кроме того, можно выбрать обобщенные собственные векторы $\mathbf{T}^{T}: \bar{\psi}_{i}^{*(1)}, \ldots, \bar{\psi}_{i}^{*}{ }^{\left(v_{i}\right)}$ так, что
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{T}^{T} \cdot \bar{\psi}_{i}^{*}\left(v_{i}\right)=0, \quad \mathbf{T}^{T} \cdot \bar{\psi}_{i}^{*\left(v_{i}-1\right)}=\bar{\psi}_{i}^{*}\left(v_{i}\right), \\
\mathbf{T}^{T} \cdot \bar{\psi}_{i}^{*(1)}=\bar{\psi}_{i}^{*(2)}, \quad i=1, \ldots, k,
\end{array}
\]

где
\[
\left\langle\boldsymbol{\psi}_{i}^{(l)}, \boldsymbol{\psi}_{i}^{*\left(m_{1}\right.}\right\rangle=\delta_{i j} \delta^{l m} .
\]

На самом деле некоторые из соотношений (IV.35) автоматически выполняются, а другие можно удовлетворить в результате соответствующего выбора $\boldsymbol{\psi}_{j}^{*(k)}$ (см. приведенный ниже пример). Условия биортогональности, которые автоматически выполняются, можно получить следующим образом:
\[
\begin{aligned}
\left\langle\boldsymbol{\Psi}_{i}^{(m)}, \boldsymbol{\Psi}_{j}^{*}(n)\right\rangle & =\left\langle\mathrm{T} \cdot \boldsymbol{\psi}_{i}^{(m+1)}, \boldsymbol{\Psi}_{i}^{*(n}\right\rangle= \\
& =\left\langle\boldsymbol{\psi}_{i}^{(m+1)}, \mathbf{T}^{T} \cdot \boldsymbol{\Psi}_{j}^{*(n)}=\right. \\
& =\left\langle\boldsymbol{\Psi}_{i}^{(m+1)}, \boldsymbol{\Psi}_{i}^{*(n+1)}\right\rangle,
\end{aligned}
\]

если $1 \leqslant m<v_{i}, 1<n \leqslant v_{j}$. Отсюда заключаем, что
\[
\begin{array}{l}
\left\langle\boldsymbol{\psi}_{i}^{(m)}, \boldsymbol{\psi}_{i}{ }^{*}{ }^{\left(v_{f}\right)}\right\rangle=0, \quad 1 \leqslant m<v_{i}, \\
\left\langle\psi_{i}^{(1)}, \boldsymbol{\psi}_{i}^{*}{ }^{(n)}\right\rangle=0, \quad 1<n \leqslant v_{j}, \\
\left\langle\boldsymbol{\psi}_{i}^{(m)}, \boldsymbol{\psi}_{i}^{*(n)}\right\rangle=0, \quad n \geqslant m+1 \text {. } \\
\end{array}
\]

Пример IV.1. Рассмотрим матрицу
\[
\mathbf{T}=\left[\begin{array}{rrr}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right] .
\]

Нуль является собственным значением $\mathbf{T}$ с алгебраической кратностью, равной трем, и
\[
\mathbf{x}_{1}=\alpha\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right], \quad \mathbf{x}_{2}=\beta\left[\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right]
\]

суть собственные векторы, соответствующие нулевому собственному значению. Легко проверить, что единственная комбинация $\alpha \mathbf{x}_{1}+\beta \mathbf{x}_{\mathbf{2}}$, удовлетворяющая уравнению $\mathbf{T} \cdot \psi=\alpha \mathbf{x}_{1}+\beta \mathbf{x}_{2}$, есть та, для которой $\alpha=1, \beta=-1$, т. е.
\[
\mathbf{T} \cdot \boldsymbol{\psi}=\mathbf{x}_{1}-\mathbf{x}_{2}=\left[\begin{array}{r}
1 \\
-1 \\
0
\end{array}\right] .
\]

Отсюда следует, что невозможно разрешить уравнения
\[
\mathbf{T} \cdot \boldsymbol{\psi}=\mathrm{x}_{1}, \quad \mathbf{T} \cdot \boldsymbol{\psi}=\mathrm{x}_{2}
\]

относительно обобщенного собственного вектора $\psi=\psi^{(2)}$. Тем не менее можно выбрать собственный вектор матрицы T в форме
\[
\boldsymbol{\psi}_{1}^{(1)}=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right] \text { и } \boldsymbol{\psi}_{2}^{(1)}=\left[\begin{array}{r}
1 \\
-1 \\
0
\end{array}\right] .
\]

Обобщенный вектор $\boldsymbol{\psi}=\boldsymbol{\psi}_{2}^{(2)}$, удовлетворяющий (IV.36), имеет вид
\[
\boldsymbol{\psi}_{2}^{(2)}=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right] .
\]

Присоединенные собственные векторы, удовлетворяющие уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{T}^{T} \cdot \overline{\boldsymbol{\psi}}_{2}^{(2)}=0, \\
\mathbf{T}^{T} \cdot \overline{\boldsymbol{\psi}}_{2}^{*(1)}=\bar{\psi}_{2}^{*(2)}, \\
\mathbf{T}^{T} \cdot \bar{\psi}_{1}^{*(1)}=0,
\end{array}
\]

где
\[
\mathbf{T}^{T}=\left[\begin{array}{rrr}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 0
\end{array}\right],
\]

суть
\[
\psi_{1}^{*(1)}=\left[\begin{array}{l}
\alpha_{1} \\
\alpha_{1} \\
\beta_{1}
\end{array}\right], \quad \psi_{2}^{*(2)}=\left[\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\beta_{2}
\end{array}\right], \quad \psi_{2}^{*(1)}=\left[\begin{array}{c}
\alpha_{3}+\beta_{2} \\
\alpha_{3} \\
\beta_{3}
\end{array}\right] .
\]

Кроме того, эти векторы удовлетворяют (IV.35), если
\[
\boldsymbol{\psi}_{1}^{*(1)}=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{\psi}_{2}^{*(2)}=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{\psi}_{2}^{*(1)}=\left[\begin{array}{r}
0 \\
-1 \\
0
\end{array}\right] .
\]