Суперкритический тор ( $\left.\mu_{2}>0\right)$ устойчив, если в мало. Однако одно из двух субгармонических решений неустойчиво. Чтобы исс.ледовать устойчивость этих решений, положим $\rho=\rho(\theta, \varepsilon)=\varepsilon+\varepsilon^{2} \rho_{2}(\theta)+$ $+O\left(\varepsilon^{3}\right), \mu=\mu_{2} \varepsilon^{2}+O\left(\varepsilon^{4}\right)$ в (X.78) и найдем, что
\[
\dot{\theta}=\varepsilon^{3} \Theta_{1}(\theta)+O\left(\varepsilon^{4}\right),
\]

где $\Theta_{1}(\theta)$ дается формулой (X.137). Теперь наложим на $\theta_{0}$ возмущение $\theta=\theta_{0}+\theta^{\prime}$ и линеаризуем последнее уравнение с учетом (X.136); в результате получим уравнение
\[
\dot{\theta}^{\prime}=\left[\varepsilon^{3} \Theta_{1}^{\prime}\left(\theta_{0}\right)+O\left(\varepsilon^{4}\right)\right] \theta^{\prime}+O\left(\left|\theta^{\prime}\right|^{2}\right),
\]

где $\theta_{0}$ дается формулой (X.138), $\beta_{10} / \alpha_{10}=\hat{\omega}_{0} / \hat{\xi}_{0}, \beta_{010}=i \alpha_{010}$ и
\[
2 \beta_{10} \rho_{2}^{\prime}\left(\theta_{0}\right)=5 i \frac{\beta_{10}}{\alpha_{10}}\left[-\alpha_{010} e^{s t \theta_{11}}+\bar{\alpha}_{010} e^{-5 i \theta_{0}}\right] \text {. }
\]

После некоторых простых выкладок с использованием только что указанных соотношений уравнение (X.140) приводится к виду
\[
\begin{array}{r}
\dot{\theta}^{\prime}=-\left[\frac{5 \varepsilon^{3}}{\hat{\xi}_{0}}\left|\hat{\sigma}_{0}\right|\left|\alpha_{010}\right| \cos k \pi\right]+ \\
+\left[O\left(\varepsilon^{4}\right)\right] \theta^{\prime}+O\left(\left|\theta^{\prime}\right|\right)^{2} .
\end{array}
\]

Поэтому $5 T$-периодическое решение с 5 точками пересечения ( $k=0,2,4,6,8$ ), близкими к гребням, устойчиво, а другое $5 T$-периодическое решение с точками пересечения, близкими к впадинам $(k=1,3,5,7,9)$, неустойчиво (см. рис. X.2).

Результаты, касающиеся устойчивости субгармонических решений при $n>5$, подобны только что приведенным. Существуют два различных периодических решения на торе, каждое из которых пересекает замк нутую кривую в $n$ точках; половина этих точек принадлежит устойчивому решению, a половина неустойчивому, причем устойчивые и неустойчивые точки пересечения чередуются. (Подробности этих расчетов устойчивости можно найти в книге Йocca Bifurcation of Maps and Applications, цитированной выше.)
Рис. Х.2. Бифуркацня и устойчивость $5 T$-периодических решений на торе. Существјют два $5 T$-периодических решения, имеющие по 5 точек пересечения с поперечным сечением тора. Решение с положительными значениями $\rho_{2}\left(\theta_{0}\right)$ неустойчиво, а решение с отрицательными значениями устойчиво. Если $\arg \hat{\sigma}_{0}=0$, то $\hat{\omega}_{0}=$ $=\omega_{\mu}(0)=0$, и множитель Флоке $\lambda=e^{\sigma T}=e^{i \omega_{0} T} e^{\mu \xi_{0} T}$ пересекаег единичную окружность в направлении луча, исходящего из начала. В этом случае устойчивым решениям соответствуют 5 точек на гребнях, где $\rho^{\prime}\left(\theta_{0}\right)=0$, а неустойчивым решениям 5 точек во впадинах, для которых $\rho^{\prime}\left(\theta_{0}\right)=0$.