Суперкритический тор ( ${\mu }_2>0)$ устойчив, если в мало. Однако одно из двух субгармонических решений неустойчиво. Чтобы исс.ледовать устойчивость этих решений, положим $\rho =\rho (\theta ,\epsilon )=\epsilon +{\epsilon }^2{\rho }_2(\theta )+$ $+O\left({\epsilon }^3\right),\mu ={\mu }_2{\epsilon }^2+O\left({\epsilon }^4\right)$ в (X.78) и найдем, что
$$\dot{\theta }={\epsilon }^3{\mathrm{\Theta }}_1(\theta )+O\left({\epsilon }^4\right),$$

где ${\mathrm{\Theta }}_1(\theta )$ дается формулой (X.137). Теперь наложим на ${\theta }_0$ возмущение $\theta ={\theta }_0+{\theta }^{\prime }$ и линеаризуем последнее уравнение с учетом (X.136); в результате получим уравнение
$${\dot{\theta }}^{\prime }=[{\epsilon }^3{\mathrm{\Theta }}_1^{\prime }\left({\theta }_0\right)+O\left({\epsilon }^4\right)]{\theta }^{\prime }+O\left({\left|{\theta }^{\prime }\right|}^2\right),$$

где ${\theta }_0$ дается формулой (X.138), ${\beta }_{10}/{\alpha }_{10}={\hat{\omega }}_0/{\hat{\xi }}_0,{\beta }_{010}=i{\alpha }_{010}$ и
$$2{\beta }_{10}{\rho }_2^{\prime }\left({\theta }_0\right)=5i\frac{{\beta }_{10}}{{\alpha }_{10}}[-{\alpha }_{010}{e}^{st{\theta }_{11}}+{\overline{\alpha }}_{010}{e}^{-5i{\theta }_0}]\text{. }$$

После некоторых простых выкладок с использованием только что указанных соотношений уравнение (X.140) приводится к виду
$$\begin{array}{r}{\dot{\theta }}^{\prime }=-[\frac{5{\epsilon }^3}{{\hat{\xi }}_0}\left|{\hat{\sigma }}_0\right|\left|{\alpha }_{010}\right|\cos k\pi ]+\\ +\left[O\left({\epsilon }^4\right)\right]{\theta }^{\prime }+O{\left(\left|{\theta }^{\prime }\right|\right)}^2.\end{array}$$

Поэтому $5T$-периодическое решение с 5 точками пересечения ( $k=0,2,4,6,8$ ), близкими к гребням, устойчиво, а другое $5T$-периодическое решение с точками пересечения, близкими к впадинам $(k=1,3,5,7,9)$, неустойчиво (см. рис. X.2).

Результаты, касающиеся устойчивости субгармонических решений при $n>5$, подобны только что приведенным. Существуют два различных периодических решения на торе, каждое из которых пересекает замк нутую кривую в $n$ точках; половина этих точек принадлежит устойчивому решению, a половина неустойчивому, причем устойчивые и неустойчивые точки пересечения чередуются. (Подробности этих расчетов устойчивости можно найти в книге Йocca Bifurcation of Maps and Applications, цитированной выше.)
Рис. Х.2. Бифуркацня и устойчивость $5T$-периодических решений на торе. Существјют два $5T$-периодических решения, имеющие по 5 точек пересечения с поперечным сечением тора. Решение с положительными значениями ${\rho }_2\left({\theta }_0\right)$ неустойчиво, а решение с отрицательными значениями устойчиво. Если $\arg {\hat{\sigma }}_0=0$, то ${\hat{\omega }}_0=$ $={\omega }_{\mu }(0)=0$, и множитель Флоке $\lambda =e^{\sigma T}=e^{i{\omega }_{0}T}{e}^{\mu {\xi }_{0}T}$ пересекаег единичную окружность в направлении луча, исходящего из начала. В этом случае устойчивым решениям соответствуют 5 точек на гребнях, где ${\rho }^{\prime }\left({\theta }_0\right)=0$, а неустойчивым решениям 5 точек во впадинах, для которых ${\rho }^{\prime }\left({\theta }_0\right)=0$.