Самые простые и наиболее типичные ситуации, приводящие к субгармонической бифуркации в самовозбуждаемые решения автономных задач, аналогичны ситуациям, приводящим к субгармоническим бифуркациям нетривиальных $T$-периодических задач, которые были описаны в гл. IX. Однако в автономном случае необходимо учитывать то обстоятельство, что $\boldsymbol{\Gamma}=\dot{\mathbf{U}}(s, \mu)$ удовлетворяет задаче (XI.5) для всех $\mu$ всякий раз, когда $\gamma(\mu)=0$. В последней теореме, доказанной в § VIII.4, было показано, что $\gamma(\mu)=0$ не может быть алгебраически простым собственным значением.

Поэтому наиболее простые предположения о собственных значениях $\gamma\left(\mu_{0}\right)=i \eta_{0}$ оператора $J_{0}$ можно сформулировать следующим образом:
1. $i \eta_{0}=0$ есть изолированное двой ное собственное значение оператора $J_{0}$;
II. $i \eta_{0}=0$ есть изолированное простое собственное значение оператора $J_{0}$.
Если предположить, что $\eta_{0} / \omega_{0}=m / n, m
eq 0$, то задачи (XI.8). принимают вид
\[
\begin{array}{r}
\frac{i \omega_{0} m}{n} \Gamma_{0} \equiv J_{0} \boldsymbol{\Gamma}_{0}, \\
\frac{-i \omega_{0} m}{n} \Gamma_{0}^{*} \equiv J_{0}^{*} \boldsymbol{\Gamma}_{0}^{*} .
\end{array}
\]
\[
(\mathrm{XI} .13)_{2}
\]

Тогда решение $\mathbf{v}(t)$ линеаризированной задачи (XI.5) в критической точке дается формулой