Часто представляется удобным разлагать нелинейный оператор $\mathbf{F}(t, \mu, \mathbf{U})$ в ряд Тейлора в окрестности вектора $\mathbf{U}_{0}$. Так,
\[
\begin{aligned}
\mathbf{F}\left(t, \mu, \mathbf{U}_{u}+\mathbf{v}\right) & =\mathbf{F}\left(t, \mu, \mathbf{U}_{0}\right)+\mathbf{F}_{v}\left(t, \mu, \mathbf{U}_{0} \mid \mathbf{v}\right)+ \\
& +\frac{1}{2} \mathbf{F}_{v U}\left(t, \mu, \mathbf{U}_{0}|\mathbf{v}| \mathbf{v}\right)+\frac{1}{3 !} \mathbf{F}_{U U U}\left(t, \mu, \mathbf{U}_{0}|\mathbf{v}| \mathbf{v} \mid \mathbf{v}\right)+ \\
& +O\left(\|\mathbf{v}\|^{4}\right),
\end{aligned}
\]

где, например,
\[
\begin{aligned}
\mathbf{F}_{U U}\left(t, \mu, \mathbf{U}_{0}|\mathbf{a}| \mathbf{b}\right) & =\mathbf{F}_{U U}\left(t, \mu, \mathbf{U}_{0}|\mathbf{b}| \mathbf{a}\right)= \\
& \left.\stackrel{\text { del }}{=} \frac{\partial^{2} \mathbf{F}\left(t, \mu, \mathbf{U}_{0}+\delta_{1} \mathbf{a}+\delta_{2} \mathbf{b}\right)}{\partial \delta_{1} \partial \delta_{2}}\right|_{\delta_{1}=\delta_{2}=0}
\end{aligned}
\]
– билинейный оператор, переводящий векторы в векторы. $\mathbf{F}_{U U U}(t, \mu$, $\left.\mathbf{U}_{0}|\mathbf{v}| \mathbf{v} \mid \mathbf{v}\right)$ порождается трилинейным оператором точно таким же образом. Многолинейные операторы, очевидно, симметричны относительно векторных аргументов, стоящих справа от вертикальных черточек.

Если $\mathrm{U}(t) \in \mathbb{R}^{n}$, то функциональные производные можно выразить через матрицы
\[
\begin{array}{l}
\left\{\mathbf{F}_{U}\left(t, \mu, \mathbf{U}_{0} \mid \mathbf{v}\right)\right\}_{i}=\left\{\mathbf{A}\left(t, \mu, \mathbf{U}_{0}\right) \cdot \mathbf{v}\right\}_{i}= \\
=A_{i j}(t, \mu, \mathbf{U}) v_{j}, \\
\frac{1}{2}\left\{\mathbf{F}_{U U}\left(t, \mu, \mathbf{U}_{0}|\mathbf{v}| \mathbf{v}\right)\right\}=\left\{\mathbf{B}\left(t, \mu, \mathbf{U}_{0}\right) \cdot \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}\right\}= \\
=B_{i j k}\left(t, \mu, \mathbf{U}_{0}\right) v_{j} v_{k}, \\
\frac{1}{3 !}\left\{\mathbf{F}_{U U U}\left(t, \mu, \mathbf{U}_{0}|\mathbf{v}| \mathbf{v} \mid \mathbf{v}\right)\right\}_{l}=\left\{\mathbf{C}\left(t, \mu, \mathbf{U}_{0}\right) \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}\right\}_{i}= \\
=C_{i j k l}\left(t, \mu, \mathbf{U}_{0}\right) v_{j} v_{k} v_{l},
\end{array}
\]

где индексы пробегают значения от 1 до $n$; по повторяющимся индексам производится суммирование; $B_{i j k}$ и $C_{i j k l}$ симметричны по отношению к перестановке индексов, следующих за $i$.

Точно такие же разложения имеют место в случае, если задача приведена к локальной форме. В этом случае (см. (I.17) $)_{2}$ ) имеем
\[
\frac{d \mathbf{u}}{d t}=\mathbf{f}(t, \mu, \mathbf{u})=\mathbf{f}_{u}(t, \mu \mid \mathbf{u})+\frac{1}{2} \mathbf{f}_{u u}(t, \mu|\mathbf{u}| \mathbf{u})+\frac{1}{31} \mathbf{f}_{u n u}(t, \mu|\mathbf{u}| \mathbf{u} \mid \mathbf{u})+\ldots
\]

и в $\mathbb{R}^{n}$
\[
\mathbf{f}(t, \mu, \mathbf{u})=\mathbf{A}(t, \mu) \cdot \mathbf{u}+\mathbf{B}(t, \mu) \cdot \mathbf{u} \cdot \mathbf{u}+\mathbf{C} \cdot \mathbf{u} \cdot \mathbf{u} \cdot \mathbf{u}+\ldots .
\]

Замечания

Теория бифуркаций применима, вобще говоря, к нелинейным задачам не только когда бифуркационными решениями являются равновесные решения эволюционных задач типа (I.1), но также и в случае интегральных уравнений, нелинейных алгебраических и функциональных у равнений, интегро-дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений, особенно уравнений с запаздыванием, в которых важно влияние памяти; например,
\[
\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}=\int_{-\infty}^{t} G(t-\tau) \mathbf{F}(\tau, \mu, \mathbf{u}(\tau)) d \tau .
\]

Теория, развиваемая в этой книге, может служить руководством при исследовании других задач; во многих случаях требуется внести только незначительные и очевидные изменения.

Наличие в (I.1) производной по времени важно для определения равновесных решений и анализа их устойчивости. Например, в следующей главе будет показано, что теория бифуркаций плоских кривых $F(\mu, \varepsilon)=0$ представляет собой не что иное, как исследование особых точек этих кривых. Анализ особых точек этих кривых может быть связан с устойчивостью, однако эта связь несущественна и не является внутренней. Задача устойчивости зависит от того, является ли система диссипативной или консерватнвной. Консервативные системы являются более трудными в гом смысле, что их малые возмущения не затухают. В этой книге будут рассматриваться голько диссипативные системы.

Имеется много работ и несколько монографий, посвященных задачам. бифуркации. Слово бифуркация, или Abzteigung, видимо, введено K. Якоби (Über die Figur des Gleichgewichts, Pogg. Ann., 32,’ 229 (1834)) в его исследовании бифуркации сфероидальных фигур равновесия (эллипсоидов Маклорена) самогравитирующих вращающихся тел. Французское слово bifurcation введено А. Пуанкаре (Sur l’équilibre d’une masse fluide animée d’un mouvement de rotation, Acta Math., 7, $259-380$ (1885). Имеется много книг и монографий, посвященных задачам бифурацин я устойчивости. Большинство из них не элементарны или если элементарны, то слишком специфичны-относятся к анализу частных прикладных задач, и хотя эти исследования достойны похвалы, они содержат много деталей анализа конкретных задач, которые не являются центральными в задачах бифуркации и устойчивости Ниже приводится неполный список обзорных статей, отдельных работ, книг и монографий, которые могут помочь студентам после овладения ими элементарной георией.