Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
В постановке задачи о субгармонической бифуркации решения Xопфа (XI.3) удобно отобразить периоды решения Xопфа и субгармонического бифуркационного решения на одну и ту же фиксированную область. Чтобы объяснить важность этой процедуры, отметим, что решение Xопфа (XI.3) имеет вид
\[
\mathbf{V}=\hat{\mathbf{U}}(s, \mu)=\hat{\mathbf{U}}(s+2 \pi, \mu), \quad s=\hat{\omega}(\mu) t,
\]
и мы ищем субгармоническое решение уравнения (XI.2) вида
\[
\mathbf{V}=\hat{\psi}(s, \mu)=\hat{\psi}(s+2 \pi n, \mu), \quad s=\hat{\Omega}(\mu) t,
\]
которое является строго $2 \pi n$-пєриодическим ( $n \in \mathbb{N}$ ) относительно приведенной переменной $s$ и таким, что
\[
\mathbf{U}_{0}(s) \stackrel{\text { def }}{=} \hat{\mathbf{U}}\left(s, \mu_{0}\right)=\hat{\Psi}\left(s, \mu_{0}\right),
\]
где
\[
\hat{\omega}\left(\mu_{0}\right)=\omega_{0}=\hat{\Omega}\left(\mu_{0}\right)=\Omega_{0} .
\]
Будет показано, что вообще говоря, $\hat{\omega}(\mu)
eq \Omega(\mu)$, так что функция $\hat{\boldsymbol{\psi}}(s, \mu)=\hat{\boldsymbol{\psi}}(\hat{\Omega}(\mu) t, \mu)$ обычно не является ( $2 \pi n / \hat{\omega}(\mu))$-периодической по $t$. Функция $\hat{\mathbf{U}}(s, \mu)=\hat{\mathbf{U}}(s+2 \pi, \mu)$ и $\hat{\omega}(\mu)$ имеют вид (XI.3), а функции $\hat{\boldsymbol{\psi}}(s, \mu)=\hat{\boldsymbol{\psi}}(s+2 \pi n, \mu)$ и $\hat{\Omega}(\mu)$ удовлетворяют уравнению
\[
\hat{\Omega}(\mu) \frac{d \hat{\boldsymbol{\psi}}}{d s}=\mathbf{F}(\mu, \hat{\boldsymbol{\psi}}(s, \mu)) .
\]
Разность
\[
\hat{\mathbf{Y}}(s, \mu)=\hat{\mathbf{U}}(s, \mu)-\hat{\boldsymbol{\psi}}(s, \mu)=\hat{\mathbf{Y}}(s+2 \pi n, \mu)
\]
представляет собой функцию, $2 \pi n$-периодическую по $s$, несмотря на то, что функции, определяющие эту разность,
\[
\hat{\mathbf{U}}(\hat{\omega}(\mu) t, \mu) \quad \text { и } \hat{\boldsymbol{\Psi}}(\hat{\Omega}(\mu) t, \mu),
\]
имеют разные периоды по $t$.
В автономных задачах отношение периода $T(\hat{\Omega})$ бифуркационного субгармонического решения к периоду $T(\hat{\omega})$ рассматриваемого периодического решения есть
\[
\frac{T(\hat{\Omega})}{T(\hat{\omega})}=\frac{n \hat{\omega}(\mu)}{\hat{\Omega}(\mu)}, \quad \hat{\omega}\left(\mu_{0}\right)=\hat{\Omega}\left(\mu_{0}\right) .
\]
Поэтому в общем случае $T(\hat{\Omega}$ ) не равно $n T(\hat{\omega})$.
