Запишем сначала эволюционную задачу, пользуясь опять функциональными обозначениями, введенными в (I.21):
\[
\frac{d \mathbf{u}}{d t}=\mathbf{f}(\mu, \mathbf{u})=\mathbf{f}_{u}(\mu \mid \mathbf{u})+\frac{1}{2} \mathbf{f}_{u u}(\mu|\mathbf{u}| \mathbf{u})+O\left(\|u\|^{3}\right),
\]

где $\mathbf{f}_{u}(\mu \mid \mathbf{u})=\mathbf{A}(\mu) \cdot \mathbf{u}$ и т. д., как в (1.22). Сейчас мы рассматриваем (VI.1) как двумерную задачу, исследованную в качестве случая (1) в гл. V. Спектральная задача, связанная с анализом устойчивости решения $\mathbf{u}=0$, уже была получена в гл. IV. Малое возмущение $\mathbf{v}=e^{\sigma(\mu) t} \mathbf{x}$ удовлетворяет уравнениям $\dot{\mathbf{v}}=\mathrm{f}_{u}(\mu \mid \mathbf{v})$ и
\[
\sigma(\mu) \mathbf{x}=\mathrm{f}_{n}(\mu \mid \mathbf{x}) .
\]

Мы считаем, что в $\mathbb{R}^{2}$ оператор $\mathrm{A}(\mu)=\mathfrak{f}_{u}(\mu \mid \cdot)$ имеет два различных вещественных собственных значения $\xi_{1}(\mu)$ и $\xi_{2}(\mu)$ и два собственных вектора $\mathbf{x}_{1}(\mu)$ и $\mathbf{x}_{2}(\mu)$ (см. § IV.2).

Поэтому
\[
\xi_{j}(\mu) \mathbf{x}_{j}=\mathbf{f}_{n}\left(\mu \mid \mathbf{x}_{j}\right), \quad j=1,2,
\]

для $\mu$ из интервала, содержащего нуль. Задача, сопряженная с (VI.2) относительно скалярного произведения (IV.7), есть
\[
\bar{\sigma}(\mu) \mathbf{y}=\mathbf{f}_{u}^{*}(\mu \mid \mathbf{y})
\]

где $\mathbf{f}_{u}^{*}(\mu \mid \cdot) \stackrel{\text { def }}{=}\left[\mathrm{f}_{u}(\mu \mid \cdot)\right]^{*}$-линейный оператор, сопряженный с $\mathbf{f}_{a}$ относительно скалярного произведения $\langle\mathbf{a}, \mathbf{b}\rangle=\langle\overline{\mathbf{b}, \mathbf{a}}\rangle$, которое для $\mathbb{C}^{n}$ было введено в § IV.3. Определим $\mathfrak{f}_{u}^{*}$ соотношением
\[
\left\langle\mathbf{a}, \mathbf{f}_{u}(\mu \mid \mathbf{b})\right\rangle=\left\langle\left[\mathbf{f}_{u}(\mu \mid \mathbf{a})\right]^{*}, \mathbf{b}\right\rangle=\left\langle\mathbf{f}_{u}^{*}(\mu \mid \mathbf{a}), \mathbf{b}\right\rangle
\]

для всех а и $\mathbf{b}$ из соответствующего пространства ( $\mathbf{f}_{u}^{*}$ не обязательно нужно интерпретировать как линеаризацию некоторого $\left.\mathrm{f}^{*}\right)$. B $\mathbb{R}^{n}$
\[
\mathrm{f}_{u}^{*}(\mu \mid \cdot)=\mathbf{A}^{T}(\mu)
\]

можно представить в виде матрицы.
При наших предположениях относительно собственных векторов $\mathrm{f}_{n}(\mu \mid \cdot)$ (VI.4) приводит к соотношениям
\[
\xi_{i}(\mu) \mathbf{y}_{i}=\mathbf{f}_{u}^{*}\left(\mu \mid \mathbf{y}_{i}\right), \quad i=1,2 .
\]

Если два собственные значения вещественные и различные, то
\[
\left\langle\mathbf{x}_{j}, \mathbf{y}_{i}\right\rangle=\delta_{i j} .
\]

Для критического значения $\xi_{1}(0)=0, \xi_{2}(0)<0, \xi_{1}^{\prime}(0)>0$ и
\[
\xi_{1}^{\prime}(0)=\left\langle\mathrm{f}_{u n}\left(0 \mid \mathbf{x}_{1}\right), \mathbf{y}_{\mathbf{i}}\right\rangle
\]
(см. рис. IV.3(a)).