В нашем анализе вторичной бифуркации периодических решений автономных задач мы, по возможности, избегаем представления о том, что в некоторой точке бифуркации одно решение является основным, а другое второстепенным. По этой причине в основу нашего исследования мы не кладем эволюционное уравнение в локальной форме; вместо этого попытаемся охарактеризовать решение автономной задачи
\[
\frac{d \mathbf{V}}{d t}=\mathbf{F}(\mu, \mathbf{V}),
\]
где предполагается, что $\mathbf{F}(\cdot, \cdot)$ обладает требуемой степенью гладкости и $\mathbf{F}(\mu, 0)$ не обязательно равно нулю. Мы будем изучать бифуркацию периодических решений уравнения (XI.1). Эти решения имеют вид
\[
\mathbf{V}=\hat{\mathbf{U}}(\hat{\omega}(\mu) t, \mu)=\hat{\mathbf{U}}(s, \mu)=\hat{\mathbf{U}}(s+2 \pi, \mu),
\]
где $\hat{\omega}(\mu)$-частота. Например,
\[
\hat{\mathbf{U}}(s, \mu)=\tilde{\mathbf{U}}(\mu)+\hat{\mathbf{u}}(s, \mu)
\]
может быть решением Xопфа гл. VIII: $\hat{\mathbf{u}}(s, \mu)=\mathbf{u}(s, \varepsilon), \hat{\omega}(\mu)=\omega(\varepsilon)$, если $\mu=\mu(\varepsilon)$. Это решение удовлетворяет уравнению
\[
\hat{\omega}(\mu) \frac{d \hat{\mathrm{U}}}{d s}=F(\mu, \hat{\mathbf{U}}) .
\]
Отметим, что решение (XI.3) параметризировано посредством $\mu$, а не $\varepsilon$.
Теперь наша цель-найти условия, при выполнении которых от решения (XI.3) ответвляются субгармонические решения. Чтобы изучить бифуркацию, нам нужно исследовать спектральную задачу, связанную с линейной теорией устойчивости решения (XI.3). Эта задача, приведенная к локальной форме, была рассмотрена в § ViII.4. Однако теперь нам нужно более глубоко изучить эту спектральную задачу и, в частности, нужно вывести такие формулы для строгой потери устойчивости решения Xопфа (XI.3), которые гарантировали бы существование бифуркации (см. § II.9).
Чтобы получить спектральную задачу, линеаризуем уравнение (XI.2) вблизи решения (XI.3):
\[
\mathbf{V}=\hat{\mathbf{U}}(s, \mu)+\mathbf{v}(t), \quad s=\hat{\omega}(\mu) t,
\]
где
\[
\frac{d \mathbf{v}}{d t}=\mathbf{F}_{v}(\mu, \hat{\mathbf{U}}(s, \mu) \mid \mathbf{v}) .
\]
Тогда из теории Флоке следует, что заключение об устойчивости решения $\hat{\mathbf{U}}(s, \mu)$ можно сделать из анализа экспонент $\gamma(\mu)=\xi(\mu)+$ $+i \eta(\mu)$ в представлении
\[
\mathbf{v}(t)=e^{
u t} \boldsymbol{\Gamma}(s), \boldsymbol{\Gamma}(s)=\boldsymbol{\Gamma}(s+2 \pi) .
\]
Эти экспоненты являются собственными значениями спектральной задачи
\[
\gamma \boldsymbol{\Gamma}=-\hat{\omega}(\mu) \frac{d \boldsymbol{\Gamma}}{d s}+\mathbf{F}_{v}(\mu, \hat{\mathbf{U}}(s, \mu) \mid \boldsymbol{\Gamma}) .
\]
Мы имеем также сопряженную задачу на собственные значения
\[
\bar{\gamma} \Gamma^{*}=\hat{\omega}(\mu) \frac{d \Gamma^{*}}{d s}+\mathrm{F}_{v}^{*}\left(\mu, \hat{\mathbf{U}}(s, \mu) \mid \Gamma^{*}\right),
\]
отвечающую скалярному произведению
\[
[\cdot, \cdot]_{2 \pi}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\langle\cdot, \cdot\rangle d s,
\]
где $\mathbf{F}_{v}^{*}(\mu, \hat{\mathbf{U}}(s, \mu) \mid \cdot)$ представляет собой единственный линейный оператор, удовлетворяющий соотношению
\[
\left\langle\mathbf{F}_{v}(\mu, \hat{\mathbf{U}}(s, \mu) \mid \mathbf{a}), \mathbf{b}\right\rangle=\left\langle\mathbf{a}, \mathbf{F}_{v}^{*}(\mu, \hat{\mathbf{U}}(s, \mu) \mid \mathbf{b})\right\rangle
\]
для любых векторов a и b. Напомним, что для векторов из $\mathbb{C}^{n}$ $\langle\mathbf{a}, \mathbf{b}\rangle=\mathbf{a} \cdot \overline{\mathbf{b}}$.
