Во введении мы отмечали, что решения трех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений могут иметь турбулентный характер и в этом случае не поддаются элементарному анализу. В самом деле, наиболее полные результаты, известные в теории бифуркаций, получены для задач, которые можно свести к одномерным или двумерным задачам. Поэтому мы начнем наш анализ с двумерных автономных задач, приведенных к локальной форме (I.21):
\[
\frac{d \mathbf{u}}{d t}=\mathbf{f}(\mu, \mathbf{u}),
\]

где
\[
f_{i}(\mu, \mathbf{u})=A_{i j}(\mu) u_{j}+B_{i j k}(\mu) u_{j} u_{k}+C_{i j k l}(\mu) u_{j} u_{k} u_{t}+O\left(\|u\|^{4}\right) .
\]

Такие же самые уравнения (IV.1) и (IV.2) можно рассматривать в $\mathbb{R}^{n}$. В общем случае нижние индексы пробегают значения $(1,2, \ldots, n)$; в $\mathbb{R}^{2} n=2$.

Для анализа устойчивости стационарного решения $\mathbf{U}(\mu)$, соответствующего нулевому решению $\mathbf{u}=0$ (IV.1), исследуем эволюцию возмущения $\mathbf{v}$ решения $\mathbf{u}=0$, которое в линейном приближении удовлетворяет уравнению
\[
\frac{d \mathbf{v}}{d t}=\mathbf{f}_{u}(\mu, 0 \mid \mathrm{v})=\mathbf{A}(\mu) \cdot \mathbf{v}
\]

или, с учетом соглашения о повторяющихся индексах,
\[
\frac{d v_{i}}{d t}=A_{i j}(\mu) v_{j} .
\]

Устойчивость решения $\mathbf{u}=0$ по отношению к малым возмущениям зависит от собственных значений матрицы A ( $\mu$ ) (см. § IV.3). Нас особенно интересует случай, когда А ( $\mu$ ) есть $(2 \times 2)$-матрица (см.§IV.2). Однако лучше начать с более общего случая.