Обратимся теперь к построению функций $\mathrm{\Psi }(s,\alpha ),\mu (\alpha )$ и $\mathrm{\Omega }(\alpha )$ в виде степенных рядов по $\alpha$ :
$$\left[\begin{array}{c}\mathbf{U}(s,\alpha )-{\mathbf{U}}_0(s)\\ \mathbf{\Psi }(s,\alpha )-{\mathbf{U}}_0(s)\\ \mathbf{Y}(s,\alpha )\\ \omega (\alpha )-{\omega }_0\\ \mathrm{\Omega }(\alpha )-{\omega }_0\\ \mu (\alpha )-{\mu }_0\end{array}\right]=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\alpha }^n}{n!}\left[\begin{array}{c}{\mathbf{U}}^{(n)}(s)\\ {\mathit{\psi }}^{(n)}(s)\\ {\mathbf{Y}}^{(n)}(s)\\ {\omega }^{(n)}\\ {\mathrm{\Omega }}^{(n)}\\ {\mu }^{(n)}\end{array}\right],$$

где
$$\begin{array}{l}\mathbf{U}(s,\alpha )=\mathbf{U}(s+2\pi ,\alpha ),\\ \mathrm{\Psi }(s,\alpha )=\psi (s+2\pi ,\alpha ),\\ \mathbf{Y}(s,\alpha )=\mathbf{Y}(s+2\pi ,\alpha ),\end{array}$$
a
$$\begin{array}{rl}{a}^{(l)}& ={[{\mathbf{Y}}^{(l)},{\mathbf{Z}}_1^{\ast }]}_{2\pi n},\\ 0& ={[{\mathbf{Y}}^{(t)},{\mathbf{Z}}_0^{\ast }]}_{2\pi n},l>0,\end{array}$$

Коэффициенты рядов (X1.49) можно найти из решения уравнений, получаемых в результате дифференцирования уравнений (XI.4) и (XI.43). Производные от решения Хопфа удовлетворяют уравнениям
$$\begin{array}{c}{\omega }^{(1)}{\dot{\mathbf{U}}}_0=\int {\mathbf{U}}^{(1)}+{\mu }^{(1)}{\mathbf{F}}_{\mu }({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0),\\ {\omega }^{(2)}{\dot{\mathbf{U}}}_0+2{\omega }^{(1)}{\dot{\mathbf{U}}}^{(1)}=\int {\mathbf{U}}^{(2)}+2{\mu }^{(1)}{\mathbf{F}}_{\mu v}({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0\mid {\mathbf{U}}^{(1)})+\\ +{\mathbf{F}}_{vv}({\mu }_0,U_0\left|{\mathbf{U}}^{(1)}\right|{\mathbf{U}}^{(1)})+{\left({\mu }^{(1)}\right)}^2{\mathbf{F}}_{\mu \mu }({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0)+\\ +{\mu }^{(2)}{\mathbf{F}}_{\mu }({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0),(\mathrm{XI}.52{)}_2\\ {\omega }^{(3)}{\dot{\mathbf{U}}}_0+3{\omega }^{(2)}{\dot{\mathbf{U}}}^{(1)}+3{\omega }^{(1)}{\dot{\mathbf{U}}}^{(2)}=\int {\mathbf{U}}^{(3)}+3{\mu }^{(2)}{\mathbf{F}}_{v\mu }({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0\mid {\mathbf{U}}^{(1)})+\\ +3{\mathbf{F}}_{vv}({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0\left|{\mathbf{U}}^{(1)}\right|{\mathbf{U}}^{(2)})+F_{vvv}({\mu }_0,U_0\left|{\mathbf{U}}^{(1)}\right|{\mathbf{U}}^{(1)}\mid {\mathbf{U}}^{(1)})+\\ +{\mu }^{(3)}{\mathbf{F}}_{\mu }({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0)+{\mu }^{(1)}\{3{\mathbf{F}}_{v\mu }({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0\mid {\mathbf{U}}^{(2)})+\text{ и.ч.б.н.п. }\},\text{ (XI.52) }\end{array}$$

где и. ч.б. н. п.- известные члены более низкого порядка малости, ${\omega }^{(t)}{\dot{\mathbf{U}}}_0=\sqrt{}{\mathbf{U}}^{(l)}+{\mu }^{(l)}{\mathbf{F}}_{\mu }({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0)+l{\mu }^{(l-1)}{\mathbf{F}}_{v\mu }({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0/{\mathbf{U}}^{(1)})+$ (и. ч. б. н. п.) ,
$$(\mathrm{XI}.52{)}_4$$

где $U^{(t)}(s)=U^{(l)}(s+2\pi )$, а $\sqrt{}(\cdot )=-{\omega }_{0}d/ds+{\mathbf{F}}_v({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0\mid \cdot )$. Производные от субгармонического бифуркационного решения удовлетворяют уравнениям
$$\begin{array}{l}+{\mathbf{F}}_{vv}({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0\left|{\mathit{\psi }}^{(1)}\right|{\mathit{\psi }}^{(1)})+{\left({\mu }^{(1)}\right)}^2{F}_{\mu \mu }({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0)+{\mu }^{(2)}{\mathbf{F}}_{\mu }({\mu }_0,U_0),(\mathrm{XI}.53{)}_2\\ {\mathrm{\Omega }}^{(3)}{\dot{U}}_0+3{\mathrm{\Omega }}^{(2)}{\dot{\mathit{\psi }}}^{(1)}+3{\mathrm{\Omega }}^{(1)}{\dot{\mathit{\psi }}}^{(2)}=\sqrt{}{\mathit{\psi }}^{(3)}+3{\mu }^{(2)}{F}_{v\mu }({\mu }_0,U_0\mid {\mathit{\psi }}^{(1)})+\\ +3F_{vv}({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0\left|{\mathit{\psi }}^{(1)}\right|{\mathit{\psi }}^{(2)})+{\mathbf{F}}_{vvv}({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0\left|{\mathit{\psi }}^{(1)}\right|{\mathit{\psi }}^{(1)}\mid {\mathit{\psi }}^{(\mathbf{1})})+\\ +{\mu }^{(3)}{\mathbf{F}}_{\mu }({\mu }_1,U_0)+{\mu }_1\{3F_{v\mu }({\mu }_0,U_0\mid {\psi }^{(2)})+\text{ и. ч. б. н. п. }\},\text{ (XI.53) }\\ {\mathrm{\Omega }}^{(l)}{\dot{U}}_0=\int {\mathit{\psi }}^{(l)}+l{\mathit{\psi }}^{(l-1)}{F}_{v\mu }({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0\mid {\mathit{\psi }}^{(1)})+{\mu }^{(l)}{F}_{\mu }({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0)+\text{ (и.ч.б.н.п.) },\end{array}$$

где ${\mathit{\psi }}^{(t)}(s)={\mathit{\psi }}^{(l)}(s+2\pi n)$.
Уравнения для ${\mathbf{Y}}^{(n)}={\mathbf{U}}^{(n)}-{\psi }^{(n)}$ можно получить вычитанием. Вспоминая, что ${\dot{\mathbf{U}}}_0={\mathbf{Z}}_0$, находим, используя (XI.52) и (XI.53) , что
$$({\omega }^{(1)}-{\mathrm{\Omega }}^{(1)})Z_0=\sqrt{}{\mathbf{Y}}^{(1)}.$$

Так как ${[\int {\mathbf{Y}}^{(1)},Z_0^{\ast }]}_{2\pi n}={[Y^{(1)},{\mathfrak{J}}^{\ast }{Z}_0^{\ast }]}_{2\pi n}$, то получаем
$$({\omega }^{(1)}-{\mathrm{\Omega }}^{(1)}){[Z_0,Z_0^{\ast }]}_{2\pi n}={\omega }^{(1)}-{\mathrm{\Omega }}^{(1)}=0$$

всякий раз, когда ${\int }^{\ast }{\mathbf{Z}}_0^{\ast }=0$. Так как последнее уравнение выполняется, если нуль не является двойным собственным значением оператора $J_0$ с индексом два, то почти во всех случаях имеем ${\omega }^{(1)}={\mathrm{\Omega }}^{(1)}$. В исключительном случае, когда $n=1$, а нуль есть собственное значение с индексом два оператора $J_0$, получаем, используя (XI.51) при $a^{(1)}=1,Z_0={\mathrm{\Gamma }}_{00},Z_0^{\ast }={\mathrm{\Gamma }}_{00}^{\ast },Z_1^{\ast }={\mathrm{\Gamma }}_{01}^{\ast }$, что
$$({\omega }^{(1)}-{\mathrm{\Omega }}^{(1)})=[{\mathbf{Y}}^{(1)},\sqrt{}{}^{\ast }{\mathrm{\Gamma }}_{00}^{\ast }]=[{\mathbf{Y}}^{(1)},{\mathrm{\Gamma }}_{01}^{\ast }]=1$$

не равно нулю.
Отсюда следует, что в общих случаях бифуркационные решения являются строго гармоническими до членов порядка $\alpha$, а ${\mathbf{Y}}^{(1)}$ удовлетворяет уравнению
$$\int Y^{(1)}=0\text{. }$$

Заменяя в $(\mathrm{XI}.53{)}_2{\mathit{\psi }}^{(1)}$ на ${\mathbf{U}}^{(1)}-{\mathrm{Y}}^{(1)}$, получаем
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{F}}_{vv}({\mu }_0,& {\mathbf{U}}_0\left|{\mathit{\psi }}^{(1)}\right|{\mathit{\psi }}^{(1)})={\mathbf{F}}_{vv}({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0\left|{\mathbf{U}}^{(1)}\right|{\mathbf{U}}^{(1)})-\\ & -2{\mathbf{F}}_{vv}({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0\left|{\mathbf{U}}^{(1)}\right|{\mathbf{Y}}^{(1)})+{\mathbf{F}}_{vv}({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0\left|Y^{(1)}\right|{\mathbf{Y}}^{(1)}).\end{array}$$

Затем, вычитая (X1.53), из (XI.52) ${)}_2$ и используя (XI.55), получаем
$$\begin{array}{rl}({\omega }^{(2)}-{\mathrm{\Omega }}^{(2)})& Z_0+2{\omega }^{(1)}{\dot{\mathbf{Y}}}^{(1)}=J{\mathbf{Y}}^{(2)}+2{\mu }^{(1)}{F}_{v\mu }({\mu }_0,U_0\mid {\mathbf{Y}}^{(1)})+\\ +& 2{\mathbf{F}}_{vv}({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0\left|{\mathbf{U}}^{(1)}\right|{\mathbf{Y}}^{(1)})-{\mathbf{F}}_{vv}({\mu }_0,{\mathbf{U}}_0\left|{\mathbf{Y}}^{(1)}\right|{\mathbf{Y}}^{(1)}).\end{array}$$

Уравнения (XI.57) и (XI.59) не имеют места в исключительном случае $(n=1)$ двойного нулевого собственного значения с индексом два; корректные уравнения для этого случая приводятся в § XI.13.