Обратимся теперь к построению функций $\Psi(s, \alpha), \mu(\alpha)$ и $\Omega(\alpha)$ в виде степенных рядов по $\alpha$ :
\[
\left[\begin{array}{c}
\mathbf{U}(s, \alpha)-\mathbf{U}_{0}(s) \\
\boldsymbol{\Psi}(s, \alpha)-\mathbf{U}_{0}(s) \\
\mathbf{Y}(s, \alpha) \\
\omega(\alpha)-\omega_{0} \\
\Omega(\alpha)-\omega_{0} \\
\mu(\alpha)-\mu_{0}
\end{array}\right]=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha^{n}}{n !}\left[\begin{array}{c}
\mathbf{U}^{(n)}(s) \\
\boldsymbol{\psi}^{(n)}(s) \\
\mathbf{Y}^{(n)}(s) \\
\omega^{(n)} \\
\Omega^{(n)} \\
\mu^{(n)}
\end{array}\right],
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{U}(s, \alpha)=\mathbf{U}(s+2 \pi, \alpha), \\
\Psi(s, \alpha)=\psi(s+2 \pi, \alpha), \\
\mathbf{Y}(s, \alpha)=\mathbf{Y}(s+2 \pi, \alpha),
\end{array}
\]
a
\[
\begin{aligned}
a^{(l)} & =\left[\mathbf{Y}^{(l)}, \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{2 \pi n}, \\
0 & =\left[\mathbf{Y}^{(t)}, \mathbf{Z}_{0}^{*}\right]_{2 \pi n}, l>0,
\end{aligned}
\]

Коэффициенты рядов (X1.49) можно найти из решения уравнений, получаемых в результате дифференцирования уравнений (XI.4) и (XI.43). Производные от решения Хопфа удовлетворяют уравнениям
\[
\begin{array}{c}
\omega^{(1)} \dot{\mathbf{U}}_{0}=\int \mathbf{U}^{(1)}+\mu^{(1)} \mathbf{F}_{\mu}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\right), \\
\omega^{(2)} \dot{\mathbf{U}}_{0}+2 \omega^{(1)} \dot{\mathbf{U}}^{(1)}=\int \mathbf{U}^{(2)}+2 \mu^{(1)} \mathbf{F}_{\mu v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0} \mid \mathbf{U}^{(1)}\right)+ \\
+\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, U_{0}\left|\mathbf{U}^{(1)}\right| \mathbf{U}^{(1)}\right)+\left(\mu^{(1)}\right)^{2} \mathbf{F}_{\mu \mu}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\right)+ \\
+\mu^{(2)} \mathbf{F}_{\mu}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\right), \quad(\mathrm{XI.52})_{2} \\
\omega^{(3)} \dot{\mathbf{U}}_{0}+3 \omega^{(2)} \dot{\mathbf{U}}^{(1)}+3 \omega^{(1)} \dot{\mathbf{U}}^{(2)}=\int \mathbf{U}^{(3)}+3 \mu^{(2)} \mathbf{F}_{v \mu}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0} \mid \mathbf{U}^{(1)}\right)+ \\
+3 \mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{U}^{(1)}\right| \mathbf{U}^{(2)}\right)+F_{v v v}\left(\mu_{0}, U_{0}\left|\mathbf{U}^{(1)}\right| \mathbf{U}^{(1)} \mid \mathbf{U}^{(1)}\right)+ \\
+\mu^{(3)} \mathbf{F}_{\mu}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\right)+\mu^{(1)}\left\{3 \mathbf{F}_{v \mu}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0} \mid \mathbf{U}^{(2)}\right)+\text { и.ч.б.н.п. }\right\}, \quad \text { (XI.52) }
\end{array}
\]

где и. ч.б. н. п.- известные члены более низкого порядка малости, $\omega^{(t)} \dot{\mathbf{U}}_{0}=\sqrt{ } \mathbf{U}^{(l)}+\mu^{(l)} \mathbf{F}_{\mu}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\right)+l \mu^{(l-1)} \mathbf{F}_{v \mu}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0} / \mathbf{U}^{(1)}\right)+$ (и. ч. б. н. п.) ,
\[
(\mathrm{XI} .52)_{4}
\]

где $U^{(t)}(s)=U^{(l)}(s+2 \pi)$, а $\sqrt{ }(\cdot)=-\omega_{0} d / d s+\mathbf{F}_{v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0} \mid \cdot\right)$. Производные от субгармонического бифуркационного решения удовлетворяют уравнениям
\[
\begin{array}{l}
+\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\boldsymbol{\psi}^{(1)}\right| \boldsymbol{\psi}^{(1)}\right)+\left(\mu^{(1)}\right)^{2} F_{\mu \mu}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\right)+\mu^{(2)} \mathbf{F}_{\mu}\left(\mu_{0}, U_{0}\right),(\mathrm{XI} .53)_{2} \\
\Omega^{(3)} \dot{U}_{0}+3 \Omega^{(2)} \dot{\boldsymbol{\psi}}^{(1)}+3 \Omega^{(1)} \dot{\boldsymbol{\psi}}^{(2)}=\sqrt{ } \boldsymbol{\psi}^{(3)}+3 \mu^{(2)} F_{v \mu}\left(\mu_{0}, U_{0} \mid \boldsymbol{\psi}^{(1)}\right)+ \\
+3 F_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\boldsymbol{\psi}^{(1)}\right| \boldsymbol{\psi}^{(2)}\right)+\mathbf{F}_{v v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\boldsymbol{\psi}^{(1)}\right| \boldsymbol{\psi}^{(1)} \mid \boldsymbol{\psi}^{(\mathbf{1})}\right)+ \\
+\mu^{(3)} \mathbf{F}_{\mu}\left(\mu_{1}, U_{0}\right)+\mu_{1}\left\{3 F_{v \mu}\left(\mu_{0}, U_{0} \mid \psi^{(2)}\right)+\text { и. ч. б. н. п. }\right\}, \quad \text { (XI.53) } \\
\Omega^{(l)} \dot{U}_{0}=\int \boldsymbol{\psi}^{(l)}+l \boldsymbol{\psi}^{(l-1)} F_{v \mu}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0} \mid \boldsymbol{\psi}^{(1)}\right)+\mu^{(l)} F_{\mu}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\right)+\text { (и.ч.б.н.п.) }, \\
\end{array}
\]

где $\boldsymbol{\psi}^{(t)}(s)=\boldsymbol{\psi}^{(l)}(s+2 \pi n)$.
Уравнения для $\mathbf{Y}^{(n)}=\mathbf{U}^{(n)}-\psi^{(n)}$ можно получить вычитанием. Вспоминая, что $\dot{\mathbf{U}}_{0}=\mathbf{Z}_{0}$, находим, используя (XI.52) и (XI.53) , что
\[
\left(\omega^{(1)}-\Omega^{(1)}\right) Z_{0}=\sqrt{ } \mathbf{Y}^{(1)} .
\]

Так как $\left[\int \mathbf{Y}^{(1)}, Z_{0}^{*}\right]_{2 \pi n}=\left[Y^{(1)}, \mathfrak{J}^{*} Z_{0}^{*}\right]_{2 \pi n}$, то получаем
\[
\left(\omega^{(1)}-\Omega^{(1)}\right)\left[Z_{0}, Z_{0}^{*}\right]_{2 \pi n}=\omega^{(1)}-\Omega^{(1)}=0
\]

всякий раз, когда $\int^{*} \mathbf{Z}_{0}^{*}=0$. Так как последнее уравнение выполняется, если нуль не является двойным собственным значением оператора $J_{0}$ с индексом два, то почти во всех случаях имеем $\omega^{(1)}=\Omega^{(1)}$. В исключительном случае, когда $n=1$, а нуль есть собственное значение с индексом два оператора $J_{0}$, получаем, используя (XI.51) при $a^{(1)}=1, Z_{0}=\Gamma_{00}, Z_{0}^{*}=\Gamma_{00}^{*}, Z_{1}^{*}=\Gamma_{01}^{*}$, что
\[
\left(\omega^{(1)}-\Omega^{(1)}\right)=\left[\mathbf{Y}^{(1)}, \sqrt{ }{ }^{*} \Gamma_{00}^{*}\right]=\left[\mathbf{Y}^{(1)}, \Gamma_{01}^{*}\right]=1
\]

не равно нулю.
Отсюда следует, что в общих случаях бифуркационные решения являются строго гармоническими до членов порядка $\alpha$, а $\mathbf{Y}^{(1)}$ удовлетворяет уравнению
\[
\int Y^{(1)}=0 \text {. }
\]

Заменяя в $(\mathrm{XI.53})_{2} \boldsymbol{\psi}^{(1)}$ на $\mathbf{U}^{(1)}-\mathrm{Y}^{(1)}$, получаем
\[
\begin{aligned}
\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0},\right. & \left.\mathbf{U}_{0}\left|\boldsymbol{\psi}^{(1)}\right| \boldsymbol{\psi}^{(1)}\right)=\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{U}^{(1)}\right| \mathbf{U}^{(1)}\right)- \\
& -2 \mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{U}^{(1)}\right| \mathbf{Y}^{(1)}\right)+\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|Y^{(1)}\right| \mathbf{Y}^{(1)}\right) .
\end{aligned}
\]

Затем, вычитая (X1.53), из (XI.52) $)_{2}$ и используя (XI.55), получаем
\[
\begin{aligned}
\left(\omega^{(2)}-\Omega^{(2)}\right) & Z_{0}+2 \omega^{(1)} \dot{\mathbf{Y}}^{(1)}=J \mathbf{Y}^{(2)}+2 \mu^{(1)} F_{v \mu}\left(\mu_{0}, U_{0} \mid \mathbf{Y}^{(1)}\right)+ \\
+ & 2 \mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{U}^{(1)}\right| \mathbf{Y}^{(1)}\right)-\mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\mathbf{Y}^{(1)}\right| \mathbf{Y}^{(1)}\right) .
\end{aligned}
\]

Уравнения (XI.57) и (XI.59) не имеют места в исключительном случае $(n=1)$ двойного нулевого собственного значения с индексом два; корректные уравнения для этого случая приводятся в § XI.13.