Если $n=3$, то $m$ может быть 1 или 2 (так как $m / 3<1$ ) и условие (IX.66) приводится к виду
\[
2 \mu_{1} \sigma_{\mu}(0) e^{i \varphi_{0}}+\Lambda_{1} e^{-2 i \varphi_{0}}=0, \quad \mu_{1}=\frac{1}{2}\left|\frac{\Lambda_{1}}{\sigma_{\mu}}\right|>0,
\]

где
\[
\Lambda_{1}=\left[e^{-2 \pi i m t / T} \mathbf{f}_{u u}(t|\bar{\zeta}| \bar{\zeta}), \zeta^{*}\right]_{3 T} .
\]

Если условие (IX.68) выполняется, то уравнение (IX.50) можно разрешить относительно $\mathbf{w}_{0} \in \mathbb{P}_{3}$, rде с учетом разложения (IX.48)
\[
\mathbf{u}_{2}(t)=2 i \varphi_{1} e^{i \varphi_{0} \mathbf{Z}}-2 i \varphi_{1} e^{-i \varphi_{0} \overline{\mathbf{Z}}}+2 \mathbf{w}_{0}(t) .
\]

Альтернатива Фредгольма без учета нормировки служит для определения части решения $\mathbf{u}_{2}$, которая ортогональна $\mathbf{Z}^{*}, \overline{\mathbf{Z}}^{*}$, (т. е. $2 \mathbf{w}_{0}$, $\sqrt{ } \mathbf{u}_{2}=2 \sqrt{ } \mathbf{w}_{0}$ ) и оставляет неопределенным второй член $\varphi_{1}$ в разложении $\varphi(\varepsilon)=\varphi_{0}+\varepsilon \varphi_{1}+O\left(\varepsilon^{2}\right)$. Для определения $\varphi_{1}$ применим альтернативу Фредгольма к уравнению (IX.5I) и найдем, что
\[
\begin{array}{c}
3 \mu_{1}\left[\mathbf{f}_{u \mu}\left(t \mid \mathbf{u}_{2}\right), \quad \mathbf{Z}^{*}\right]_{3 T}+3\left[\mathbf{f}_{u u}\left(t, \mathbf{u}_{1} \mid \mathbf{u}_{2}\right), \mathbf{Z}^{*}\right]_{3 T}+3 \mu_{2}\left[\mathbf{f}_{u \mu}\left(t \mid \mathbf{u}_{1}\right), \mathbf{Z}^{*}\right]_{3 T}+ \\
\quad+\text { члены, не зависящие от } \mu_{2} \text { и } \mathbf{u}_{2}= \\
=3 \mu_{1}\left(2 i \varphi_{1} e^{\left.i \varphi_{0}\right)} \sigma_{\mu}(0)-3\left(2 i \varphi_{1} e^{\left.-2 i \varphi_{0}\right)} \Lambda_{1}+\right.\right. \\
+3 \mu_{2} e^{i \varphi_{0}} \sigma_{\mu}(0)+\text { члены, не зависящие от } \mu_{1} \text { и } \varphi_{1}=0 .
\end{array}
\]

Комбинируя последнее соотношение с (IX.68), получаем
\[
e^{i \varphi_{\circ} \sigma_{\mu}(0)}\left\{\mu_{2}+6 i \varphi_{1}\right\}=h\left(\mu_{1}, \mathbf{u}_{1}, \mathbf{w}_{0}\right),
\]

где $h\left(\mu_{1}, \mathbf{u}_{1}, \mathbf{w}_{0}\right)$ известно. Так как $e^{i \varphi_{0}} \sigma_{\mu}(0)$ никогда не обращается в нуль, то это комплексное уравнение всегда можно разрешить относительно $\mu_{2}$ и $\varphi_{1}$. В точности такой же вид, что и (IX.69), имеют уравнения для членов более высокого порядка, и они служат для последовательного определения значений $\mu_{n}$ и $\varphi_{n-1}$.

Если бы мы попытались для решения этой задачи использовать теорему о неявных функциях, то для определения $\mu(\varepsilon)$ и $\varphi(\varepsilon)$ пришли бы к уравнению вида (IX.70). Другими словами, мы получаем одну и ту же информацию из условия Фредгольма разрешимости в более высоком порядке и из теоремы о неявных функциях для системы двух уравнений с двумя неизвестными функциями $\mu$ и $\varphi$ от одной переменной $\varepsilon$ (см. дополнение V.1). Поэтому построенное нами решение в виде рядов является единственным. Других ответвляющихся малых решений не существует.

Суммируем теперь полученные нами результаты и укажем некоторые новые формы уравнений.

Теорема. Предположим, что еыполнены условия (I), (II) $и$ (III) § IX. 6 и $\Lambda_{1}
eq 0$. Тогда если $\mu$ близко к нулю, то существует единственное нетривиальное 3Т-периодическое бифуркационное решение уравнения (IX.1). Эта бифуркация является двусторонней и в младцих членах определяется уравнением
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{u}(t, \varepsilon)=\varepsilon \exp i\left(\varphi(\varepsilon)+\left(\frac{2 \pi i m t}{3 T}\right)\right) \zeta(t)+ \\
+\varepsilon \exp \left(-i\left(\varphi()+\left(\frac{2 \pi i m t}{3 T}\right) !\right) \zeta(t)+O\left(\varepsilon^{2}\right), \quad m=1,2\right. \\
\mu(\varepsilon)=\varepsilon \mu_{1}+O\left(\varepsilon^{2}\right), \quad \mu_{1}=\left|\frac{\Lambda_{1}}{\sigma_{\mu}(0)}\right| \\
\varphi(\varepsilon)=\frac{1}{3} \arg \left(-\frac{\Lambda_{1}}{\sigma_{\mu}(0)}\right)+\frac{2 k \pi}{3}+O(\varepsilon), \quad k=0,1,2
\end{array}
\]

где $\mathbf{u}, \varphi, \mu$ аналитические $^{1}$ ) по в в окрестности нуля, $k=0,1,2$ соответствуют переносу начала отсчета $t$ на $0, T, 2 T$, если $m=1$, и $0,2 T, T$, если $m=2$, а $\Lambda_{1}$ определяется по формуле (IX.68).

Выражение (IX.71) является решением уравнения (IX.68). Наши построение и разложение (IX.48) показывают, что $\mathbf{u}(t, \varepsilon)$ зависит от $t$ через две временные переменные $\tau(t)$ и $t$ :
\[
\mathbf{u}(t, \varepsilon)=\mathcal{U}(\tau(t), t)=\mathcal{U}(\tau(t), t+T) .
\]
$\mathcal{U}-T$-периодическая функция по своему второму аргументу. Эта $T$-периодичность происходит от $T$-периодичности $\xi(t)$. Первый аргумент $U(\cdot, \cdot)$ представлен в виде
\[
\tau(t)=\varphi(\varepsilon)+\left(\frac{2 \pi m t}{3 T}\right)
\]

и
\[
\tau(t+T)=\varphi(\varepsilon)+\frac{2 \pi m}{3 T}+\frac{2 \pi m t}{3 T} .
\]

На основе этого свойства можно доказать ${ }^{2}$ ) последнее утверждение теоремы.

Обращаемся теперь к исследованию устойчивости $3 T$-периодических решений и разложим $\gamma(\varepsilon)$ и $\mathbf{y}(\cdot, \varepsilon) \in \mathbb{P}_{\boldsymbol{3} \text { T }}$ в виде
\[
\gamma(\varepsilon)=\gamma_{1} \varepsilon+o(\varepsilon)
\]

и
\[
\mathbf{y}(t, \varepsilon)=\mathrm{y}_{0}(t)+\varepsilon \mathrm{y}_{1}(t)+o(\varepsilon) .
\]

Подставляя эти разложения в (IX.54), находим, что
\[
\int \mathrm{y}_{0}=0, \quad \mathrm{y}_{0} \in \mathbb{P}_{3 T}
\]

и
\[
\gamma_{1} \mathbf{y}_{0}=\sqrt{ } \mathbf{y}_{1}+\mu_{1} \mathbf{f}_{u \mu}\left(t \mid \mathbf{y}_{0}\right)+\mathbf{f}_{u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{y}_{0}\right),
\]

где $\mathbf{y}_{1} \in \mathbb{P}_{s_{T}}$. Из условий (I) и (II), налагаемых на нулевое собственное значение оператора $\mathfrak{I}$, следует, что
\[
y_{0}=A \mathbf{Z}+B \overline{\mathbf{Z}}
\]

где $A$ и $B$ подлежат определению. Вспоминая, что $\mathbf{u}_{1}=a_{0} \mathbf{Z}+\bar{a}_{0} \overline{\mathbf{Z}}$, где $a_{0}=e^{i \varphi_{0}}$, уравнение (IX.72) можно записать в виде
\[
\begin{array}{l}
\gamma_{1}(A \mathbf{Z}+B \overline{\mathbf{Z}})=\int_{\mathbf{y}_{1}}+\mu_{1}\left\{A \mathbf{f}_{\mu \mu}(t \mid \mathbf{Z})+B \mathbf{f}_{u \mu}(t \mid \overline{\mathbf{Z}})\right\}+ \\
+a_{0} A \mathbf{f}_{u u}(t|\mathbf{Z}| \mathbf{Z})+a_{0} B \mathbf{f}_{u u}(t|\mathbf{Z}| \overline{\mathbf{Z}})+ \\
+\bar{a}_{0} A \mathbf{f}_{u u}(t|\overline{\mathbf{Z}}| \mathbf{Z})+\bar{a}_{0} B \mathbf{f}_{u u}(t|\overline{\mathbf{Z}}| \overline{\mathbf{Z}}) . \\
\end{array}
\]
1) Если $\mathbf{f}$ аналитическая по ( $\mu, \mathbf{u})$.
2) См. строгое доказательство в статье Ж. Иосса и Д. Джозефа Arch. Rational Mech. Anal., 66, 135-172 (1977).

Для решения уравнения (IX.73) необходимо выбрать неоднородные члены так, чтобы они были ортогональны $\mathbf{Z}^{*}$ и $\overline{\mathbf{Z}}^{*}$. Здесь необходимы обе проекции, потому что неоднородные члены являются комчто два уравнения $\left[\mathrm{g}, \mathbf{Z}^{*}\right]_{3 T}=\left[\mathrm{g}, \overline{\mathbf{Z}}^{*}\right]_{3 T}=0$ можно представить в виде
\[
\gamma_{1} A=\mu_{1} \sigma_{\mu}(0) A+\bar{a}_{0} B \Lambda_{1}
\]

и
\[
\gamma_{1} B=a_{0} A \bar{\Lambda}_{1}+\mu_{1} \bar{\sigma}_{\mu}(0) B .
\]

Отсюда следует, что $\gamma_{1}^{(1)}$ и $\gamma_{1}^{(2)}$ являются собственными значениями матрицы
\[
\mathscr{M}=\left[\begin{array}{ll}
\mu_{1} \sigma_{\mu}(0) & e^{-i \varphi_{0} \Lambda_{1}} \\
e^{i \varphi_{0}} \overline{\Lambda_{1}} & \mu_{1} \bar{\sigma}_{\mu}(0)
\end{array}\right],
\]

где
\[
\gamma_{1}^{(1)}+\gamma_{1}^{(2)}=\operatorname{tr} \mathscr{M}=2 \mu_{1} \operatorname{Re} \sigma_{\mu}(0)=2 \mu_{1} \xi_{\mu}(0)>0,
\]

потому что $\mu_{1}>0$ и $\xi_{\mu}(0)>0$, а
\[
\gamma_{1}^{(1)} \gamma_{1}^{(2)}=\operatorname{det} \mathscr{M}=\mu_{1}^{2}\left|\sigma_{\mu}(0)\right|^{2}-\left|\Lambda_{1}\right|^{2} .
\]

Из (IX.67) следует, что $\left|\Lambda_{1}\right|^{2}=4 \mu_{1}^{2}\left|\sigma_{\mu}\right|^{2}$, и поэтому
\[
\gamma_{1}^{(1)} \gamma_{1}^{(2)}=-3 \mu_{1}^{2}\left|\sigma_{\mu}(0)\right|^{2}<0
\]

и одно из двух собственных значений положительное, а другое отрицательное. Так как $\gamma_{1}^{(1)}
eq \gamma_{1}^{(2)}$, то оба собственных значения $\gamma^{(1)}(\varepsilon)$

Рис. IX.2. $3 T$-периодическое бифуркационное решение неустойчиво по обе стороны от критической точки.

и $\gamma^{(2)}(\varepsilon)$ являются регулярными функциями от $\varepsilon$. Отсюда следует, что одно из двух собственных значений
\[
\left[\begin{array}{l}
\gamma^{(1)}(\varepsilon) \\
\gamma^{(2)}(\varepsilon)
\end{array}\right]=\varepsilon\left[\begin{array}{l}
\gamma_{1}^{(1)} \\
\gamma_{1}^{(2}
\end{array}\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right)
\]

принимает положительное значение по обе стороны от критической гочки, т. е. как для положительых, так и для отрицательных значений $\varepsilon$, как на рис. IX.2.