В двойном собственном значении с индексом два имеются две ветви собственных значений: $\gamma(\mu)$ с собственной функцией $\Gamma(\mu)$ и $\tilde{\gamma}(\mu)$ с собственной функцией $\tilde{\Gamma}(\mu)$, которые сходятся при $\mu=\mu_{0}$ так, что $\gamma\left(\mu_{0}\right)=\tilde{\gamma}\left(\mu_{0}\right)=0$ и $\boldsymbol{\Gamma}_{0}=\tilde{\Gamma}_{0}=\dot{U}_{v}(s)$. Другими словами, $\gamma=0$ является двойным собственным значением оператора $J_{0}$, однако существует только один собственный вектор $\dot{\mathbf{U}}_{0}$, принадлежащий нульпространству оператора $J_{0}$. Отправляясь от точки вырождения, будем искать разделяющиеся собственные значения при возмущении параметра $\mu$. В действительности нам известно, что одно из собственных значений $\gamma(\mu) \equiv 0$ для $\mu$, близких к $\mu_{0}$, а от другого собственного значения, которое является гладким по $\mu$, зависит характер устойчивости.
В критической точке $\gamma\left(\mu_{0}\right)=\gamma_{0}=0$,
\[
\left.\begin{array}{rl}
\Gamma_{00} & =\dot{\mathbf{U}}_{0}, \\
J_{0} \boldsymbol{\Gamma}_{00} & =0 \\
J_{0} \boldsymbol{\Gamma}_{01} & =\boldsymbol{\Gamma}_{00} \\
J_{0}^{*} \boldsymbol{\Gamma}_{01}^{*} & =0 \\
J_{0}^{*} \boldsymbol{\Gamma}_{00}^{*} & =\boldsymbol{\Gamma}_{01}^{*}
\end{array}\right\},
\]
1) См. § IV.4.4.2.

и
\[
\left[\Gamma_{01}, \Gamma_{00}^{*}\right]_{2 \pi}=\left[\Gamma_{00}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}=0 .
\]

Можно показать, что ветвь
\[
\boldsymbol{\Gamma}(s, \mu)=\dot{\hat{\mathbf{U}}}(s, \mu), \quad \gamma(\mu)=0
\]

является нейтральной в смысле устойчивости. Тогда устойчивость решения Хопфа определяется знаком второго собственного значения $\tilde{\gamma}(\mu)$, которому соответствует собственный вектор $\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}(\cdot, \mu)$. Конечно, $\gamma\left(\mu_{0}\right)=\tilde{\gamma}\left(\mu_{0}\right)=0$ и $\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}\left(s, \mu_{0}\right)=\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}\left(s, \mu_{0}\right)=\Gamma_{00}$. Производные от $\tilde{\gamma}(\mu)$ и $\tilde{\Gamma}(\cdot, \mu)$ в критической точке удовлетворяют уравнениям
\[
\begin{array}{cc}
\tilde{\gamma}_{1} \boldsymbol{\Gamma}_{00}+\hat{\omega}_{1} \dot{\boldsymbol{\Gamma}}_{00}=J_{0} \tilde{\boldsymbol{\Gamma}}_{1}+y \boldsymbol{\Gamma}_{00}, & \left(\mathrm{XI.31)_{1 }}\right. \\
\tilde{\gamma}_{2} \boldsymbol{\Gamma}_{00}+2 \tilde{\gamma}_{1} \tilde{\boldsymbol{\Gamma}}_{1}+\hat{\omega}_{2} \dot{\boldsymbol{\Gamma}}_{00}+2 \hat{\omega}_{1} \dot{\boldsymbol{\Gamma}}_{1}=J_{0} \tilde{\boldsymbol{\Gamma}}_{2}+2 \mathcal{y}\left(\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}_{1}\right)+\mathbf{m}\left(\boldsymbol{\Gamma}_{00}\right), & \left(\mathrm{XI.31)_{2 }}\right.
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{m}\left(\boldsymbol{\Gamma}_{00}\right) \stackrel{\text { def }}{=} \mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\hat{\mathbf{U}}_{2}\right| \boldsymbol{\Gamma}_{00}\right)+\mathbf{F}_{\mu \mu v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0} \mid \boldsymbol{\Gamma}_{00}\right)+ \\
+2 \mathbf{F}_{\mu v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\hat{\mathbf{U}}_{1}\right| \boldsymbol{\Gamma}_{00}\right)+\mathbf{F}_{v v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\hat{\mathbf{U}}_{1}\right| \hat{\mathbf{U}}_{1} \mid \boldsymbol{\Gamma}_{00}\right) \\
\end{array}
\]

и все функции от $s$ являются $2 \pi$-периодическими. Производные нейтрального в смысле устойчивости решения удовлетворяют уравнениям
\[
\begin{array}{c}
\hat{\omega}_{1} \dot{\Gamma}_{00}=J_{0} \Gamma_{1}+y \Gamma_{0 \omega}, \\
\hat{\omega}_{2} \dot{\Gamma}_{\mathrm{n} 0}+2 \hat{\omega}_{1} \dot{\Gamma}_{1}=J_{0} \Gamma_{2}+2 y \Gamma_{1}+\mathrm{m}\left(\boldsymbol{\Gamma}_{00}\right) .
\end{array}
\]

Условие ортогональности (XI.30) для (XI.31) и (XI.32) с учетом (XI.28) и (XI.29) приводит в первом порядке к уравнениям
\[
\begin{array}{c}
\tilde{\gamma}_{1}+\hat{\omega}_{1}\left[\dot{\Gamma}_{00}, \Gamma_{00}^{*}\right]_{2 \pi}=\left[\tilde{\Gamma}_{i}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}+\left[\mathcal{Y} \Gamma_{00}, \Gamma_{00}^{*}\right]_{2 \pi}, \\
\hat{\omega}_{1}\left[\dot{\Gamma}_{00}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}=\left[\mathcal{Y} \Gamma_{00}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}, \\
\hat{\omega}_{1}\left[\dot{\Gamma}_{00}, \Gamma_{00}^{*}\right]_{2 \pi}=\left[\Gamma_{i}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}+\left[\mathcal{Y} \Gamma_{00}, \Gamma_{00}^{*}\right]_{2 \pi} .
\end{array}
\]

Первые производные от $\boldsymbol{\Gamma}(s, \mu)$ и $\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}(s, \mu)$ можно представить единственным образом в виде следующих разложений
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{\Gamma}_{1}(s)=A_{1} \boldsymbol{\Gamma}_{00}(s)+B_{1} \boldsymbol{\Gamma}_{01}(s)+\chi(s), \\
\tilde{\boldsymbol{\Gamma}}_{1}(s)=\tilde{A}_{1} \boldsymbol{\Gamma}_{00}(s)+\tilde{B}_{1} \boldsymbol{\Gamma}_{01}(s)+\tilde{\chi}(s),
\end{array}
\]

где $\left[\chi, \Gamma_{0 l}^{*}\right]_{2 \pi}=\left[\tilde{\chi}, \Gamma_{0 l}^{*}\right]_{2 \pi}=0$ для $l=0,1$. Из (XI.30, 33, 35, 36) следует соотношение
\[
\tilde{\gamma}_{1}=\tilde{B}_{1}-B_{1}=\left[\tilde{\Gamma}_{1}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}-\left[\Gamma_{1}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi} .
\]

Чтобы завершить вывод условия строгого пересечения, нужно вычислить постоянные в правой части соотношения (XI.37), используя условия разрешимости уравнений (XI.31)2 и (XI.32) $)_{2}$. В качестве предварительного шага этого вычисления выведем соотношение
\[
J_{0}(\chi-\tilde{\chi})=0 .
\]

Чтобы вывести (XI.38), вычтем (XI.32), из (XI.31) и найдем, что $J_{0}\left(\tilde{\Gamma}_{1}-\Gamma_{1}\right)=\tilde{\gamma}_{1} \boldsymbol{\Gamma}_{00}$. Затем, используя разложения (XI.36) и (XI.36) и проводя упрощения с использованием (XI.28) и (XI.37), полуследует, что
\[
\chi=\tilde{\chi} \text {. }
\]

Теперь умножим скалярно обе части уравнений (XI.31) $)_{2}$ и (XI.32) 2 на $\Gamma_{01}^{*}$ и в получаемых двух уравнениях исключим, общие члены. Записывая условия биортогональности, получаем уравнение
\[
2 \tilde{\gamma}_{1} \tilde{B}_{1}+2 \hat{\omega}_{1}\left[\left(\dot{\tilde{\Gamma}}-\dot{\Gamma}_{1}\right), \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}-2\left[\mathcal{y}\left(\tilde{\Gamma_{1}}-\Gamma_{1}\right), \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi} .
\]

С учетом (XI.36, 38, 32) это уразнение приводится к виду
\[
\tilde{\gamma}_{1} \tilde{B}_{1}+\left(\tilde{B}_{1}-B_{1}\right)\left\{\tilde{\omega}_{1}\left[\dot{\Gamma}_{01}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}-\left[\mathcal{Y}\left(\Gamma_{01}\right), \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}\right\}=0 .
\]

Теперь из (XI.37) следует, что
\[
\tilde{B}_{1}+\hat{\omega}_{1}\left[\dot{\Gamma}_{01}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}-\left[y\left(\boldsymbol{\Gamma}_{01}\right), \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}=0,
\]

если $B_{1}
eq \tilde{B}_{1}$. Случай $B_{1}=\tilde{B}_{1}$ можно исключить, поскольку при этом решение $\gamma_{1}=0$ соответствует нейтральной ветви. Комбинируя (XI.37) и (XI.41), находим, что
\[
\tilde{\gamma}_{1}=-\hat{\omega}_{1}\left[\dot{\boldsymbol{\Gamma}}_{01}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}+\left[\mathcal{y}\left(\Gamma_{01}\right), \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}-B_{1},
\]

где
\[
B_{1}=\left[\Gamma_{1}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}
\]

можно представить в форме
\[
B_{1}=\left[\dot{\hat{\mathbf{U}}}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi},
\]

потому что $\boldsymbol{\Gamma}(\cdot, \mu)=\dot{\hat{\mathbf{U}}}(\cdot, \boldsymbol{\mu})$. Под строгой потерей устойчивости здесь понимается следующее условие:
\[
0<\tilde{\gamma}_{1}=\left[\mathcal{Y} \boldsymbol{\Gamma}_{01}-\hat{\omega}_{1} \dot{\Gamma}_{01}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}-\left[\dot{\hat{U}}_{i}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi},
\]

где с учетом (XI.35)
\[
\left[\dot{\hat{U}}_{1}, \Gamma_{01}^{*}\right]_{2 \pi}=\left[\mathcal{y} \Gamma_{00}-\hat{\omega}_{1} \Gamma_{00}, \Gamma_{00}^{*}\right]_{2 \pi} .
\]

Условие (XI.42) имеет место не только для рассматриваемого сейчас случая собственного значения с индексом два, но также для случая полупростого собственного значения, изученного в § XI.6. В случае полупростого собственного значения второй член в (XI.42) обращается в нуль вследствие (XI.25).