Существует много эквивалентных способов параметризации одного и того же бифуркационного решения. Можно использовать заданный параметр $\mu$ и искать бифуркационные решения в форме ( $\mu, u_{1}(\mu)$, $u_{2}(\mu)$ ). Или можно ввести амплитуду $\varepsilon$, определяемую посредством некоторой функции от $u_{1}$ и $u_{2}$, и разыскивать решения в форме ( $\varepsilon$, $\left.\mu(\varepsilon), u_{1}(\varepsilon), u_{2}(\varepsilon)\right)$. Например, можно взять $\varepsilon=u_{1}$, или $\varepsilon=u_{2}$, или $\varepsilon=f\left(u_{1}, u_{2}\right)$ для некоторой хорошей функции $f$. В более общих случаях, подобных тем, которые встречаются при исследовании бифуркации решений уравнений в частных производных, амплитуду бифуркационного решения можно определить при помощи соответствующего выбора функционала. Определения, подобные (VI.7), на которых основывается проектирование бифуркационного решения, особенно удобны. Различные определения в эквивалентны, если они связаны между собой обратимым преобразованием.

В этой главе мы часто будем параметризовывать бифуркационные ветви соотношениями
\[
u_{1}=\varepsilon, \quad u_{2}=\varepsilon y(\varepsilon), \quad \mu=\varepsilon \lambda(\varepsilon) .
\]

Прежде чем приступить к исследованию решений (V.2), представляет интерес провести анализ задачи, используя заданный параметр $\mu$ :
\[
\left(\mu, u_{1}, u_{2}\right)=\left(\mu, u_{1}(\mu), u_{2}(\mu)\right) .
\]

Для получения решения в форме (V.3) достаточно, чтобы ( $u_{i}, u_{2}$ ) представляли собой точки пересечения на ( $u_{1}, u_{2}$ )-плоскости двух кривых, определяемых уравнениями
\[
f_{l}\left(\mu, u_{i}, u_{2}\right)=0, \quad l=1,2,
\]

при некотором $\mu=\mu_{0}$, и чтобы для этого же самого значения $\mu_{0}$ выполнялось условие
\[
\operatorname{det} y
eq 0,
\]

где
\[
y=\left[\begin{array}{ll}
\frac{\partial f_{i}}{\partial u_{1}} & \frac{\partial f_{1}}{\partial u_{2}} \\
\frac{\partial f_{2}}{\partial u_{1}} & \frac{\partial f_{2}}{\partial u_{2}}
\end{array}\right],
\]

теоремы о неявной функции в $\mathbb{R}^{2}$ (см. дополнение V.1).
Существует тесная связь между достаточным условием $\operatorname{det} y
eq 0$ существования ветви и устойчивостью решений. Устойчивость любого решения по отношению к малым возмущениям $v_{l}$ для (V.3) или (V.2) определяется на основе линеаризованной эволюционной задачи, описывающей $v_{t}$ :
\[
\frac{d v_{l}}{d t}=\frac{\partial f_{l}}{\partial u_{1}} v_{1}+\frac{\partial f_{l}}{\partial u_{2}} v_{2}, \quad l=1,2,
\]

где для (V.3)
или для (V.2)
\[
\begin{array}{c}
f_{l}=f_{l}\left(\mu_{0}, u_{1}\left(\mu_{0}\right), u_{2}\left(\mu_{0}\right)\right) \\
f_{l}=f_{l}\left(\varepsilon_{0} \lambda\left(\varepsilon_{0}\right), \varepsilon_{0}, \varepsilon_{0} y\left(\varepsilon_{0}\right)\right) .
\end{array}
\]

Эволюционной задаче удовлетворяют экспоненты
\[
\mathbf{v}(t)=e^{\gamma t} \zeta \quad\left(v_{l}(t)=e^{\gamma t} \zeta_{l}\right),
\]

если собственное значение $\gamma$ и собственный вектор $\zeta$ удовлетворяют спектральной задаче $\gamma=y \cdot \zeta$. Собственные значения матрицы Якоби y суть $\gamma_{1}\left(\mu_{0}\right)$ и $\gamma_{2}\left(\mu_{0}\right)$, и решение (V.3) устойчиво, если при $\mu=\mu_{0}$ (или при $\varepsilon=\varepsilon_{0}$ и $\mu_{0}=\mu\left(\varepsilon_{0}\right)$ ) вещественные части собственных значений отрицательны. Очевидно, что $f_{l}\left(\mu_{0}, u_{1}, u_{2}\right)=0$ и
\[
\operatorname{det} y=\gamma_{1}\left(\mu_{0}\right) \gamma_{2}\left(\mu_{0}\right)
eq 0
\]

представляет собой достаточное условие существования непрерывной ветви решения ( $\mathrm{V} .3$ ) для $\mu$, близких к $\mu_{0}$. Это условие выражено через собственные значения, определяющие характер устойчивости.

Если $\gamma_{1}\left(\mu_{0}\right)$ комплексное, то $\gamma_{2}\left(\mu_{0}\right)=\bar{\gamma}_{1}\left(\mu_{0}\right)$ и $\operatorname{det} y=\left|\gamma_{1}\left(\mu_{0}\right)\right|^{2}>$ $>0$. Если $\gamma_{1}\left(\mu_{0}\right)$ вещественное, то $\gamma_{2}\left(\mu_{0}\right)$ тоже вещественное. Особый случай, когда существование ветви, проходящей через точку ( $\mu_{0}$, $u_{1}, u_{2}$ ), нельзя установить, отправляясь от (V.3) и используя теорему о неявной функции, характеризуется тем, что одно из двух собственных значений, определяющих характер устойчивости, обращается в нуль. Геометрически этот особый случай можно описать следующим образом: $\operatorname{det} y
eq 0$ при $\mu=\mu_{v}$ тогда и только тогда, когда при $\mu=\mu_{0}$ кривые, связывающие $u_{1}$ и $u_{2}$ на ( $u_{1}, u_{2}$ )-плоскости, т. е. $f_{1}\left(\mu_{0}, u_{1}, u_{2}\right)=0$ и $f_{2}\left(\mu_{0}, u_{1}, u_{2}\right)=0$, пересекаются трансверсально. Если эти кривые имеют в точке пересечения общую касательную, то два уравнения
\[
\frac{\partial f_{l}}{\partial u_{1}} \delta u_{1}+\frac{\partial f_{l}}{\partial u_{2}} \delta u_{2}=0, \quad l=1,2,
\]

имеют ненулевое решение ( $\delta u_{1}, \delta u_{2}$ ) и поэтому $\operatorname{det} y=\gamma_{1}\left(\mu_{0}\right) \gamma_{2}\left(\mu_{0}\right)=0$.
Полагая $\left(\mu, u_{1}, u_{2}\right)=(\varepsilon \lambda, \varepsilon, \varepsilon y)$, получаем
\[
\begin{array}{l}
y=\left[\begin{array}{ll}
\frac{\partial f_{1}}{\partial u_{1}} & \frac{\partial f_{1}}{\partial u_{2}} \\
\frac{\partial f_{2}}{\partial u_{1}} & \frac{\partial f_{2}}{\partial u_{2}}
\end{array}\right]= \\
=\left[\begin{array}{ll}
a_{0}+\varepsilon\left(\lambda a^{\prime}+2 \alpha_{1}+2 \beta_{1} y\right) & b_{0}+\varepsilon\left(\lambda b^{\prime}+2 \beta_{1}+2 \gamma_{1} y\right) \\
c_{0}+\varepsilon\left(\lambda c^{\prime}+2 \alpha_{2}+2 \beta_{2} y\right) & d_{0}+\varepsilon\left(\lambda d^{\prime}+2 \beta_{2}+2 \gamma_{2} y\right)
\end{array}\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\end{array}
\]