Результат, относящийся к устойчивости, мы сформулируем в виде теоремы о факторизации. Для дсказательства этой теоремы мы используем то обстоятельство, что $\gamma=0$ всегда является собственным значением оператора $J$ с собственной функцией $\dot{b}(s, \varepsilon)$ :
\[
J \dot{b}=0,
\]
а также соотношение
\[
\omega_{\varepsilon}(\varepsilon) \dot{b}(s, \varepsilon)=\mu_{\varepsilon}(\varepsilon) f_{\mu}(\mu(\varepsilon), b(s, \varepsilon))+J b_{\varepsilon},
\]
которое получается в результасе дифференцирования уравнения $\omega \dot{b}=f(\mu, b)$ по $\varepsilon$ при любом $\varepsilon$.
Теорема о факторизации. Собственная функция задачи (VII.38) и экспонента Флоке $\gamma$ вычисляются по следующим формулам:
\[
\begin{aligned}
y(s, \varepsilon) & =c(\varepsilon)\left\{\frac{\tau}{\gamma} \dot{b}(s, \varepsilon)+b_{\varepsilon}(s, \varepsilon)+\mu_{\varepsilon}(\varepsilon) \varepsilon q(s, \varepsilon)\right\}, \\
\tau(\varepsilon) & =\omega_{\varepsilon}(\varepsilon)+\mu_{\varepsilon}(\varepsilon) \hat{\tau}(\varepsilon), \\
\gamma(\varepsilon) & =\mu_{\varepsilon}(\varepsilon) \hat{\gamma}(\varepsilon),
\end{aligned}
\]
где с ( $)$-произвольная постоянная, а $q(s, \varepsilon)=q(s+2 \pi, \varepsilon), \hat{\tau}(\varepsilon)$ и $\hat{\gamma}(\varepsilon)$ удовлетворяют уравнению
\[
\hat{\tau} \dot{b}+\hat{\gamma} b_{\varepsilon}+\ell_{\mu}(\mu, b)+\varepsilon\{\gamma q-J q\}=0
\]
и являются гладкими функциями в окрестности $\varepsilon=0$. Более того, $\hat{\tau}(\varepsilon)$ и $\hat{\gamma}(\varepsilon) / \varepsilon$ суть четньке функции и такие, что
\[
\hat{\gamma}_{\varepsilon}(0)=-\xi_{\mu}(0), \quad \hat{\tau}(0)=-\eta_{\mu}(0) .
\]
Замечание. Если $\omega_{\varepsilon}(0)
eq 0$, то $c(\varepsilon)$ можно выбрать так, что
\[
y(s, \varepsilon) \rightarrow b(s, \varepsilon) \text { при } \varepsilon \rightarrow 0 .
\]
Доказательство. Подставим єыражения (VII.41) в (VII.38) и используем (VII.39) для исключения $J \dot{b}$ и (VII.40) для исключения $J b_{\varepsilon}$. Это приводит к уравнению (VII.42), решение которого можно найти в виде ряда
\[
\left[\begin{array}{l}
q(s, \varepsilon) \\
\hat{\gamma}(\varepsilon) / \varepsilon \\
\tau(\varepsilon)
\end{array}\right]=\sum_{l=0}^{\infty}\left[\begin{array}{l}
q_{l}(s) \\
\hat{\gamma}_{l} \\
\tau_{l}
\end{array}\right] \varepsilon^{t},
\]
где $\hat{\gamma_{0}}=\hat{\gamma_{e}}(0)$, а $\hat{\tau_{0}}=\hat{\tau}(0)$. Используя то обстоятельство, что в членах наименьшего порядка $b=\varepsilon e^{i s}, \gamma=O\left(\varepsilon^{2}\right)$ и (из (VII.5)) $f_{\mu}(\mu, b)=$ $=\sigma_{\mu}(0) e^{i s} \varepsilon$, находим, что
\[
e^{i s}\left[\hat{i \tau}(0)+\hat{\gamma_{\varepsilon}}(0)+\sigma_{\mu}\right]-J_{0} q_{0}=0, \quad J_{0}=J(\cdot, 0) .
\]
Уравнение (VII:45) разрешимо относительно $q_{i}(s)=q_{0}(s+2 \pi)$ тогда и только тогда, когда выражение в квадратных скобках равно нулю; это выражение равно нулю, если выполняются условия (VII.43). Остальные свойства, содержащиеся в теореме, можно установить, используя степенной ряд (VII.44) и применяя метод математической индукции (см. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. — М.: Мир, 1981, гл. 2).
Заключения об устойчивости по первому приближению периодического решения для малых значений $\varepsilon$ можно теперь получить из анализа спектральной задачи: решение $\mathbf{u}(s, \varepsilon)=\mathbf{u}(s+2 \pi, \varepsilon)$ устойчиво, если $\gamma(\varepsilon)<0$ ( $\gamma(\varepsilon)$ – вещественное), и неустойчиво, если $\gamma(\varepsilon)>0$, где
\[
\gamma(\varepsilon)=\mu_{\varepsilon}(\varepsilon) \hat{\gamma}(\varepsilon)=-\mu_{\varepsilon}(\varepsilon)\left\{\xi_{\mu}(0) \varepsilon+O\left(\varepsilon^{3}\right)\right\} .
\]
Рис. VII.2. (а) Суперкритическая (устойчивая) бифуркация Хопфа. (б) Субкритическая (неустойчивая) бифуркация Хопфа с экстремальной точкой. В случае (б), если нулевое решение теряет устойчивость строго, когда $\mu$, возрастая, проходит через нуль, то $\xi_{\mu}$ и нулевое решение теустойчиво для $\mu>0$ (как показано); двойное собственное значение оператора $J_{0}$ расщепляется на два простых собственных значения $J(\cdot, \varepsilon)$ : одно из них есть нуль, а другое $(\gamma(\varepsilon))$ определяет характер устойчивости. Для случая (б) $\mu(\varepsilon)=\mu(-\varepsilon)$ есть бифуркационная кривал периодического по времени решения $\mathbf{u}(s, \varepsilon)$. Экспонента, соответствуюшая $\mathbf{u}(s, \varepsilon)$ и определяющая характер устойчивости, есть $\gamma(\varepsilon)$, и $\gamma(\varepsilon)=\mu_{\varepsilon}(\varepsilon) \hat{\gamma}(\varepsilon)=$ $=\gamma(-\varepsilon)=\mu_{\varepsilon}(\varepsilon)\left\{\hat{\gamma}_{\varepsilon}(0) \varepsilon+O\left(\varepsilon^{3}\right)\right\}=\mu_{\varepsilon}(\varepsilon)\left\{-\xi_{\mu} \varepsilon+O\left(\varepsilon^{3}\right)\right\}$. Если $\omega_{\varepsilon}\left(\varepsilon_{*}\right)
eq 0$ в экстремальной точке, то в этой точке $\tau
eq 0$, а собственная функция, определяющая характер устойчивости, пропорциональна $\mathbf{u}(s, \varepsilon$, $)$.
