Пусть $\sigma(\mu)$-полупростое собственное значение оператора $J(\mu)$ кратности $l$, а $\xi_{i}^{*}(i=1,2, \ldots, l)$-какое-нибудь множество независимых сопряженных собственных векторов. Тогда уравнение
\[
(J(\mu)-\sigma(\mu)) \mathbf{a}=\mathbf{b}(t)=\mathbf{b}(t+T)
\]

может иметь решения а в $\mathbb{P}_{T}(\mathbf{a}(t)=\mathbf{a}(t+T))$ тогда и только тогда, когда заданный вектор $\mathbf{b}(t)$ удовлетворяет соотношениям ортогональности
\[
\left[\mathbf{b}, \zeta_{i}^{*}\right]_{T}=0 .
\]

Предположим теперь, что $i \omega_{0}$ есть алгебраически простое собственное значение оператора $J_{0}$. Для вывода формулы, выражающей (IX.20), продифференцируем (IX.13) по $\mu$ при $\mu=0$ и найдем, что
\[
\sigma_{\mu}(0) \zeta-\mathbf{f}_{\mu \mu}(t \mid \zeta)+\left(i \omega_{0}-J_{0}\right) \xi_{\mu}=0,
\]

где $J_{\mu}(0)=\mathfrak{f}_{u \mu}(t \mid \cdot)$ в обозначениях (IX.21), и $\zeta_{\mu} \in \mathbb{P}_{T}$. Используя (IX.23)- для (IX.24), находим, что
\[
\sigma_{\mu}(0)=\xi_{\mu}(0)+i \eta_{\mu}(0)=\left[\mathrm{f}_{\mu \mu}(t \mid \zeta), \zeta^{*}\right]_{T} .
\]