Рассмотрим эволюционное уравнение с $T$-периодическими коэффициентами, приведенное к локальной форме, как в (I.21). Фактически эта задача в точности совпадает с изученной в гл. IX, однако теперь нас интересует, что случится, если не могут ответвляться $n T$-периодические решения с $n=1,2,3,4$. Мы проанализируем эту задачу в духе гл. IX, используя метод степенных рядов и альтернативу Фредгольма вместе с методом, который дважды применялся в дополнении X. 1 и более непосредственно в дополнениях X. 2 и X.3. Однако мы предпочитаем начать с анализа, опирающегося на совершенно другой метод, который содержит в себе обобщение метода усреднения и позволяет редуцировать уравнения с $T$-периодическими коэффициентами к автономным уравнениям. Итак, запишем (I.21) в несколько другом виде:
\[
\frac{d \mathbf{u}}{d t}=\mathrm{f}_{u}(t, \mu \mid \mathbf{u})+\mathbf{N}(t, \mu, \mathbf{u}),
\]

где
\[
\mathbf{N}(t, \mu, \mathbf{u})=\mathbf{f}(t, \mu, \mathbf{u})-\mathbf{f}_{\boldsymbol{u}}(t, \mu \mid \mathbf{u})
\]

суть нелинейные члены и, естественно, $\mathbf{u}=0$ есть решение. Спектральная задача для анализа устойчивости решения $\mathbf{u}=0$ описывается уравнением (IX.8) и, поскольку иы исключили точки сильного резонанса, которым соответствуют $n=1,2,3,4$, все множители Флоке $e^{\sigma(\mu) T}$ и все экспоненты $\sigma(\mu)$, отвечающие критической точке, являются комплексными.
Без ограничения общности можно положить
\[
\mathbf{u}=Z \xi+\bar{Z} \bar{\zeta}+\mathbf{w},
\]

где $\zeta=\zeta(\mu, t)=\zeta(\mu, T+t)$ есть собственная функция спектральной задачи (IX.8). Для определения $Z$ мы применим метод проектирования, используя сопряженную собственную функцию ६*, удовлетворяющую задаче (IX.14), и свойства ортогональности зависящего от времени скалярного произведения $\langle\cdot, \cdot\rangle$, которые устанавливаются в упр. X. 1 .
Упражнение
X.1. Предположим, что $\sigma$-простое собственное значение оператора
\[
-\frac{d}{d t}+\mathrm{t}_{u}(t, \mu \mid \cdot)
\]

в пространстве $T$-периодических вектор-функций. Пусть $\zeta(\cdot)$ есть собственная функция, соответствующая $\sigma$, а $\xi^{*}(\cdot)$ – собственная функция сопряженного оператора, которая соответствует $\bar{\sigma}$. Покажите, что
\[
\begin{array}{l}
\left\langle\zeta(t), \zeta^{*}(t)\right\rangle=\text { const } \quad \text { (не зависит от } t \text { ); } \\
\left\langle\zeta(t), \bar{\zeta}^{*}(t)\right\rangle=C e^{(\bar{\sigma}-\sigma) t}, \quad C \text {-постоянная. } \\
\end{array}
\]

Докажите, что можно выбрать $\zeta(t)$ и $\zeta^{*}(t)$ так, что $\left\langle\zeta(t), \zeta^{*}(t)\right\rangle=1$ и что если $\bar{\sigma}-\sigma
eq 2 k \pi i / T, k \in \mathbb{Z}$, то $\left\langle\zeta(t), \zeta^{*}(t)\right\rangle=0$.

Покажите, что это условие выполняется здесь для $\mu$, близких к 0 (проверьте для $\mu=0$ и наложите возмущение).

Имеем
\[
Z=Z(\mu, t)=\left\langle\mathbf{u}(t), \zeta^{*}(t)\right\rangle
\]

и
\[
\left\langle\mathbf{W}(t), \xi^{*}(t)\right\rangle=0 .
\]

Вектор и всегда можно представить в виде (X.2). Если, кроме того, u является решением уравнения (X.1), то назовем (X.2) биортогональным разложением решения. Векторы $\mathbf{u}$ и $\mathbf{W}$ вещественные.

Для того чтобы получить биортогональное разложение уравнении, подставим (X.2) в (X.1) и найдем, что
\[
\begin{array}{l}
\dot{Z} \xi+Z \dot{\zeta}+\dot{\bar{Z}} \bar{\zeta}+\bar{Z} \dot{\bar{\zeta}}+\dot{\mathrm{W}}= \\
=Z \mathrm{f}_{u}(t, \mu \mid \zeta)+\bar{Z} \mathrm{f}_{u}(t, \mu \mid \zeta)+\mathrm{f}_{u}(t, \mu \mid \mathbf{W})+\mathbf{N}(t, \mu, \mathbf{u}) . \\
\end{array}
\]

Используя уравнение (IX.8), которому удовлетворяет $\zeta$, находим, что
\[
\dot{Z} \zeta+\dot{\bar{Z}} \bar{\zeta}+\dot{\mathbf{W}}=\sigma Z \zeta+\bar{\sigma} \bar{Z} \bar{\zeta}+\mathrm{f}_{t}(t, \mu \mid \mathbf{W})+\mathbf{N}(t, \mu, \mathbf{u}) .
\]

Образуем теперь скалярное произведение (X.5) и $\xi^{*}$ и используем (X.4); получим
\[
\left\langle\dot{\mathbf{W}}, \zeta^{*}\right\rangle=\frac{d}{d t}\left\langle\mathbf{W}, \zeta^{*}\right\rangle-\left\langle\mathbf{W}, \dot{\zeta}^{*}\right\rangle=-\left\langle\mathbf{W}, \zeta^{*}\right\rangle ;
\]

используя (IX.14), находим далее
\[
\begin{aligned}
\left\langle\left[-\dot{\mathbf{W}}+\mathrm{f}_{u}(t, \mu \mid \mathbf{W})\right], \zeta^{*}\right\rangle & =\left\langle\mathbf{W}, \dot{\zeta}^{*}+\mathbf{f}_{u}^{*}\left(t, \mu \mid \zeta^{*}\right)\right\rangle= \\
& =\left\langle\mathbf{W}, \bar{\sigma} \zeta^{*}\right\rangle=0 .
\end{aligned}
\]

Так как $\left\langle\zeta, \zeta^{*}\right\rangle=1$ и $\left\langle\zeta, \bar{\zeta}^{*}\right\rangle=0$, то находим, что
\[
\dot{Z}=\sigma(\mu) Z+\left\langle\mathbf{N}(t, \mu, \mathbf{u}), \zeta^{*}\right\rangle .
\]

Возвращаясь к (X.5) и учитывая (X.6), находим, что
\[
\dot{\mathbf{W}}=\mathrm{f}_{a}(t, \mu \mid \mathbf{W})+\mathbf{N}(t, \mu, \mathbf{u})-\left\langle\mathbf{N}(t, \mu, \mathbf{u}), \xi^{*}\right\rangle \xi-\left\langle\mathbf{N}(t, \mu, \mathbf{u}), \bar{\xi}^{*}\right\rangle \bar{\xi} .
\]

Уравнения (X.2), (Х.6) и (X.7) дают биортогональное разложение уравнений. Для последующего анализа этих уравнений отметим, что если $\mathbf{f}(t, \mu, \cdot)$ имеет производные до порядка $k+1$ при $\mathbf{u}=0$, то справедливо разложение
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{N}(t, \mu, \mathbf{u})=\frac{1}{2} \mathbf{f}_{u u}(t, \mu, 0|\mathbf{u}| \mathbf{u})+\frac{1}{3 !} \mathbf{f}_{u u u}(t, \mu, 0|\mathbf{u}| \mathbf{u} \mid \mathbf{u})+\ldots \\
\ldots+\frac{1}{k !} \underbrace{\mathbf{f}_{u, \ldots, u}}_{k \text { раз }}(t, \mu, 0 \underbrace{\mathbf{u}|\mathbf{u} \ldots| \mathbf{u})}_{k \text { ра }}+O\left(\|\mathbf{u}\|^{k+1}\right) .
\end{array}
\]

Так как $\mathbf{u}=Z \zeta+\bar{Z} \bar{\xi}+\mathbf{W}$, то $\mathbf{N}$ имеет вид
\[
\mathbf{N}(t, \mu, Z \zeta+\bar{Z} \bar{\zeta}+\mathbf{W})=\mathbf{n}_{0}(t, \mu, Z, \bar{Z})+\mathbf{n}_{1}(t, \mu, Z, \bar{Z}, \mathbf{W}),
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{n}_{\mathbf{0}}(t, \mu, Z, \bar{Z})=\mathbf{N}(t, \mu, Z \bar{\zeta}+\bar{Z} \bar{\zeta})=O\left(|Z|^{2}\right), \\
\mathbf{n}_{\mathbf{1}}(t, \mu, Z, \bar{Z}, \mathbf{W})=O\left(|Z|\|\mathbf{W}\|+\|\mathbf{W}\|^{\mathbf{2}}\right) .
\end{array}
\]

Отсюда следует, что (X.6) и (X.7) можно записать в виде
\[
\begin{array}{c}
\dot{Z}=\sigma Z+b(t, \mu, Z, \bar{Z}, \mathbf{W}), \\
\dot{\mathbf{W}}=\mathbf{f}_{a}(t, \mu \mid \mathbf{W})+\mathbf{B}(t, \mu, Z, \bar{Z}, \mathbf{W}),
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
b(t, \mu, Z, \bar{Z}, \mathbf{W})=\left\langle\mathbf{n}_{0}+\mathbf{n}_{1}, \zeta^{*}\right\rangle, \\
\mathbf{B}(t, \mu, Z, \bar{Z}, \mathbf{W})=\mathbf{n}_{0}+\mathbf{n}_{1}-\left\langle\mathbf{n}_{0}+\mathbf{n}_{1}, \zeta^{*}\right\rangle \zeta-\left\langle\mathbf{n}_{0}+\mathbf{n}_{1}, \bar{\zeta}^{*}\right\rangle \bar{\xi} .
\end{array}
\]
$T$-периодичность $b$ и В следует из $T$-периодичности $\mathbf{N}(t, \cdot, \cdot)=$ $=\mathbf{N}(t+T, \cdot, \cdot)$, и вектор В ортогонален $\zeta^{*}$.
Имеем следующие разложения:
\[
b=b_{0}+b_{i}, \quad \mathbf{B}=\mathbf{B}_{0}+\mathbf{B}_{i},
\]

где
\[
\begin{array}{cl}
b_{0} \stackrel{\text { def }}{=}\left\langle\mathbf{n}_{0}, \xi^{*}\right\rangle, & b_{1} \stackrel{\text { def }}{=}\left\langle\mathbf{n}_{1}, \xi^{*}\right\rangle, \\
\mathbf{B}_{0}=\mathbf{n}_{0}-b_{0} \xi-\bar{b}_{0} \bar{\xi}, & \mathbf{B}_{1}=\mathbf{n}_{1}-b_{1} \xi-\bar{b}_{1} \bar{\xi} .
\end{array}
\]

Кроме того,
\[
\begin{array}{l}
b_{0}=b(t, \mu, Z, \bar{Z}, 0)=\left\langle\mathbf{n}_{0}, \zeta^{*}\right\rangle= \\
\quad=\frac{1}{2}\left\{Z^{2}\left\langle\mathbf{f}_{u u}(t, \mu, 0|\zeta| \zeta), \zeta^{*}\right\rangle+2|Z|^{2}\left\langle\mathbf{f}_{u u t}(t, \mu, 0|\zeta| \bar{\zeta}), \zeta^{*}\right\rangle+\right. \\
+\bar{Z}^{2}\left\langle\mathrm{f}_{u u}(t, \mu, 0|\bar{\zeta}| \bar{\zeta}), \zeta^{*}\right\rangle+O\left(|Z|^{3}\right)=\sum_{p+q \geqslant 2} Z^{p} \bar{Z}^{q} \hat{b}_{p q}(t, \mu),
\end{array}
\]

где $\hat{b}_{p q}(t, \mu)=\hat{b}_{p q}(t+T, \mu)$. Аналогично,
\[
\mathbf{B}_{0}=\mathbf{B}(t, \mu, Z, \bar{Z}, 0)=\mathbf{n}_{0}-b_{0} \zeta-\bar{b}_{0} \bar{\zeta}=\sum_{p+q \geqslant 2} Z^{p} \bar{Z}^{q} \hat{\mathbf{B}}_{p q}(t, \mu),
\]

где $\hat{\mathbf{B}}_{p q}(t, \mu)=\hat{\mathbf{B}}_{p q}(t+T, \mu)$. Легко установить, что
\[
\begin{array}{l}
b_{1}(t, \mu, Z, \bar{Z}, \mathbf{W})=O\left(|Z|\|\mathbf{W}\|+\|\mathbf{W}\|^{2}\right), \\
\mathbf{B}_{1}(t, \mu, Z, \bar{Z}, \mathbf{W})=O\left(\mid Z\|\mathbf{W}\|+\|\mathbf{W}\|^{2}\right) .
\end{array}
\]