Можно сделать точные заключения относительно устойчивости решений вблизи двойных точек. Все возможные результаты о характере устойчивости двойной точки бифуркации можно описать случаями (А) и (Б), которые были точно охарактеризованы после уравнения (II.11). В случае (A) через двойную точку ( $\mu_{0}, \varepsilon_{0}$ ) проходят две кривые $\mu^{(1)}(\varepsilon)$ и $\mu^{(2)}(\varepsilon)$. В случае (Б) через двойную точку проходят две кривые $\varepsilon^{(1)}(\mu)$ (с $\varepsilon_{\mu}^{(1)}\left(\mu_{0}\right)=0$ ) и $\mu^{(2)}(\varepsilon)$. Собственное значение $\sigma^{(1)}$ соответствует кривой с верхним индексом (1), а $\sigma^{(2)}$-кривой с верхним индексом (2).
Теорема 2. Пусть ( $\left.\mu_{0}, \varepsilon_{0}\right)$-двойная точка. Тогда в случае (A)
\[
\begin{array}{c}
\sigma^{(1)}(\varepsilon)=-\mu_{\varepsilon}^{(1)}(\varepsilon)\left\{\hat{s} V \bar{D}\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right)+o\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right)\right\}, \\
\sigma^{(2)}(\varepsilon)=\mu_{\varepsilon}^{(2)}(\varepsilon)\left\{\hat{s} V \bar{D}\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right)+o\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right)\right\},
\end{array}
\]

где $\hat{s}=F_{\mu \mu} /\left|F_{\mu \mu}\right|$, а $D$ и $F_{\mu \mu}$ вычисляются $n р и \quad \varepsilon=\varepsilon_{0}$. В случае (Б)
\[
\begin{array}{c}
\sigma^{(1)}(\mu)=s \sqrt{D}\left(\mu-\mu_{0}\right)+o\left(\mu-\mu_{0}\right), \\
\sigma^{(2)}(\varepsilon)=-s \mu_{\varepsilon}^{(2)}(\varepsilon)\left\{V \bar{D}\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right)+o\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right)\right\},
\end{array}
\]

где $s=F_{\varepsilon \mu} /\left|F_{\varepsilon \mu}\right|$.
Доказательство. Если $\mu=\mu(\varepsilon)$, то (II.44) принимает вид
\[
\begin{aligned}
\sigma(\varepsilon) & =-\mu_{\varepsilon}(\varepsilon) F_{\mu}(\mu(\varepsilon), \varepsilon)= \\
& =-\mu_{\varepsilon}(\varepsilon)\left\{\left[F_{\mu \mu}\left(\mu_{v}, \varepsilon_{0}\right) \mu_{\varepsilon}\left(\varepsilon_{0}\right)+F_{\varepsilon \mu}\left(\mu_{0}, \varepsilon_{0}\right)\right]\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right)+o\left(\varepsilon-\varepsilon_{0}\right)\right\} .
\end{aligned}
\]

Формулы (II.47) и (II.48) получаются из (II.51) при подстановке вместо $\mu_{\varepsilon}\left(\varepsilon_{0}\right)$ значений, даваемых (II.8). Если $\varepsilon=\varepsilon(\mu)$ и одновременно $\varepsilon_{\mu}\left(\mu_{0}\right)=0$, то $F_{\mu \mu}\left(\mu_{0}, \varepsilon_{0}\right)=0, F_{\varepsilon \mu}^{2}\left(\mu_{0}, \varepsilon_{0}\right)=D$ и
\[
\begin{aligned}
\sigma(\mu) & =F_{\varepsilon}(\mu, \varepsilon(\mu))=F_{\varepsilon \mu}\left(\mu_{0}, \varepsilon_{0}\right)\left(\mu-\mu_{0}\right)+o\left(\mu-\mu_{0}\right)= \\
& =s \sqrt{D}\left(\mu-\mu_{0}\right)+o\left(\mu-\mu_{0}\right) .
\end{aligned}
\]

Теорема 2 дает исчерпывающую классификацию связи устойчивости решений вблизи двойной точки с наклоном бифуркационных кривых вблизи этой точки. Полученный результат можно сформулировать следующим образом. Пусть $\left|\varepsilon-\varepsilon_{0}\right|>0$ мало. Тогда из

Рис. II.2. Устойчивость решений в окрсстности двойной точки бифуркации. На каждой из восьми схем двойной точкой является ( $\mu_{0}, \varepsilon_{0}$ ). Для верхних четырех схем $\hat{s}=-1$, а для нижних схем $\hat{s}=1$. Устойчивость определяется знаком собственного значения, даваемого формуламх (II.47) и (II.48).
(I1.47) и (II.48) следует, что $\sigma^{(1)}(\varepsilon)$ и $\sigma^{(2)}(\varepsilon)$ имеют одинаковый (разный) знак, если $\mu_{\varepsilon}^{(1)}(\varepsilon)$ и $\mu_{\varepsilon}^{(2)}(\varepsilon)$ имеют разный (одинаковый) знак. Аналогичное утверждение можно вывести из (II.49) и (II.50). Возможные распределения устойчивогти решений схематично показаны на рис. II. 2 (пунктирные линии соответствуют неустойчивым решениям).

Теорема 3. Предположим, что все особые точки решений $F(\mu, \varepsilon)=0$ являются двойными точками. Смена устойчивости таких решений должна происходить в каждой регулярной экстремальной точке и в каждой особой точке (не являющейся экстремальной точкой), и только в таких точках.