Можно сделать точные заключения относительно устойчивости решений вблизи двойных точек. Все возможные результаты о характере устойчивости двойной точки бифуркации можно описать случаями (А) и (Б), которые были точно охарактеризованы после уравнения (II.11). В случае (A) через двойную точку ( ${\mu }_0,{\epsilon }_0$ ) проходят две кривые ${\mu }^{(1)}(\epsilon )$ и ${\mu }^{(2)}(\epsilon )$. В случае (Б) через двойную точку проходят две кривые ${\epsilon }^{(1)}(\mu )$ (с ${\epsilon }_{\mu }^{(1)}\left({\mu }_0\right)=0$ ) и ${\mu }^{(2)}(\epsilon )$. Собственное значение ${\sigma }^{(1)}$ соответствует кривой с верхним индексом (1), а ${\sigma }^{(2)}$-кривой с верхним индексом (2).
Теорема 2. Пусть ( ${\mu }_0,{\epsilon }_0)$-двойная точка. Тогда в случае (A)
$$\begin{array}{c}{\sigma }^{(1)}(\epsilon )=-{\mu }_{\epsilon }^{(1)}(\epsilon )\{\hat{s}V\overline{D}(\epsilon -{\epsilon }_0)+o(\epsilon -{\epsilon }_0)\},\\ {\sigma }^{(2)}(\epsilon )={\mu }_{\epsilon }^{(2)}(\epsilon )\{\hat{s}V\overline{D}(\epsilon -{\epsilon }_0)+o(\epsilon -{\epsilon }_0)\},\end{array}$$

где $\hat{s}=F_{\mu \mu }/\left|F_{\mu \mu }\right|$, а $D$ и $F_{\mu \mu }$ вычисляются $nри\epsilon ={\epsilon }_0$. В случае (Б)
$$\begin{array}{c}{\sigma }^{(1)}(\mu )=s\sqrt{D}(\mu -{\mu }_0)+o(\mu -{\mu }_0),\\ {\sigma }^{(2)}(\epsilon )=-s{\mu }_{\epsilon }^{(2)}(\epsilon )\{V\overline{D}(\epsilon -{\epsilon }_0)+o(\epsilon -{\epsilon }_0)\},\end{array}$$

где $s=F_{\epsilon \mu }/\left|F_{\epsilon \mu }\right|$.
Доказательство. Если $\mu =\mu (\epsilon )$, то (II.44) принимает вид
$$\begin{array}{rl}\sigma (\epsilon )& =-{\mu }_{\epsilon }(\epsilon )F_{\mu }(\mu (\epsilon ),\epsilon )=\\ & =-{\mu }_{\epsilon }(\epsilon )\{[F_{\mu \mu }({\mu }_v,{\epsilon }_0){\mu }_{\epsilon }\left({\epsilon }_0\right)+F_{\epsilon \mu }({\mu }_0,{\epsilon }_0)](\epsilon -{\epsilon }_0)+o(\epsilon -{\epsilon }_0)\}.\end{array}$$

Формулы (II.47) и (II.48) получаются из (II.51) при подстановке вместо ${\mu }_{\epsilon }\left({\epsilon }_0\right)$ значений, даваемых (II.8). Если $\epsilon =\epsilon (\mu )$ и одновременно ${\epsilon }_{\mu }\left({\mu }_0\right)=0$, то $F_{\mu \mu }({\mu }_0,{\epsilon }_0)=0,F_{\epsilon \mu }^2({\mu }_0,{\epsilon }_0)=D$ и
$$\begin{array}{rl}\sigma (\mu )& =F_{\epsilon }(\mu ,\epsilon (\mu ))=F_{\epsilon \mu }({\mu }_0,{\epsilon }_0)(\mu -{\mu }_0)+o(\mu -{\mu }_0)=\\ & =s\sqrt{D}(\mu -{\mu }_0)+o(\mu -{\mu }_0).\end{array}$$

Теорема 2 дает исчерпывающую классификацию связи устойчивости решений вблизи двойной точки с наклоном бифуркационных кривых вблизи этой точки. Полученный результат можно сформулировать следующим образом. Пусть $|\epsilon -{\epsilon }_0|>0$ мало. Тогда из

Рис. II.2. Устойчивость решений в окрсстности двойной точки бифуркации. На каждой из восьми схем двойной точкой является ( ${\mu }_0,{\epsilon }_0$ ). Для верхних четырех схем $\hat{s}=-1$, а для нижних схем $\hat{s}=1$. Устойчивость определяется знаком собственного значения, даваемого формуламх (II.47) и (II.48).
(I1.47) и (II.48) следует, что ${\sigma }^{(1)}(\epsilon )$ и ${\sigma }^{(2)}(\epsilon )$ имеют одинаковый (разный) знак, если ${\mu }_{\epsilon }^{(1)}(\epsilon )$ и ${\mu }_{\epsilon }^{(2)}(\epsilon )$ имеют разный (одинаковый) знак. Аналогичное утверждение можно вывести из (II.49) и (II.50). Возможные распределения устойчивогти решений схематично показаны на рис. II. 2 (пунктирные линии соответствуют неустойчивым решениям).

Теорема 3. Предположим, что все особые точки решений $F(\mu ,\epsilon )=0$ являются двойными точками. Смена устойчивости таких решений должна происходить в каждой регулярной экстремальной точке и в каждой особой точке (не являющейся экстремальной точкой), и только в таких точках.