Установим вид изолированных решений, разрушающих бифуркацию. Из теоремы о неявной функции, (III.2), и (III.4) следует, что существует функция $\delta=\Delta(\mu, \varepsilon)$, такая что $\Delta(0,0)=0$ и
\[
\tilde{F}(\mu, \varepsilon, \Delta(\mu, \varepsilon))=0 .
\]
Из (III.5) заключаем, что
\[
F_{\mu}+F_{\delta} \Delta_{\mu}=0
\]
и
\[
F_{\varepsilon}+F_{\delta} \Delta_{\varepsilon}=0 .
\]
Поскольку в двойной точке $F_{\mu}=F_{\mathrm{e}}=0$ и $F_{\delta}
eq 0$, то
\[
\Delta_{\mu}=\Delta_{\varepsilon}=0 \text {. }
\]
Уравнения (II.8) показывают, что в трехмерном пространстве с координатами $(\mu, \varepsilon, \delta)$ поверхность $\delta=\Delta(\mu, \varepsilon)$ в точке $(0,0,0)$ имеет касательную плоскость $\delta=0$. Покажем, что эта точка-седловая. Для этого достаточно доказать, что наряду с (III.8) справедливо
\[
\Delta_{\mu \varepsilon}^{2}-\Delta_{\mu \mu} \Delta_{\varepsilon \varepsilon}>0 .
\]
Неравенство (III.9) следует из выражений для трех вторых частных производных от (III.5):
\[
\begin{aligned}
F_{\mu \mu}+F_{\delta} \Delta_{\mu \mu} & =0, \\
F_{\varepsilon \varepsilon}+F_{\delta} \Delta_{\varepsilon \varepsilon} & =0, \\
F_{\mu \varepsilon}+F_{\delta} \Delta_{\mu \varepsilon} & =0,
\end{aligned}
\]
и неравенства $D>0$, которое выполняется в двойной точіге (III.2)4.
Поскольку $\Delta(\mu, \varepsilon)$ обладает такой же степенью гладкости, что и $\tilde{F}(\mu, \varepsilon, \delta)$, то $\Delta(\mu, \varepsilon)$ можно представить в виде разложения
\[
\begin{aligned}
\delta=\Delta(\mu, \varepsilon)=a \varepsilon^{2}+2 b \varepsilon \mu+c \mu^{2}+d \varepsilon^{3}+e \varepsilon^{2} \mu & +f \varepsilon \mu^{2}+g \mu^{8}+ \\
& \left.+o\left((|\mu|+|\varepsilon|)^{3}\right)^{1}\right),
\end{aligned}
\]
1) $о\left((|\mu|+|\varepsilon|)^{3}\right)$ стремится к нулю бысгрее, чем $(|\mu|+|\varepsilon|)^{3}$ при $\mu \longrightarrow 0$ и $\varepsilon \rightarrow 0$.
где
\[
\begin{array}{l}
a=-\frac{F_{\varepsilon \varepsilon}}{2 F_{\delta}}, \quad b=-\frac{F_{\varepsilon \mu}}{2 F_{\delta}}, \quad c=-\frac{F_{\mu \mu}}{2 F_{\delta}}, \\
d=-\frac{\left[F_{\varepsilon \varepsilon \varepsilon}-3 F_{\varepsilon \varepsilon} F_{\varepsilon \delta} / F_{\delta}\right]}{3 ! F_{0}}, \\
e=-\frac{\left[F_{\mu \varepsilon \varepsilon}-\left(2 F_{\varepsilon \delta} F_{\varepsilon \mu}+F_{\delta \mu} F_{\varepsilon \varepsilon}\right) / F_{\delta}\right]}{2 F_{\delta}}, \\
f=-\frac{\left[F_{\mu \mu \varepsilon}-\left(2 F_{\mu \varepsilon} F_{\mu \delta}+F_{\mu \mu} F_{\varepsilon \delta}\right) / F_{\delta}\right]}{2 F_{\delta}}, \\
g=-\frac{\left[F_{\mu \mu \mu}-3 F_{\mu \mu} F_{\mu \delta} / F_{\delta}\right]}{3 ! F_{\delta}} .
\end{array}
\]
Наша задача теперь состоит в решении уравнения (III.11) с коэффициентами (III.12) относительно $\mu(\varepsilon, \delta)$ (или $\varepsilon(\mu, \delta)$ ) при фикси-
Рис. II.2. Седловая поверхность $\delta=\Delta(\mu, \varepsilon)$.
рованном значении $\delta$. Эти кривые определяются в результате пересечения поверхности $\delta=\Delta(\mu, \varepsilon)$ с плоскостями $\delta=$ const (см. pис. III.2).
