Положим
$$y=y_0+2\tilde{y}$$

и определим
$$\epsilon h_i(\lambda ,\epsilon ,\tilde{y})=g_i(\lambda ,\epsilon ,y_0+\epsilon \tilde{y})=0,$$

где
$$\begin{array}{l}{h}_1(\lambda ,\epsilon ,\tilde{y})=h_0\tilde{y}+\lambda (a^{\prime }+b^{\prime }{y}_0)+{\alpha }_1+2{\beta }_1{y}_0+{\gamma }_1{y}_0^2+O(\epsilon )=0,\\ h_2(\lambda ,\epsilon ,\tilde{y})=d_0\tilde{y}+\lambda (c^{\prime }+d^{\prime }{y}_0)+{\alpha }_2+2{\beta }_2{y}_0+{\gamma }_2{y}_0+O(\epsilon )=0.\end{array}$$

Находим, что
$$\begin{array}{rl}{h}_1({\lambda }_0,0,{\tilde{y}}_0)=& b_0{\tilde{y}}_0+{\lambda }_0(a_0^{\prime }+b_0^{\prime }{y}_0)+\\ & +{\alpha }_{10}+2{\beta }_{10}{y}_0+{\gamma }_{10}{y}_{01}=0,\\ h_2({\lambda }_0,0,{\tilde{y}}_0)=& d_0{\tilde{y}}_0+{\lambda }_0(c_0^{\prime }+d_0^{\prime }{y}_0)+\\ & +{\alpha }_{2u}+2{\beta }_{20}{y}_0+{\gamma }_{20}{y}_0^2=0.\end{array}$$

Вспоминая, что $y_0=-a_0/b_0=-c_0/d_0$, можно проверить, что уравнения (V.11) определяют единственные значения ${\tilde{y}}_0$ и ${\lambda }_0$ через коэффициенты, вычисляемые при $\mu =0$, если только отличен от нуля определитель из коэффициентов при ${\tilde{y}}_0$ и ${\lambda }_0$. Этот определитель совпадает с определителем матрцщ Якоби
$$\left[\begin{array}{ll}\frac{\partial h_1}{\partial \lambda }& \frac{\partial h_1}{\partial \tilde{y}}\\ \frac{\partial h_2}{\partial \lambda }& \frac{\partial h_2}{\partial \tilde{y}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}{a}_0^{\prime }+b_0^{\prime }{y}_0& b_0\\ c_0^{\prime }+d_0^{\prime }{y}_0& d_0\end{array}\right],$$

вычисленном при $\epsilon =0$, и можно показать, что
$$d_0(a_0^{\prime }+b_0^{\prime }{y}_0)-b_0(c_0^{\prime }+d_0^{\prime }{y}_0)={\xi }_1^{\prime }(0){\xi }_2(0)<0.$$

Если условие (V.12) выполняется, то из теоремы о неявной функции следует, что (V.10) можно разрешить относительно $\lambda (\epsilon )$ и $\tilde{y}(\epsilon )$. Затем, возвращаясь к (V.8), получим бифуркационные решения в форме (V.2).
Для доказательства (V.12) заметим, что из (V.7) следует
$$\begin{array}{l}{d}_0(a_0^{\prime }+b_0^{\prime }{y}_0)-b_0(c_0^{\prime }+d_0^{\prime }{y}_0)=\\ =d_0{a}_0^{\prime }-c_0{b}_0^{\prime }-b_0{c}_0^{\prime }+a_0{d}_0^{\prime }=\\ =(ad-bc{)}_0^{\prime }.\end{array}$$

Так как
$$\det \mathbf{A}=ad-bc={\xi }_1{\xi }_2,$$

то отсюда следует, что
$$(ad-bc{)}_0^{\prime }={\xi }_1(0){\xi }_2^{\prime }(0)+{\xi }_1^{\prime }(0){\xi }_2(0)={\xi }_1^{\prime }(0){\xi }_2(0),$$

и (V.12) доказано.
Другой простой метод построения этого же бифуркационного решения приведен в § VI.2.