Положим
\[
y=y_{0}+2 \tilde{y}
\]

и определим
\[
\varepsilon h_{i}(\lambda, \varepsilon, \tilde{y})=g_{i}\left(\lambda, \varepsilon, y_{0}+\varepsilon \tilde{y}\right)=0,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
h_{1}(\lambda, \varepsilon, \tilde{y})=h_{0} \tilde{y}+\lambda\left(a^{\prime}+b^{\prime} y_{0}\right)+\alpha_{1}+2 \beta_{1} y_{0}+\gamma_{1} y_{0}^{2}+O(\varepsilon)=0, \\
h_{2}(\lambda, \varepsilon, \tilde{y})=d_{0} \tilde{y}+\lambda\left(c^{\prime}+d^{\prime} y_{0}\right)+\alpha_{2}+2 \beta_{2} y_{0}+\gamma_{2} y_{0}+O(\varepsilon)=0 .
\end{array}
\]

Находим, что
\[
\begin{aligned}
h_{1}\left(\lambda_{0}, 0, \tilde{y}_{0}\right)= & b_{0} \tilde{y}_{0}+\lambda_{0}\left(a_{0}^{\prime}+b_{0}^{\prime} y_{0}\right)+ \\
& +\alpha_{10}+2 \beta_{10} y_{0}+\gamma_{10} y_{01}=0, \\
h_{2}\left(\lambda_{0}, 0, \tilde{y}_{0}\right)= & d_{0} \tilde{y}_{0}+\lambda_{0}\left(c_{0}^{\prime}+d_{0}^{\prime} y_{0}\right)+ \\
& +\alpha_{2 u}+2 \beta_{20} y_{0}+\gamma_{20} y_{0}^{2}=0 .
\end{aligned}
\]

Вспоминая, что $y_{0}=-a_{0} / b_{0}=-c_{0} / d_{0}$, можно проверить, что уравнения (V.11) определяют единственные значения $\tilde{y}_{0}$ и $\lambda_{0}$ через коэффициенты, вычисляемые при $\mu=0$, если только отличен от нуля определитель из коэффициентов при $\tilde{y}_{0}$ и $\lambda_{0}$. Этот определитель совпадает с определителем матрцщ Якоби
\[
\left[\begin{array}{ll}
\frac{\partial h_{1}}{\partial \lambda} & \frac{\partial h_{1}}{\partial \tilde{y}} \\
\frac{\partial h_{2}}{\partial \lambda} & \frac{\partial h_{2}}{\partial \tilde{y}}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
a_{0}^{\prime}+b_{0}^{\prime} y_{0} & b_{0} \\
c_{0}^{\prime}+d_{0}^{\prime} y_{0} & d_{0}
\end{array}\right],
\]

вычисленном при $\varepsilon=0$, и можно показать, что
\[
d_{0}\left(a_{0}^{\prime}+b_{0}^{\prime} y_{0}\right)-b_{0}\left(c_{0}^{\prime}+d_{0}^{\prime} y_{0}\right)=\xi_{1}^{\prime}(0) \xi_{2}(0)<0 .
\]

Если условие (V.12) выполняется, то из теоремы о неявной функции следует, что (V.10) можно разрешить относительно $\lambda(\varepsilon)$ и $\tilde{y}(\varepsilon)$. Затем, возвращаясь к (V.8), получим бифуркационные решения в форме (V.2).
Для доказательства (V.12) заметим, что из (V.7) следует
\[
\begin{array}{l}
d_{0}\left(a_{0}^{\prime}+b_{0}^{\prime} y_{0}\right)-b_{0}\left(c_{0}^{\prime}+d_{0}^{\prime} y_{0}\right)= \\
\quad=d_{0} a_{0}^{\prime}-c_{0} b_{0}^{\prime}-b_{0} c_{0}^{\prime}+a_{0} d_{0}^{\prime}= \\
\quad=(a d-b c)_{0}^{\prime} .
\end{array}
\]

Так как
\[
\operatorname{det} \mathbf{A}=a d-b c=\xi_{1} \xi_{2},
\]

то отсюда следует, что
\[
(a d-b c)_{0}^{\prime}=\xi_{1}(0) \xi_{2}^{\prime}(0)+\xi_{1}^{\prime}(0) \xi_{2}(0)=\xi_{1}^{\prime}(0) \xi_{2}(0),
\]

и (V.12) доказано.
Другой простой метод построения этого же бифуркационного решения приведен в § VI.2.