Выберем ${\gamma }_{pq}$ и ${\mathrm{\Gamma }}_{pq}$ таким образом, чтобы в (Х.23) и (X.24) обратить в нуль возможно большее число коэффициентов при $y^p{\overline{y}}^q$. В приводимой ниже лемме 1 утверждается, что всегда возможно упростить уравнение для $\mathbf{Y}$, обратив в нуль коэффициенты уравнения (X.24) за счет соответствующего выбора ${\mathrm{\Gamma }}_{pq}$. В лемме 2 указаны некоторые условия, при выполнении которых можно упростить уравнение для $y$, выбирая_ ${\gamma }_{pq}$ таким образом, чтобы обратить в нуль коэффициенты при $y^p{y}^q$. Однако всегда выбрать такие хорошие ${\gamma }_{pq}$ нельзя. Очень важно, чтобы читатель понял, что следует делать, если нельзя выбрать ${\gamma }_{pq}$ так, чтобы обратить в нуль выражения в скобках, стоящие множителями перед $y^p\overline{y}q$.

Предположим, что нам известны ${\gamma }_{pq}(t,\mu ),{\mathrm{\Gamma }}_{pq}(t,\mu ),p+q⩽k-1$, удовлетворяющие соотношениям $⟨{\mathrm{\Gamma }}_{pq},{\xi }^{\ast }⟩=⟨{\mathrm{\Gamma }}_{pq},{\overline{\zeta }}^{\ast }⟩=0$. Тогда $b_{pq}$ и ${\mathbf{B}}_{pq},p+q=k$, известны, и поскольку уравнение (X.18) линейно относительно $\mathrm{\Gamma },{\mathbf{B}}_1,{\hat{\mathbf{B}}}_{pq}$, а ${\mathrm{\Gamma }}_{pq}$ ортогональны ${\zeta }^{\ast }$ и ${\overline{\zeta }}^{\ast }$, то $⟨{\mathbf{B}}_{pq},{\zeta }^{\ast }⟩=$ $=⟨{\mathbf{B}}_{pq},{\overline{\zeta }}^{\ast }⟩=0$. Лемма 1 , приводимая ниже, утверждает, что всегда можно выбрать ${\mathrm{\Gamma }}_{pq}$, ортогональные ${\zeta }^{\ast }$ и ${\overrightarrow{\zeta }}^{\ast }$ и такие, что
$${\dot{\mathbf{\Gamma }}}_{pq}-{\mathrm{f}}_u(t,\mu \mid {\mathbf{\Gamma }}_{pq})+(p\sigma +q\overline{\sigma }){\mathbf{\Gamma }}_{pq}+{\mathbf{B}}_{pq}=0.$$

В этом случае (X.24) принимает вид
$$\dot{\mathbf{Y}}={\mathbf{f}}_u(t,\mu \mid \mathbf{Y})+{\tilde{\mathbf{B}}}_1(t,\mu ,y,\overline{y},\mathbf{Y}).$$

Лемма 1. Задача состоит в нахождении T-периодических векторов Г, удовлетворяющих уравнению
$$\dot{\mathbf{\Gamma }}-{\mathbf{f}}_u(t,\mu \mid \mathbf{\Gamma })+(p\sigma +q\overline{\sigma })\mathbf{\Gamma }+\mathbf{B}=0,$$

где $\mathbf{B}(t)=\mathbf{B}(t+T)u⟨\mathbf{B}(t),{\zeta }^{\ast }(t)⟩=⟨\mathbf{B}(t),{\overline{\zeta }}^{\ast }(t)⟩=0.9$ ма задача допускает решения (класса $C^{k+1}$, если $\mathbf{B}$ принадлежит классу $C^k$ ), и существует одно и только одно решение, такое что
$$⟨\mathbf{\Gamma }(t),{\zeta }^{\ast }(t)⟩=⟨\mathbf{\Gamma }(t),{\overline{\zeta }}^{\ast }(t)⟩=0.$$

Докаяательство. Для доказательства леммы 1 сначала отметим, что собственные яначения оператора
$$-\frac{d}{dt}+{\mathrm{f}}_a(t,\mu \mid \cdot )-(p\sigma +q\overline{\sigma }),$$

лежащие вблизи чисто мнимой оси, суть
$$\sigma (1-p)-q\overline{\sigma }+\frac{2k\pi i}{T},-p\sigma +(1-q)\overline{\sigma }+\frac{2k^{\prime }\pi i}{T},$$

где $k,k^{\prime }\in Z$. Остальные собственные значения оператора (X.26), лежат «далеко» от чисто мнимой оси. Нас интересует, когда нуль является собственным значением оператора (X.26)з при $\mu =0$, т. е. интересуют значения параметров, для которых
$$i{\omega }_0(q+1-p)+\frac{2k\pi i}{T}=0\text{ и.ли }i{\omega }_0(q-1-p)+\frac{2k^{\prime }\pi i}{T}=0.$$

Случай 1. $r={\omega }_{0}T/2\pi$ иррационально. При этом $r(q+1-p)+k=$ $=0$ тогда и только тогда, когда $p=q+1$ и $k=0$, а $r(q-1-p)+$ $+k^{\prime }=0$ тогда и только тогда, когда $q=1+p$ и $k^{\prime }=0$. Отсюда следует, что если $peqq+1$ и $qeq1+p$, то нуль не является собственным значением оператора (Х.26) в в критической точке, и оператор (X.26), необратим при $\mu =0$ и для $\mu$, близких к 0 .

Если $p=1+q$, то собственным вектором, который соответствует собственному значению, близкому к нулю, является вектор $\zeta (t)\in$ $\in {\mathbb{P}}_T$, удовлетворяющий уравнению $-\dot{\zeta }+{\mathbf{f}}_u(t,\mu \mid \xi )=\sigma \xi$, а также уравнению
$$\begin{array}{rl}[-\frac{d}{dt}+{\mathrm{f}}_u(t,\mu \mid )-p\sigma -q\overline{\sigma }]\zeta & =[\sigma (1-p)-q\overline{\sigma }]\zeta =\\ & =-q(\sigma +\overline{\sigma })\zeta =-2q\xi (\mu )\zeta ,\end{array}$$

где $\xi (0)=0$. Точно так же находим, что если $q=1+p$, то
$$[-\frac{d}{dt}+{\mathrm{f}}_u(t,\mu \mid )-p\sigma -q\overline{\sigma }]\overline{\zeta }=[-p\sigma +(1-q)\overline{\sigma }]\overline{\zeta }=-2p\xi (\mu )\overline{\xi }.$$

Отсюда следует, что когда $r$ иррационально, то оператор (X.26)s обратим для $\mathbf{\Gamma }\in {\mathbb{P}}_T$, если
$${[\mathbf{B},{\zeta }^{\ast }]}_T={[\mathbf{B},{\overline{\zeta }}^{\ast }]}_T=\theta ,$$

где $[\cdot ,\cdot {]}_r$-скалярное произведение, определенное формулой (IX.16). Требуемая ортогональность автоматически выполняется для векторов $\mathbf{B}(t)$, для которых $⟨\mathbf{B}(t),{\zeta }^{\ast }(t)⟩=⟨\mathbf{B}(t),{\overline{\zeta }}^{\ast }(t)⟩=0$ тождественно по $t$.

Случай 2. $r={\omega }_{0}T/2\pi =m/n$ есть положительная рациональная дробь, меньшая единицы, и $n⩾3$. Тогда нуль является собственным значением оператора (X.26) в критической точке для $k,k^{\prime }$, удовлетворяющих условию
$$\frac{m}{n}(q+1-p)+k=0\text{ или }\frac{m}{n}(q-1-p)+k^{\prime }=0.$$

Так как $m$ и $n$ не имеют общего делителя, то эти уравнения удовлетворяются только в том случае, если существуют $l,l^{\prime }\in Z$, такие что $p=q+1+\ln$ или $q=p+1+l^{\prime }n$. Если не существует таких значений $l$, $l^{\prime }$, то оператор (X.26) н неоратим при $\mu =0$ и для $\mu$, близких к нулю.

Предположим теперь, что существует $l$, такое что $p=q+1+\ln$. Тогда $q-p-1-l^{\prime }n=-2-n(l+l^{\prime })$ не может обратиться в нуль, потому что $n⩾3$. Кроме того, в критической точке $(q+1+\ln )\sigma +$ $+q\overline{\sigma }=(1+\ln )i{\omega }_0$, и собственным вектором оператора (X.26) служит ${\zeta }_0{e}^{-2\pi imlt/T}$, где ${\omega }_0=2\pi m/nT$ и
$$[-\frac{d}{dt}+{\mathrm{f}}_u(t,0\mid )-(1+\ln )i{\omega }_0]{\zeta }_0{e}^{-2\pi imlt/T}=0.$$

Легко проверить, что
$$\begin{array}{rl}[-\frac{d}{dt}+f_u(t,& \mu \mid )-(p\sigma +q\overline{\sigma })]\zeta e^{-2\pi imlt/T}=\\ & =[-(p-1)\sigma -q\overline{\sigma }+\frac{2\pi ilm}{T}]\zeta e^{-2\pi imlt/T}=\\ & =[-q(\sigma +\overline{\sigma })-\ln \sigma +\frac{2\pi ilm}{T}]\zeta e^{-2\pi imlt/T}=\\ & =[-2\xi (\mu )q+l(\frac{2\pi im}{T}-\sigma n)]\zeta e^{-2\pi imlt/T}\end{array}$$

обращается в нуль при $\mu =0$, и оператор (X.26) обратим при $\mu =0$ и вблизи $\mu =0$, если
$${[\mathbf{B}(t),{\zeta }^{\ast }(t)e^{-2\pi lmlt/T}]}_T={[\mathbf{B}(t),{\overline{\zeta }}^{\ast }(t)e^{2\pi imlt/T}]}_T=0,$$

где ${\zeta }^{\ast }$ — вектор, сопряженный к $\xi$. Эти условия ортогональности ввтоматически выполняются для векторов $\mathbf{B}(t)$, удовлетворяющих условию $⟨\mathbf{B}(t),{\zeta }^{\ast }(t)⟩=⟨\mathbf{B}(t),{\overline{\zeta }}^{\ast }(t)⟩$ тождественно по $t$.

Отметим теперь, что всякое решение $\mathbf{\Gamma }(t)=\mathbf{\Gamma }(t+T)$ уравнения $(\mathrm{X}.26{)}_i$, для которого $⟨\mathbf{B}(t),{\zeta }^{\ast }(t)⟩=⟨\mathbf{B}(t),{\overline{\zeta }}^{\ast }(t)⟩=0$, определяется с точностью до функций, принадлежащих нуль-пространству оператора (X.26) ${)}_3$, и является единственным среди функций $\mathrm{\Gamma }$, удовлетворяющих также условиям
$$⟨\mathrm{\Gamma }(t),{\zeta }^{\ast }(t)⟩=⟨\mathbf{\Gamma }(t),{\overline{\zeta }}^{\ast }(t)⟩=0.$$

В самом деле, если $\mu$ близко к нулю, то
$$\begin{array}{l}-\frac{d}{dt}⟨\mathrm{\Gamma },{\zeta }^{\ast }⟩=[(p-1)\sigma +\overline{\sigma }q]⟨\mathrm{\Gamma },{\zeta }^{\ast }⟩,\\ -\frac{d}{dt}⟨\mathrm{\Gamma },{\overline{\zeta }}^{\ast }⟩=[p\sigma +(q-1)\overline{\sigma }]⟨\mathrm{\Gamma },{\zeta }^{\ast }⟩.\end{array}$$

Единственными периодическими решениями этих уравнений являются постоянные, и эти постоянные обращаются в нуль, если только не обращаются в нуль коэффициенты в правой части. Читатель может проверить, что В в ${}_{pq}$ в (X.24) отличаются от ${\hat{\mathbf{B}}}_{pq}$ В (X.18), членами, линейными относительно ${\mathrm{\Gamma }}_{pq}$, которые обращаются в нуль при проектировании.

Лемма 2. Задача состоит в нахождении T-периодических функций $\gamma$, удовлетворяющих уравнению
$$\dot{\gamma }+[\sigma (p-1)+\overline{\sigma }q]\gamma +b=0,$$

вде $b$-заданная $T$-периодическая функция класса $C^k$.
1. Если ( $p-q-1){\omega }_{0}T/2\pi$ не является целым числом (положительным, отрицательным или нулем), то задача имеет единственное решение $\gamma$ класса $C^{k+1}$.
2. Если ( $p-q-1){\omega }_{0}T/\dot{2}\pi =-l_0$ есть целое число (положительное, отрицательное или нуль), то гладкое по $\mu$ решение существует только тогда, когда коэффициент Фурье
$$b_{l_0}=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}b(t)e^{-2\pi i{l}_{0}t/T}dt=0.$$

Кроме того, если потребовать, чтобы $\gamma l_0=0$, то гладкое по $\mu$ решение класса $C^{k+1}$ является единственным.
Доказательство. Положим
$$[\gamma (t,\mu ),b(t,\mu )]=\sum _{l\in \mathbb{Z}}[{\gamma }_l(\mu ),b_l(\mu )]e^{2i\pi lt/T}$$

и найдем, что
$$[\frac{2i\pi l}{T}+(p-1)\sigma +q\overline{\sigma }]{\gamma }_l+b_l=0,p⩾0,q⩾0,p+q⩾2.$$

Если $[(p-1)\sigma +q\overline{\sigma }]T/2i\pi$ не является целым числом, то коэффициент при ${\gamma }_l$ отличен от нуля, и это уравнение можно разрешить относительно $\gamma$. Так как нас интересуют решения для $\mu$, близких к нулю, то уравнение можно решить относительно $\gamma$, если коэффициент при ${\gamma }_l$ не равен нулю при $\mu =0$. Если $(p-q-1){\omega }_{0}T/2\pi =$ $=-l_{0}eq0$ и выполняется условие $b_{l_0}=0$, необходимое для разрешимости уравнения (X.28), то для малых $\mu$ возьмем ${\gamma }_0(\mu )=0$. Мы опускаем проверку регулярности по $tT$-периодических решений $\gamma (t)$ уравнения (X.27), необходимую д.э полноты доказательства.

Применим теперь лемму 2 для упрощения (X.23). Сначала разложим, используя (X.27), коэффициент ${\gamma }_{pq}$ при $y^p{y}^q$, в ряд Фурье и выберем коэффициенты ${\gamma }_{pql}(\mu )$ в критической точке $(\mu =0)$ так, чтобы ${}^2$ )
$${\gamma }_{pql}(0)=\frac{-b_{pql}(0)}{i[(2\pi l/T)+(p-1-q){\omega }_0]}.$$

Тогда основное следствие из леммы 2 приводит к следующей редукции:
$$\begin{array}{rl}{\dot{\gamma }}_{pq}+[p& -1-q]i{\omega }_o{\gamma }_{pq}+b_{pq}=\\ & =\sum _{l\in \mathbb{Z}}\{[\frac{2\pi l}{T}+(p-1-q){\omega }_0]i{\gamma }_{pql}+b_{pql}\}{e}^{2\pi ill/T}=\\ & =\sum _{\mathrm{ES}}{b}_{pql}{e}^{2\pi llt/T},\end{array}$$

где ES означает «исключительное множество», определенное следующим образом:
$\mathrm{ES}=\{l$ такие, что существуют числа $p,q,{\omega }_0$, удовлетво-
ряющие условиям ${\omega }_0=\frac{2\pi r}{T},p⩾0,q⩾0$,
$$p+q⩾2,0<r<1,req\frac{1}{2},l+r(p-q-1)=0\}$$

и, естественно,
$$b_{pql}=\frac{1}{T}{\int }_0^T{b}_{pq}(s,0)e^{-2\pi ils/T}ds.$$

Все возможные типы субгармонической бифуркации, имеющие место, если пара комплексно-сопряженных множителей Флоке пересекает единичную окружность, содержатся в множестве ES. Особые
1) Если ${\omega }_{0}T/2\pi$ иррационально, то гля некоторых ( $p,q,l$ ) существуют малые янаменатели (см. упр. X.5).

случаи $T$-периодической ( $r=0$ ) и $2T$-периодической ( $r=1/2$ ) бифуркации, для которых ${\lambda }_0=1$ и ${\lambda }_0=-1$, исключаются (см. IX.12). Если $l$ принадлежит множеству ES, то нельзя выбрать ${\gamma }_{pql}(0)$ как в (X.29). Поэтому мы просто полагаем ${\gamma }_{pql}(\mu )=0$ и находим, что ${\gamma }_{pq}(\mu ,t)$ удовлетворяет уравнению
$${\dot{\gamma }}_{pq}+[(p-1)\sigma +q\overline{\sigma }]{\gamma }_{pq}+b_{pq}=\sum _{\mathrm{ES}}{b}_{pql}(\mu )e^{2\pi ilt/T},$$

где, конечно,
$$b_{pql}(\mu )=\frac{1}{T}{\int }_0^T{b}_{pq}(s,\mu )e^{-2\pi ils/T}ds.$$

Теперь из лемм 1 и 2 следует, что (X.23) и (X.24) можно привести к виду
$$\begin{array}{c}\dot{y}=\sigma y+\sum _{p+q⩾2}^N{y}^p\overline{y^q}\sum _{\mathrm{ES}}{b}_{pql}(\mu )e^{2\pi ilt/T}+{\tilde{b}}_1(t,\mu ,y,\overline{y},\mathbf{Y}),\\ \dot{\mathbf{Y}}={\mathrm{f}}_z(t,\mu \mid \mathbf{Y})+{\tilde{\mathbf{B}}}_1(t,\mu ,y,\overline{y},\mathbf{Y}).\end{array}$$

Удобно разбить исключительное множество на два подмножества.
I. Основное множество:
$$(p,q,l,r)=(q+1,q,0,r),r=\frac{{\omega }_{0}T}{2\pi }.$$
II. Резонансное множество ( $r=m/n,m<n,l=$ del $km,kn=p-q-1$ ):
$$(p,q,l,\frac{m}{n})=(q+1+nk,q,-km,\frac{m}{n}).$$

Если $r$-иррациональное число, то могут войти только члены, соответствующие основному множеству, и (X.32) можно привести к виду
$$\dot{y}=\sigma y+\sum _{q⩾1}^{2q+1⩽N}{y}^{q+1}{\overline{y}}^q{b}_{q+1,0,0}(\mu )+{\overline{b}}_1(t,\mu ,y,\overline{y},\mathbf{Y}),$$

где $\mathbf{Y}$ удовлетворяет уравнению (X.32)2. Если существует $n⩾1$, такое что ${\lambda }_i^n=1$, то в $\dot{y}$ войдут члены, соответствующие обоим множествам,
$$\begin{array}{l}\dot{y}=\sigma y+\sum _{q⩾1}^{2q+1⩽N}{y}^{q+1}{\overline{y}}^q{b}_{q+1,q,0}(\mu )+\\ +\sum _{k>0}\sum _{q⩾0}^{2q-1}\{y^{q+1+kn}\overline{y^q}{b}_{q+1+kn,q,-km}(\mu )e^{-2\pi ikmt/T}+\\ +y^q\overline{y^{q-1+kn}}{b}_{q,q-1+kn,km}(\mu )e^{2\pi ikmt/T}\}+{\tilde{b}}_1(t,\mu ,y,\overline{y},\mathrm{Y})\text{. }\end{array}$$

Для последующего анализа важно подчеркнуть, что если в (X.34) пренебречь членом ${\tilde{b}}_i$, то это уравнение можно преобразовать к автономному уравнению для $x=e^{-i{\omega }_{0}t}y$, где ${\omega }_0=2\pi r/T,r=m/n$. Для упрощения записи этого автономного уравнения и других используемых ниже уравнений определим
$$\begin{array}{l}{a}_{q,0}(\mu )\stackrel{\text{ def }}{=}{b}_{q+1,q,0}(\mu )=a_q(\mu ),\\ a_{q,k}(\mu )\stackrel{\text{ def }}{=}{b}_{q+1+kn,q,-km}(\mu ),\\ a_{q,-k}(\mu )=b_{q,q-i+kn,km}(\mu ).\end{array}$$

Тогда автономное уравнение для $x=e^{-i{\omega }_{0}t}y$, получаемое из (X.34) при отбрасывании ${\tilde{b}}_1$, имеет вид
$$\begin{array}{l}\dot{x}=\mu [\hat{\xi }(\mu )+\hat{\omega }(\mu )]x+\sum _{q⩾1}^{2q+1⩽N}x|x{|}^{2q}{a}_q+\\ +\sum _{k>0}\sum _{q⩾0}^{2q-1+kn<N}|x{|}^{2q}\{x^{1+kn}{a}_{qk}+{\overline{x}}^{kn-1}{a}_{q,-k}\},\end{array}$$

где
$$\sigma =i{\omega }_0+\mu [\hat{\xi }(\mu )+i\hat{\omega }(\mu )]$$

и $\hat{\xi }(0)>0$, так как мы предположили, что потеря устойчивости нулевого решения является строгой. Многие свойства бифуркации решений уравнения (X.1) можно установить из (X.35) или даже из упрощенного варианта (X.35), имеющего вид
$$\dot{x}=\mu [\hat{\xi }(\mu )+i\hat{\omega }(\mu )]x+|x{|}^{2}x{a}_1+|x{|}^{4}x{a}_2+\dots +{\overline{x}}^{n-1}{a}_{0,-1}+\dots .$$