Выберем $\gamma_{p q}$ и $\Gamma_{p q}$ таким образом, чтобы в (Х.23) и (X.24) обратить в нуль возможно большее число коэффициентов при $y^{p} \bar{y}^{q}$. В приводимой ниже лемме 1 утверждается, что всегда возможно упростить уравнение для $\mathbf{Y}$, обратив в нуль коэффициенты уравнения (X.24) за счет соответствующего выбора $\Gamma_{p q}$. В лемме 2 указаны некоторые условия, при выполнении которых можно упростить уравнение для $y$, выбирая_ $\gamma_{p q}$ таким образом, чтобы обратить в нуль коэффициенты при $y^{p} y^{q}$. Однако всегда выбрать такие хорошие $\gamma_{p q}$ нельзя. Очень важно, чтобы читатель понял, что следует делать, если нельзя выбрать $\gamma_{p q}$ так, чтобы обратить в нуль выражения в скобках, стоящие множителями перед $y^{p} \bar{y} q$.

Предположим, что нам известны $\gamma_{p q}(t, \mu), \Gamma_{p q}(t, \mu), p+q \leqslant k-1$, удовлетворяющие соотношениям $\left\langle\Gamma_{p q}, \xi^{*}\right\rangle=\left\langle\Gamma_{p q}, \bar{\zeta}^{*}\right\rangle=0$. Тогда $b_{p q}$ и $\mathbf{B}_{p q}, p+q=k$, известны, и поскольку уравнение (X.18) линейно относительно $\Gamma, \mathbf{B}_{1}, \hat{\mathbf{B}}_{p q}$, а $\Gamma_{p q}$ ортогональны $\zeta^{*}$ и $\bar{\zeta}^{*}$, то $\left\langle\mathbf{B}_{p q}, \zeta^{*}\right\rangle=$ $=\left\langle\mathbf{B}_{p q}, \bar{\zeta}^{*}\right\rangle=0$. Лемма 1 , приводимая ниже, утверждает, что всегда можно выбрать $\Gamma_{p q}$, ортогональные $\zeta^{*}$ и $\vec{\zeta}^{*}$ и такие, что
\[
\dot{\boldsymbol{\Gamma}}_{p q}-\mathrm{f}_{u}\left(t, \mu \mid \boldsymbol{\Gamma}_{p q}\right)+(p \sigma+q \bar{\sigma}) \boldsymbol{\Gamma}_{p q}+\mathbf{B}_{p q}=0 .
\]

В этом случае (X.24) принимает вид
\[
\dot{\mathbf{Y}}=\mathbf{f}_{u}(t, \mu \mid \mathbf{Y})+\tilde{\mathbf{B}}_{1}(t, \mu, y, \bar{y}, \mathbf{Y}) .
\]

Лемма 1. Задача состоит в нахождении T-периодических векторов Г, удовлетворяющих уравнению
\[
\dot{\mathbf{\Gamma}}-\mathbf{f}_{u}(t, \mu \mid \mathbf{\Gamma})+(p \sigma+q \bar{\sigma}) \mathbf{\Gamma}+\mathbf{B}=0,
\]

где $\mathbf{B}(t)=\mathbf{B}(t+T) \quad u\left\langle\mathbf{B}(t), \zeta^{*}(t)\right\rangle=\left\langle\mathbf{B}(t), \bar{\zeta}^{*}(t)\right\rangle=0 . \quad 9$ ма задача допускает решения (класса $C^{k+1}$, если $\mathbf{B}$ принадлежит классу $C^{k}$ ), и существует одно и только одно решение, такое что
\[
\left\langle\boldsymbol{\Gamma}(t), \zeta^{*}(t)\right\rangle=\left\langle\boldsymbol{\Gamma}(t), \bar{\zeta}^{*}(t)\right\rangle=0 .
\]

Докаяательство. Для доказательства леммы 1 сначала отметим, что собственные яначения оператора
\[
-\frac{d}{d t}+\mathrm{f}_{a}(t, \mu \mid \cdot)-(p \sigma+q \bar{\sigma}),
\]

лежащие вблизи чисто мнимой оси, суть
\[
\sigma(1-p)-q \bar{\sigma}+\frac{2 k \pi i}{T}, \quad-p \sigma+(1-q) \bar{\sigma}+\frac{2 k^{\prime} \pi i}{T},
\]

где $k, k^{\prime} \in Z$. Остальные собственные значения оператора (X.26), лежат «далеко» от чисто мнимой оси. Нас интересует, когда нуль является собственным значением оператора (X.26)з при $\mu=0$, т. е. интересуют значения параметров, для которых
\[
i \omega_{0}(q+1-p)+\frac{2 k \pi i}{T}=0 \text { и.ли } i \omega_{0}(q-1-p)+\frac{2 k^{\prime} \pi i}{T}=0 .
\]

Случай 1. $r=\omega_{0} T / 2 \pi$ иррационально. При этом $r(q+1-p)+k=$ $=0$ тогда и только тогда, когда $p=q+1$ и $k=0$, а $r(q-1-p)+$ $+k^{\prime}=0$ тогда и только тогда, когда $q=1+p$ и $k^{\prime}=0$. Отсюда следует, что если $p
eq q+1$ и $q
eq 1+p$, то нуль не является собственным значением оператора (Х.26) в в критической точке, и оператор (X.26), необратим при $\mu=0$ и для $\mu$, близких к 0 .

Если $p=1+q$, то собственным вектором, который соответствует собственному значению, близкому к нулю, является вектор $\zeta(t) \in$ $\in \mathbb{P}_{T}$, удовлетворяющий уравнению $-\dot{\zeta}+\mathbf{f}_{u}(t, \mu \mid \xi)=\sigma \xi$, а также уравнению
\[
\begin{aligned}
{\left[-\frac{d}{d t}+\mathrm{f}_{u}(t, \mu \mid)-p \sigma-q \bar{\sigma}\right] \zeta } & =[\sigma(1-p)-q \bar{\sigma}] \zeta= \\
& =-q(\sigma+\bar{\sigma}) \zeta=-2 q \xi(\mu) \zeta,
\end{aligned}
\]

где $\xi(0)=0$. Точно так же находим, что если $q=1+p$, то
\[
\left[-\frac{d}{d t}+\mathrm{f}_{u}(t, \mu \mid)-p \sigma-q \bar{\sigma}\right] \bar{\zeta}=[-p \sigma+(1-q) \bar{\sigma}] \bar{\zeta}=-2 p \xi(\mu) \bar{\xi} .
\]

Отсюда следует, что когда $r$ иррационально, то оператор (X.26)s обратим для $\boldsymbol{\Gamma} \in \mathbb{P}_{T}$, если
\[
\left[\mathbf{B}, \zeta^{*}\right]_{T}=\left[\mathbf{B}, \bar{\zeta}^{*}\right]_{T}=\theta,
\]

где $[\cdot, \cdot]_{r}$-скалярное произведение, определенное формулой (IX.16). Требуемая ортогональность автоматически выполняется для векторов $\mathbf{B}(t)$, для которых $\left\langle\mathbf{B}(t), \zeta^{*}(t)\right\rangle=\left\langle\mathbf{B}(t), \bar{\zeta}^{*}(t)\right\rangle=0$ тождественно по $t$.

Случай 2. $r=\omega_{0} T / 2 \pi=m / n$ есть положительная рациональная дробь, меньшая единицы, и $n \geqslant 3$. Тогда нуль является собственным значением оператора (X.26) в критической точке для $k, k^{\prime}$, удовлетворяющих условию
\[
\frac{m}{n}(q+1-p)+k=0 \text { или } \frac{m}{n}(q-1-p)+k^{\prime}=0 .
\]

Так как $m$ и $n$ не имеют общего делителя, то эти уравнения удовлетворяются только в том случае, если существуют $l, l^{\prime} \in Z$, такие что $p=q+1+\ln$ или $q=p+1+l^{\prime} n$. Если не существует таких значений $l$, $l^{\prime}$, то оператор (X.26) н неоратим при $\mu=0$ и для $\mu$, близких к нулю.

Предположим теперь, что существует $l$, такое что $p=q+1+\ln$. Тогда $q-p-1-l^{\prime} n=-2-n\left(l+l^{\prime}\right)$ не может обратиться в нуль, потому что $n \geqslant 3$. Кроме того, в критической точке $(q+1+\ln ) \sigma+$ $+q \bar{\sigma}=(1+\ln ) i \omega_{0}$, и собственным вектором оператора (X.26) служит $\zeta_{0} e^{-2 \pi i m l t / T}$, где $\omega_{0}=2 \pi m / n T$ и
\[
\left[-\frac{d}{d t}+\mathrm{f}_{u}(t, 0 \mid)-(1+\ln ) i \omega_{0}\right] \zeta_{0} e^{-2 \pi i m l t / T}=0 .
\]

Легко проверить, что
\[
\begin{aligned}
{\left[-\frac{d}{d t}+f_{u}(t,\right.} & \mu \mid)-(p \sigma+q \bar{\sigma})] \zeta e^{-2 \pi i m l t / T}= \\
& =\left[-(p-1) \sigma-q \bar{\sigma}+\frac{2 \pi i l m}{T}\right] \zeta e^{-2 \pi i m l t / T}= \\
& =\left[-q(\sigma+\bar{\sigma})-\ln \sigma+\frac{2 \pi i l m}{T}\right] \zeta e^{-2 \pi i m l t / T}= \\
& =\left[-2 \xi(\mu) q+l\left(\frac{2 \pi i m}{T}-\sigma n\right)\right] \zeta e^{-2 \pi i m l t / T}
\end{aligned}
\]

обращается в нуль при $\mu=0$, и оператор (X.26) обратим при $\mu=0$ и вблизи $\mu=0$, если
\[
\left[\mathbf{B}(t), \zeta^{*}(t) e^{-2 \pi l m l t / T}\right]_{T}=\left[\mathbf{B}(t), \bar{\zeta}^{*}(t) e^{2 \pi i m l t / T}\right]_{T}=0,
\]

где $\zeta^{*}$ — вектор, сопряженный к $\xi$. Эти условия ортогональности ввтоматически выполняются для векторов $\mathbf{B}(t)$, удовлетворяющих условию $\left\langle\mathbf{B}(t), \zeta^{*}(t)\right\rangle=\left\langle\mathbf{B}(t), \bar{\zeta}^{*}(t)\right\rangle$ тождественно по $t$.

Отметим теперь, что всякое решение $\boldsymbol{\Gamma}(t)=\boldsymbol{\Gamma}(t+T)$ уравнения $(\mathrm{X} .26)_{i}$, для которого $\left\langle\mathbf{B}(t), \zeta^{*}(t)\right\rangle=\left\langle\mathbf{B}(t), \bar{\zeta}^{*}(t)\right\rangle=0$, определяется с точностью до функций, принадлежащих нуль-пространству оператора (X.26) $)_{3}$, и является единственным среди функций $\Gamma$, удовлетворяющих также условиям
\[
\left\langle\Gamma(t), \zeta^{*}(t)\right\rangle=\left\langle\boldsymbol{\Gamma}(t), \bar{\zeta}^{*}(t)\right\rangle=0 .
\]

В самом деле, если $\mu$ близко к нулю, то
\[
\begin{array}{l}
-\frac{d}{d t}\left\langle\Gamma, \zeta^{*}\right\rangle=[(p-1) \sigma+\bar{\sigma} q]\left\langle\Gamma, \zeta^{*}\right\rangle, \\
-\frac{d}{d t}\left\langle\Gamma, \bar{\zeta}^{*}\right\rangle=[p \sigma+(q-1) \bar{\sigma}]\left\langle\Gamma, \zeta^{*}\right\rangle .
\end{array}
\]

Единственными периодическими решениями этих уравнений являются постоянные, и эти постоянные обращаются в нуль, если только не обращаются в нуль коэффициенты в правой части. Читатель может проверить, что В в $_{p q}$ в (X.24) отличаются от $\hat{\mathbf{B}}_{p q}$ В (X.18), членами, линейными относительно $\Gamma_{p q}$, которые обращаются в нуль при проектировании.

Лемма 2. Задача состоит в нахождении T-периодических функций $\gamma$, удовлетворяющих уравнению
\[
\dot{\gamma}+[\sigma(p-1)+\bar{\sigma} q] \gamma+b=0,
\]

вде $b$-заданная $T$-периодическая функция класса $C^{k}$.
1. Если ( $p-q-1) \omega_{0} T / 2 \pi$ не является целым числом (положительным, отрицательным или нулем), то задача имеет единственное решение $\gamma$ класса $C^{k+1}$.
2. Если ( $p-q-1) \omega_{0} T / \dot{2} \pi=-l_{0}$ есть целое число (положительное, отрицательное или нуль), то гладкое по $\mu$ решение существует только тогда, когда коэффициент Фурье
\[
b_{l_{0}}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} b(t) e^{-2 \pi i l_{0} t / T} d t=0 .
\]

Кроме того, если потребовать, чтобы $\gamma l_{0}=0$, то гладкое по $\mu$ решение класса $C^{k+1}$ является единственным.
Доказательство. Положим
\[
[\gamma(t, \mu), b(t, \mu)]=\sum_{l \in \mathbb{Z}}\left[\gamma_{l}(\mu), b_{l}(\mu)\right] e^{2 i \pi l t / T}
\]

и найдем, что
\[
\left[\frac{2 i \pi l}{T}+(p-1) \sigma+q \bar{\sigma}\right] \gamma_{l}+b_{l}=0, p \geqslant 0, q \geqslant 0, p+q \geqslant 2 .
\]

Если $[(p-1) \sigma+q \bar{\sigma}] T / 2 i \pi$ не является целым числом, то коэффициент при $\gamma_{l}$ отличен от нуля, и это уравнение можно разрешить относительно $\gamma$. Так как нас интересуют решения для $\mu$, близких к нулю, то уравнение можно решить относительно $\gamma$, если коэффициент при $\gamma_{l}$ не равен нулю при $\mu=0$. Если $(p-q-1) \omega_{0} T / 2 \pi=$ $=-l_{0}
eq 0$ и выполняется условие $b_{l_{0}}=0$, необходимое для разрешимости уравнения (X.28), то для малых $\mu$ возьмем $\gamma_{0}(\mu)=0$. Мы опускаем проверку регулярности по $t T$-периодических решений $\gamma(t)$ уравнения (X.27), необходимую д.э полноты доказательства.

Применим теперь лемму 2 для упрощения (X.23). Сначала разложим, используя (X.27), коэффициент $\gamma_{p q}$ при $y^{p} y^{q}$, в ряд Фурье и выберем коэффициенты $\gamma_{p q l}(\mu)$ в критической точке $(\mu=0)$ так, чтобы ${ }^{2}$ )
\[
\gamma_{p q l}(0)=\frac{-b_{p q l}(0)}{i\left[(2 \pi l / T)+(p-1-q) \omega_{0}\right]} .
\]

Тогда основное следствие из леммы 2 приводит к следующей редукции:
\[
\begin{aligned}
\dot{\gamma}_{p q}+[p & -1-q] i \omega_{o} \gamma_{p q}+b_{p q}= \\
& =\sum_{l \in \mathbb{Z}}\left\{\left[\frac{2 \pi l}{T}+(p-1-q) \omega_{0}\right] i \gamma_{p q l}+b_{p q l}\right\} e^{2 \pi i l l / T}= \\
& =\sum_{\mathrm{ES}} b_{p q l} e^{2 \pi l l t / T},
\end{aligned}
\]

где ES означает «исключительное множество», определенное следующим образом:
$\mathrm{ES}=\left\{l\right.$ такие, что существуют числа $p, q, \omega_{0}$, удовлетво-
ряющие условиям $\omega_{0}=\frac{2 \pi r}{T}, p \geqslant 0, q \geqslant 0$,
\[
\left.p+q \geqslant 2,0<r<1, r
eq \frac{1}{2}, l+r(p-q-1)=0\right\}
\]

и, естественно,
\[
b_{p q l}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} b_{p q}(s, 0) e^{-2 \pi i l s / T} d s .
\]

Все возможные типы субгармонической бифуркации, имеющие место, если пара комплексно-сопряженных множителей Флоке пересекает единичную окружность, содержатся в множестве ES. Особые
1) Если $\omega_{0} T / 2 \pi$ иррационально, то гля некоторых ( $p, q, l$ ) существуют малые янаменатели (см. упр. X.5).

случаи $T$-периодической ( $r=0$ ) и $2 T$-периодической ( $r=1 / 2$ ) бифуркации, для которых $\lambda_{0}=1$ и $\lambda_{0}=-1$, исключаются (см. IX.12). Если $l$ принадлежит множеству ES, то нельзя выбрать $\gamma_{p q l}(0)$ как в (X.29). Поэтому мы просто полагаем $\gamma_{p q l}(\mu)=0$ и находим, что $\gamma_{p q}(\mu, t)$ удовлетворяет уравнению
\[
\dot{\gamma}_{p q}+[(p-1) \sigma+q \bar{\sigma}] \gamma_{p q}+b_{p q}=\sum_{\mathrm{ES}} b_{p q l}(\mu) e^{2 \pi i l t / T},
\]

где, конечно,
\[
b_{p q l}(\mu)=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} b_{p q}(s, \mu) e^{-2 \pi i l s / T} d s .
\]

Теперь из лемм 1 и 2 следует, что (X.23) и (X.24) можно привести к виду
\[
\begin{array}{c}
\dot{y}=\sigma y+\sum_{p+q \geqslant 2}^{N} y^{p} \overline{y^{q}} \sum_{\mathrm{ES}} b_{p q l}(\mu) e^{2 \pi i l t / T}+\tilde{b}_{1}(t, \mu, y, \bar{y}, \mathbf{Y}), \\
\dot{\mathbf{Y}}=\mathrm{f}_{z}(t, \mu \mid \mathbf{Y})+\tilde{\mathbf{B}}_{1}(t, \mu, y, \bar{y}, \mathbf{Y}) .
\end{array}
\]

Удобно разбить исключительное множество на два подмножества.
I. Основное множество:
\[
(p, q, l, r)=(q+1, q, 0, r), \quad r=\frac{\omega_{0} T}{2 \pi} .
\]
II. Резонансное множество ( $r=m / n, m<n, l=$ del $k m, k n=p-q-1$ ):
\[
\left(p, q, l, \frac{m}{n}\right)=\left(q+1+n k, q,-k m, \frac{m}{n}\right) .
\]

Если $r$-иррациональное число, то могут войти только члены, соответствующие основному множеству, и (X.32) можно привести к виду
\[
\dot{y}=\sigma y+\sum_{q \geqslant 1}^{2 q+1 \leqslant N} y^{q+1} \bar{y}^{q} b_{q+1,0,0}(\mu)+\bar{b}_{1}(t, \mu, y, \bar{y}, \mathbf{Y}),
\]

где $\mathbf{Y}$ удовлетворяет уравнению (X.32)2. Если существует $n \geqslant 1$, такое что $\lambda_{i}^{n}=1$, то в $\dot{y}$ войдут члены, соответствующие обоим множествам,
\[
\begin{array}{l}
\dot{y}=\sigma y+\sum_{q \geqslant 1}^{2 q+1 \leqslant N} y^{q+1} \bar{y}^{q} b_{q+1, q, 0}(\mu)+ \\
+\sum_{k>0} \sum_{q \geqslant 0}^{2 q-1}\left\{y^{q+1+k n} \overline{y^{q}} b_{q+1+k n, q,-k m}(\mu) e^{-2 \pi i k m t / T}+\right. \\
\left.+y^{q} \overline{y^{q-1+k n}} b_{q, q-1+k n, k m}(\mu) e^{2 \pi i k m t / T}\right\}+\tilde{b}_{1}(t, \mu, y, \bar{y}, \mathrm{Y}) \text {. } \\
\end{array}
\]

Для последующего анализа важно подчеркнуть, что если в (X.34) пренебречь членом $\tilde{b}_{i}$, то это уравнение можно преобразовать к автономному уравнению для $x=e^{-i \omega_{0} t} y$, где $\omega_{0}=2 \pi r / T, r=m / n$. Для упрощения записи этого автономного уравнения и других используемых ниже уравнений определим
\[
\begin{array}{l}
a_{q, 0}(\mu) \stackrel{\text { def }}{=} b_{q+1, q, 0}(\mu)=a_{q}(\mu), \\
a_{q, k}(\mu) \stackrel{\text { def }}{=} b_{q+1+k n, q,-k m}(\mu), \\
a_{q,-k}(\mu)=b_{q, q-i+k n, k m}(\mu) .
\end{array}
\]

Тогда автономное уравнение для $x=e^{-i \omega_{0} t} y$, получаемое из (X.34) при отбрасывании $\tilde{b}_{1}$, имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=\mu[\hat{\xi}(\mu)+\hat{\omega}(\mu)] x+\sum_{q \geqslant 1}^{2 q+1 \leqslant N} x|x|^{2 q} a_{q}+ \\
+\sum_{k>0} \sum_{q \geqslant 0}^{2 q-1+k n<N}|x|^{2 q}\left\{x^{1+k n} a_{q k}+\bar{x}^{k n-1} a_{q,-k}\right\},
\end{array}
\]

где
\[
\sigma=i \omega_{0}+\mu[\hat{\xi}(\mu)+i \hat{\omega}(\mu)]
\]

и $\hat{\xi}(0)>0$, так как мы предположили, что потеря устойчивости нулевого решения является строгой. Многие свойства бифуркации решений уравнения (X.1) можно установить из (X.35) или даже из упрощенного варианта (X.35), имеющего вид
\[
\dot{x}=\mu[\hat{\xi}(\mu)+i \hat{\omega}(\mu)] x+|x|^{2} x a_{1}+|x|^{4} x a_{2}+\ldots+\bar{x}^{n-1} a_{0,-1}+\ldots .
\]