Уравнения вида $\dot{b}(s)-i b(s)=f(s)=f(s+2 \pi)$ разрешимы для $b(s)=b(s+2 \pi)$ тогда и только тогда, когда ряд Фурье для $f(s)$ не содержит члена, пропорционального $e^{i s}$. Поэтому, поскольку $\xi_{\mu}
eq 0$, получаем $\mu_{1}=\omega_{1}=0$ в (VII.7) и
\[
\dot{b}_{2}-i b_{2}=\frac{\left(\alpha_{0} e^{2 i s}+2 \beta_{0}+\gamma_{0} e^{-2 i s}\right)}{\omega_{0}} .
\]

Отсюда находим
\[
b_{2}(s)=\frac{\left(\alpha_{0} e^{2 i s}-2 \beta_{0}-\left(\gamma_{0} e^{-2 i s} / 3\right)\right)}{i \omega_{0}} .
\]

В третьем приближении, пренебрегая кубическими относительно $b$ членами ${ }^{\mathbf{1}}$ ), имеем задачу
\[
\dot{b}_{3}-i b_{3}=\frac{\left\{-\omega_{2} \dot{b}_{1}+\mu_{2} \sigma_{\mu} b_{1}+2 \alpha_{0} b_{1} b_{2}+2 \beta_{0}\left(b_{1} \bar{b}_{2}+\bar{b}_{1} b_{2}\right)+2 \gamma_{0} \bar{b}_{1} \bar{b}_{2}\right\}}{\omega_{0}} .
\]

Для решения задачи (VII.8) мы голжны исключить в правой части (VII.8) члены, пропорциональные $e^{i s}$. Для этого необходимо, чтобы $\left[b_{3}\right]=0$, т. е. чтобы
\[
i \omega_{2}-\mu_{2} \sigma_{\mu}=-\frac{\left\{4 \alpha_{0} \beta_{0}-\left.4 ! \beta_{0}\right|^{2}-2 \alpha_{0} \beta_{0}-\left(2\left|\gamma_{0}\right|^{2} / 3\right)\right\}}{i \omega_{0}} .
\]

Вещественная часть (VII.9) разрешима относительно $\mu_{2}$, если $\xi_{\mu}
eq 0$. Мнимая часть (VII.9) всегда разрешима относительно $\omega_{2}$.

Вычисляя члены более высокого порядка, легко убедиться, что все возмущенные задачи разрешимы при выполнении условий (VII.4) и что $\omega(\varepsilon)=\omega(-\varepsilon), \mu(\varepsilon)=\mu(-\varepsilon)$ суть четные функции. Отсюда следует, что периодические решения, ответвляющиеся от стационарных решений, ответвляются либо с одной, либо с другой стороны от критической точки, и никогда с обеих сторон; периодические бифуркационные решения не могут образовывать двусторонней или транскритической бифуркации (см. рис. II. 3 и VII.2).