$nT$-периодические решения с $n>2$ относятся к случаю (2), указанному в § IX.10. Условие нормировки (IX.47) требует, чтобы
$$e^{i{\phi }_0}={[{\mathbf{u}}_1,{\mathbf{Z}}^{\ast }]}_{nT}.$$

Поэтому в качестве ${\mathbf{u}}_1$, удовлетворяющей уравнению $\sqrt{}{\mathbf{u}}_1=0$, можно взять
$$\begin{array}{l}{\mathbf{u}}_1=e^{i{\phi }_0\mathbf{Z}}+e^{-i{\phi }_0\bar{\mathbf{Z}}}=\\ =\exp i({\phi }_0+\left(\frac{2\pi mt}{nT}\right))\zeta (t)+\exp (-i({\phi }_0+\left(\frac{2\pi mt}{nT}\right)))\overline{\zeta }(t).\end{array}$$

Использование альтернативы Фредгольма для (IX.50) с учетом (IX.41) показывает, что уравнение (IX.50) разрешимо, если
$$2{\mu }_1{[{\mathbf{f}}_{u\mu }(t\mid {\mathbf{u}}_1),{\mathbf{Z}}^{\ast }]}_{nT}+{[{\mathrm{f}}_{au}\left(t\left|{\mathbf{u}}_1\right|{\mathbf{u}}_1\right),Z^{\ast }]}_{nT}=0.$$

Для упрощения вычисления интегралов, подобных тем, которые входят в (IX.65), напомним, что
$$\begin{array}{rl}{[\mathbf{a}(t),{\mathbf{Z}}^{\ast }]}_{nT}& =\frac{1}{nT}{\int }_0^{nT}⟨\mathbf{a}(t),{\mathbf{Z}}^{\ast }(t)⟩dt=\\ & =\frac{1}{nT}{\int }_0^{nT}{e}^{-2\pi imt/nT}⟨\mathbf{a}(t),{\zeta }^{\ast }(t)⟩dt=\\ & ={[e^{-2\pi imt/nT}\mathbf{a}(t),{\zeta }^{\ast }(t)]}_{nT},\end{array}$$

потому что $⟨\overline{\mathbf{a},\mathbf{b}}⟩=⟨\mathbf{b},\mathbf{a}⟩$. Тогда отсюда следует, что
$${[{\mathbf{f}}_{u\mu }(t\mid \bar{\mathbf{Z}}),{\mathbf{Z}}^{\ast }]}_{nT}={[e^{-4\pi imt/nT}{\mathbf{f}}_{u\mu }(t\mid \xi ),{\zeta }^{\ast }]}_{nT}=0,$$

если $m/neq\frac{0}{1},\frac{1}{2}$ и $m/n<1$. Поэтому условие (IX.65) с использованием (IX.64) принимает вид
$$\begin{array}{l}2{\mu }_1{\sigma }_{\mu }(0)e^{i{\phi }_0}+e^{2i{\phi }_0}{[e^{2\pi imt/nT}{\mathbf{f}}_{tut}(t|\zeta |\zeta ),{\zeta }^{\ast }]}_{nT}+\\ +2{[e^{-2\pi imt/n{}^T{\mathbf{f}}_{un}}(t|\overline{\zeta }|\xi ),{\zeta }^{\ast }]}_{nT}+\\ +e^{-2i{\phi }_0}{[e^{-6\pi imt/nT}{\mathbf{f}}_{uu}(t|\overline{\zeta }|\overline{\zeta }),{\zeta }^{\ast }]}_{nT}=0.\end{array}$$

Так как $\zeta ,{\zeta }^{\ast }\in {\mathbb{P}}_T$, а $0<m/n<1,n>2$, то три скалярных произведения, входящие в (IX.66), равны нулю за исключением случая, когда $n=3$. Поэтому, если $n>3$, то ${\mu }_1=0$.

Если ${\mu }_1=0$, то ${\phi }_0$ не определяется уравнением (IX.66). В этих случаях можно определить ${\mu }_2$ и ${\phi }_0$ из условия разрешимости уравнения (I X.51):
$$3{\mu }_2{\sigma }_{\mu }(0)e^{i{\phi }_0}+3{[{\mathbf{f}}_{un}\left(t\left|{\mathbf{u}}_1\right|{\mathbf{u}}_2\right),{\mathbf{Z}}^{\ast }]}_{nT}+{[{\mathbf{f}}_{u{u}_u}(t\left|{\mathbf{u}}_1\right|{\mathbf{u}}_1\mid {\mathbf{u}}_1),{\mathbf{Z}}^{\ast }]}_{nT}=0,$$

где ${\mathbf{u}}_2$ определяется из уравнения (IX.50).