$n T$-периодические решения с $n>2$ относятся к случаю (2), указанному в § IX.10. Условие нормировки (IX.47) требует, чтобы
\[
e^{i \varphi_{0}}=\left[\mathbf{u}_{1}, \mathbf{Z}^{*}\right]_{n T} .
\]
Поэтому в качестве $\mathbf{u}_{1}$, удовлетворяющей уравнению $\sqrt{ } \mathbf{u}_{1}=0$, можно взять
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{u}_{1}=e^{i \varphi_{0} \mathbf{Z}}+e^{-i \varphi_{0} \overline{\mathbf{Z}}}= \\
=\exp i\left(\varphi_{0}+\left(\frac{2 \pi m t}{n T}\right)\right) \zeta(t)+\exp \left(-i\left(\varphi_{0}+\left(\frac{2 \pi m t}{n T}\right)\right)\right) \bar{\zeta}(t) .
\end{array}
\]
Использование альтернативы Фредгольма для (IX.50) с учетом (IX.41) показывает, что уравнение (IX.50) разрешимо, если
\[
2 \mu_{1}\left[\mathbf{f}_{u \mu}\left(t \mid \mathbf{u}_{1}\right), \mathbf{Z}^{*}\right]_{n T}+\left[\mathrm{f}_{a u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1}\right), Z^{*}\right]_{n T}=0 .
\]
Для упрощения вычисления интегралов, подобных тем, которые входят в (IX.65), напомним, что
\[
\begin{aligned}
{\left[\mathbf{a}(t), \mathbf{Z}^{*}\right]_{n T} } & =\frac{1}{n T} \int_{0}^{n T}\left\langle\mathbf{a}(t), \mathbf{Z}^{*}(t)\right\rangle d t= \\
& =\frac{1}{n T} \int_{0}^{n T} e^{-2 \pi i m t / n T}\left\langle\mathbf{a}(t), \zeta^{*}(t)\right\rangle d t= \\
& =\left[e^{-2 \pi i m t / n T} \mathbf{a}(t), \zeta^{*}(t)\right]_{n T},
\end{aligned}
\]
потому что $\langle\overline{\mathbf{a}, \mathbf{b}}\rangle=\langle\mathbf{b}, \mathbf{a}\rangle$. Тогда отсюда следует, что
\[
\left[\mathbf{f}_{u \mu}(t \mid \overline{\mathbf{Z}}), \mathbf{Z}^{*}\right]_{n T}=\left[e^{-4 \pi i m t / n T} \mathbf{f}_{u \mu}(t \mid \xi), \zeta^{*}\right]_{n T}=0,
\]
если $m / n
eq \frac{0}{1}, \frac{1}{2}$ и $m / n<1$. Поэтому условие (IX.65) с использованием (IX.64) принимает вид
\[
\begin{array}{l}
2 \mu_{1} \sigma_{\mu}(0) e^{i \varphi_{0}}+e^{2 i \varphi_{0}}\left[e^{2 \pi i m t / n T} \mathbf{f}_{t u t}(t|\zeta| \zeta), \zeta^{*}\right]_{n T}+ \\
+2\left[e^{-2 \pi i m t / n{ }^{T} \mathbf{f}_{u n}}(t|\bar{\zeta}| \xi), \zeta^{*}\right]_{n T}+ \\
+e^{-2 i \varphi_{0}}\left[e^{-6 \pi i m t / n T} \mathbf{f}_{u u}(t|\bar{\zeta}| \bar{\zeta}), \zeta^{*}\right]_{n T}=0 . \\
\end{array}
\]
Так как $\zeta, \zeta^{*} \in \mathbb{P}_{T}$, а $0<m / n<1, n>2$, то три скалярных произведения, входящие в (IX.66), равны нулю за исключением случая, когда $n=3$. Поэтому, если $n>3$, то $\mu_{1}=0$.
Если $\mu_{1}=0$, то $\varphi_{0}$ не определяется уравнением (IX.66). В этих случаях можно определить $\mu_{2}$ и $\varphi_{0}$ из условия разрешимости уравнения (I X.51):
\[
3 \mu_{2} \sigma_{\mu}(0) e^{i \varphi_{0}}+3\left[\mathbf{f}_{u n}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{2}\right), \mathbf{Z}^{*}\right]_{n T}+\left[\mathbf{f}_{u u_{u}}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1} \mid \mathbf{u}_{1}\right), \mathbf{Z}^{*}\right]_{n T}=0,
\]
где $\mathbf{u}_{2}$ определяется из уравнения (IX.50).
