В гл. IX были установлены условия, при выполнении которых субгармонические решения, $n T$-периодические решения с целыми $n \geqslant 1$, могут ответвляться от нетривиальных $T$-периодических решений. Другими словами, мы искали условия, при которых неавтономные $T$-периодические дифференциальные уравнения допускают субгармонические решения, когда в критической точке экспоненты Флоке принадлежат множеству рациональных точек ( $\omega_{0}=2 \pi m / n T, 0<m / n<1$ ) или, что эквивалентно, когда в критической точке множители Флоке являются корнями $n$-й степени из единицы, $\lambda_{0}^{n}=\left(e^{i \omega_{0} T}\right)^{n}=1$. Мы показали, что если не выполняются некоторые весьма специальные условия (условия слабого резонанса), то такие субгармонические решения могут ответвляться только для $n=1,2,3,4$. (Случай $n=4$ является особым в том смысле, что, вооще говоря, он приводит к двум возможностям в зависимости от значений параметров; см. §IX.15.) Поэтому теперь перед нами стоит задача выяснить, что будет иметь место для значений $\omega_{0}, 0 \leqslant \omega_{0} \leqslant 2 \pi / T$, таких что
\[
\frac{\omega_{0} T}{2 \pi}
eq 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4} .
\]

Будет показано, что если не выполняются весьма исключительные условия, то ответвляющиеся решения лежат на некотором торе и являются асимптотическими для квазипериодических решений вблизи критической точки. Субгармонические решения, которые ответвляются при выполнении исключительных условий, также лежат на устойчивом (суперкритическом) торе. Эти исключительные субгармонические решения ответвляются парами; одно из этих решений устойчиво, другое неустойчиво.