Во всех изученных нами задачах бифуркации из условия строгой потери устойчивости следовало существование двойной точки бифуркации. Условия того же самого типа или условия строгого пересечения будет достаточно, чтобы гарантировать существование субгармонической бифуркации ( $2 \pi / \omega(\mu)$ )-периодических решений.

В настоящем выводе формул, выражающих строгое пересечение, предполагаем, что $\gamma_{0}=i \eta_{0}=i(m / n) \omega_{0}$ является простым собственным значением оператора $J_{0}$. Это предположение типично, если $n
eq 1$; если $n=1$, то $m=0$ и $\gamma_{0}=0$-двойное собственное значение оператора $J_{0}$. Строгое пересечение означает, что собственное значение $\gamma(\mu)=\xi(\mu)+i \eta(\mu)$, вещественная часть которого изменяет знак при $\mu=\mu_{0}$, удовлетворяет неравенству
\[
\xi_{\mu}\left(\mu_{0}\right)=\operatorname{Re} \gamma_{\mu}\left(\mu_{0}\right) \stackrel{\text { def }}{=} \operatorname{Re} \gamma_{1}=\xi_{1}>0 .
\]

Уравнение для $\gamma_{i}$ можно получить в результате дифференцирования (XI.5) по $\mu$ при $\mu=\mu_{0}$ :
\[
\gamma_{1} \boldsymbol{\Gamma}_{0}+\hat{\omega}_{1} \dot{\boldsymbol{\Gamma}}_{0}+\gamma_{0} \boldsymbol{\Gamma}_{1}=J_{0} \boldsymbol{\Gamma}_{1}+y \boldsymbol{\Gamma}_{0}, \boldsymbol{\Gamma}_{1}(s)=\Gamma_{1}(s+2 \pi),(X I .17)_{1}
\]

где
\[
\mathcal{y}(\cdot) \stackrel{\text { def }}{=} \mathbf{F}_{v v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}\left|\hat{\mathbf{U}}_{1}\right| \cdot\right)+\mathbf{F}_{v \mu}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0} \mid \cdot\right) .
\]

Уравнение (XI.17) разрешимо относительно $\Gamma_{1}(s)$, если члены, содержащие $\Gamma_{0}$, ортогональны собственным векторам $\Gamma_{0}^{*}$ задачи
\[
\left(J_{0}^{*}-\gamma_{0}\right) \bar{\Gamma}_{0}^{*}=0, \quad \bar{\Gamma}_{0}^{*}(s)=\bar{\Gamma}_{v}^{*}(s+2 \pi),
\]

где
\[
J_{0}^{*}=\omega_{0} \frac{d}{d s}+\mathbf{F}_{v}^{*}\left(\mu_{0}, \mathrm{U}_{0} \mid \cdot\right) .
\]

Поскольку $\gamma_{0}$ есть простое собственное значение оператора $J_{0}$, то существует один собственный вектор $\Gamma_{0}$, соответствующий $\gamma_{0}$, и один собственный вектор $\bar{\Gamma}_{0}$, соответствующий $\bar{\gamma}_{0}$. Аналогично, $\Gamma_{0}^{*}$ соответствует собственному значению $\bar{\gamma}_{0}$, а $\overline{\Gamma_{0}^{*}}$-собственному значению $\gamma_{0}$, и
\[
\left[\Gamma_{0}, \Gamma_{0}^{*}\right]_{2 \pi}-1=\left[\Gamma_{0}, \vec{\Gamma}_{0}^{*}\right]=0 .
\]

Уравнение (XI.17) разрешимо, если неоднородные члены ортогональны вектору $\Gamma_{j}^{*}$ :
\[
\gamma_{1}+\dot{\omega}_{1}\left[\dot{\Gamma}_{0}, \Gamma_{6}^{*}\right]_{2 \pi}=\left[\mathcal{y} \Gamma_{0}, \Gamma_{0}^{*}\right]_{2 \pi} .
\]

Вспоминая, что $\mathbf{Z}_{1}=e^{i(m / n) s} \boldsymbol{\Gamma}_{0}, \mathbf{Z}_{1}^{*}=e^{i(m / n) s} \boldsymbol{\Gamma}_{0}^{*}$, вычисляем
\[
\begin{aligned}
{\left[\dot{\boldsymbol{\Gamma}}_{0}, \boldsymbol{\Gamma}_{0}^{*}\right]_{2 \pi n} } & =\left[\dot{\boldsymbol{\Gamma}}_{0} e^{i(m / n) s}, \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{2 \pi n}=\left[\left(\dot{\mathbf{Z}}_{1}-\frac{i m}{n} \mathbf{Z}_{1}\right), \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{2 \pi n}= \\
& =\left[\dot{\mathbf{Z}}_{1}, \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{2 \pi n}-\frac{i m}{n}
\end{aligned}
\]

и находим, что
\[
\left(\gamma_{1}-\frac{i m}{n} \hat{\omega}_{1}\right)+\omega_{1}\left[\dot{\mathbf{Z}}_{1}, \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{2 \pi n}=\left[\mathcal{Y} \mathbf{Z}_{1}, \mathbf{Z}_{1}^{*}\right]_{2 \pi n} .
\]

Уравнение (XI.19) применимо, если $n
eq 1$. Если $n=2$, то $m / n=1 / 2$, векторы $\mathbf{Z}_{1}$ и $\mathbf{Z}_{1}^{*}$ вещественные, а
\[
\begin{array}{c}
\eta_{1}=\operatorname{lm} \gamma_{1}=\frac{m}{n} \hat{\omega}_{1}=\frac{\hat{\omega}_{1}}{2} \\
\xi_{1}+\hat{\omega}_{1}\left[\dot{Z}_{1}, Z_{1}^{*}\right]_{4 \pi}=\left[y Z_{1}, Z_{1}^{*}\right]_{4 \pi} .
\end{array}
\]

Можно показать, что $\eta_{l}=\hat{\omega_{l}} / 2$.