Предположим, что для $\mu$ из некоторого интервала $\mathbb{R}^{\mathbf{1}}$ существуют равновесные решения (I.11) и (I.12), имитирующие эволюционные свойства правой части при $\mathbf{U}=0$. Тогда существует стационарное решение $\tilde{\mathbf{U}}(\mu)$ (1.11) и $T$-периодическое решение $\tilde{\mathbf{U}}(t, \mu)=\tilde{\mathbf{U}}(t+T, \mu)$ (I.12).

Рассмотрим произвольное возмущение и решения $\mathbf{U}$. Уравнение, описывающее это возмущение, имеет вид
\[
\frac{d \mathbf{u}}{d t}=\mathbf{F}(\mu, \mathbf{U}+\mathbf{u})-\mathbf{F}(t, \mu, \tilde{\mathbf{U}}) \stackrel{\text { def }}{=} \mathbf{f}(\mu, \mathbf{u})
\]

в автономном случае и
\[
\frac{d \mathbf{u}}{d t}=\mathbf{F}(t, \mu, \tilde{\mathbf{U}}+\mathbf{u})-\mathbf{F}(t, \mu, \tilde{\mathbf{U}}) \stackrel{\text { def }}{=} \mathbf{f}(t, \mu, \mathbf{u}),
\]

где $\mathbf{f}(t, \mu, \mathbf{u})=\mathbf{f}(t+T, \mu, \mathbf{u})$, в неавтономном случае. Функция $\mathbf{u}$, тождественно равная нулю, является решением (I.13) и (I.14).

Задачи (I.13) и (I.14), в которых $\mathbf{u}=0$ является решением, называют задачами, приведенными к локальной форме. Приведение к локальной форме не вызывает большой потери общности. Эта редукция имеет место для таких значений $\mu$, для которых существуют $\tilde{\mathbf{U}}(\mu)$ и $\tilde{\mathbf{U}}(t, \mu)$.

Уравнения (I.13) и (I.14) тождественны, за исключением того обстоятельства, что в $\mathbf{f}(t, \mu, \mathbf{u})$ в (I.14) явно входит $t$. Однако поведение решений этих двух задач очень различно. Это не удивительно. Такое различие обусловлено большим отличием свойств правых частей при $\mathbf{U}=0$, которые описывают внешнее воздействие, оказываемое на динамическую систему.