Сопряженный оператор в $\mathbb{P}_{n T}$ можно определить следующим образом. Пусть а и b-любые два гладких вектора, принадлежащих удовлетворяющий уравнению
\[
[\sqrt{\mathbf{a}}, \mathbf{b}]_{n T}=\left[\mathbf{a}, \int^{*} \mathbf{b}\right)_{n T},
\]
где скалярное произведение $[\cdot, \cdot]_{n t}$ определено формулой (IX.16) и
\[
\int^{*}=\frac{d}{d t}+\mathbf{f}_{u}^{*}(t \mid \cdot) .
\]
Естественно, что если нуль-собственное значение оператора $\mathfrak{J}$, то он также является и собственным значением оператора $\mathfrak{J}^{*}$, таким, что
\[
J^{*} \mathbf{Z}^{*}=0, \quad \mathbf{Z}^{*}(t)=\exp \left(\frac{2 \pi i m t}{n T}\right) \zeta^{*}(t) .
\]
Если $n=1$ или $n=2$, то существует только один сопряженный собственный вектор $\mathbf{Z}^{*}$; если $n>2$, то $\mathbf{Z}^{*}$ и $\overline{\mathbf{Z}}^{*}$ являются независимыми собственными векторами оператора $\sqrt{ } *$.
Соотношения биортогональности
\[
\left[\mathbf{Z}, \mathbf{Z}^{*}\right]_{n T}=1,\left[\mathbf{Z}, \overline{\mathbf{Z}}^{*}\right]_{n T}=0
\]
получаются из непосредственного вычисления с использованием (IX.18). Кроме того, соотношение
\[
\left[\mathbf{f}_{u \mu}(t \mid \zeta), \zeta^{*}\right]_{T}=\left[\mathrm{f}_{u \mu}(t \mid \mathbf{Z}), \mathbf{Z}^{*}\right]_{n T}
\]
является тождеством. Поэтому, используя (IX.30), можно записать (IX.25) в виде
\[
\begin{array}{c}
\sigma_{\mu}(0)=\left[\mathbf{f}_{u \mu}(t \mid \mathbf{Z}), \mathbf{Z}^{*}\right]_{n T}, \\
{\left[\mathbf{f}_{u \mu}(t \mid \overline{\mathbf{Z}}), \mathbf{Z}^{*}\right]_{n T}=\left[e^{-4 \pi i m t / n T} \mathbf{f}_{u \mu}(t \mid \bar{\zeta}), \xi^{*}\right]_{n T}=0,}
\end{array}
\]
если $n \geqslant 3$.
Теорема (альтернатива Фредгольма для §). Предположим, что выполнены условия (I) $u$ (II) § IX. 6 о простоте собственного значения $і \omega_{0}$ оператора $J_{0}$, и рассмотрим уравнение
\[
\sqrt{\mathbf{u}}=\mathrm{g} \in \mathbb{P}_{n T} .
\]
Тогда решение $\mathbf{u} \in \mathbb{P}_{n T}$, единственным образом предтавимое в виде линейной комбинации собственных векторов $\mathbf{Z}$ и $\overline{\mathbf{Z}}$ оператора $\mathfrak{\text { d, }}$ существует тогда и только тогда, когда
\[
\left[\mathrm{g}, \mathbf{Z}^{*}\right]_{n T}=\left[\mathrm{g}, \overline{\mathbf{Z}}^{*}\right]_{n T}=0 .
\]
Вообще говоря, соотношений ортогональности (IX.40) существует столько, сколько имеется сопряженных собственных векторов; в настоящем случае, как следствие условий (I) и (II), имеем только два соотношения (IX.40), если $n>2$, и только одно (Z* $\overline{\mathbf{Z}}^{*}$ ), если $n=1$ или $n=2$.
Если g-вещественный вектор, то для разрешимости достаточно одного условия ортогональности
\[
\left.\overline{\left[\mathrm{g}, \overline{\mathbf{Z}}^{*}\right.}\right]_{n T}=\left[\mathrm{g}, \mathbf{Z}^{*}\right]_{n T}=0 .
\]
Полезно отметить, что мы получаем единственное решение, если требуем, чтобы и было ортогонально векторам, принадлежащим нуль-пространству оператора J*; это означает, что $\left[\mathbf{u}, \mathbf{Z}^{*}\right]_{n T}=$ $=\left[\mathbf{u}, \overline{\mathbf{Z}}^{*}\right]_{n T}=0$.
