Переходим к вычислению производных от $\mathbf{u}(t, \varepsilon) \in \mathbb{P}_{n T}$ и $\mu(\varepsilon)$ по $\varepsilon$ при $\varepsilon=0$. Если правая часть уравнения является аналитической функцией по и и $\mu$, то эти производные равны коэффициентам разложения решения в ряды Тейлора:
\[
\left[\begin{array}{l}
\mathbf{u}(t, \varepsilon) \\
\mu(\varepsilon)
\end{array}\right]=\sum_{p=1}^{\infty} \frac{\varepsilon^{p}}{p !}\left[\begin{array}{l}
\mathbf{u}_{p}(t) \\
\mu_{p}
\end{array}\right] .
\]

Эти коэффициенты удовлетворяют уравнениям, которые получаются в результате дифференцирования (IX.1) и (IX.2) и использования упрощенных обозначений (IX.21) или в результате подстановки (IX.49) в (IX.1) и (IX.2) и приравнивания в левой и правой частях получаемого уравнения членов при одинаковых степенях $\varepsilon$ :
\[
\begin{array}{c}
0=\sqrt{ } \mathbf{u}_{1}, \\
0=\sqrt{ } \mathbf{u}_{2}+2 \mu_{1} \mathbf{f}_{u \mu}\left(t \mid \mathbf{u}_{1}\right)+\mathbf{f}_{u t}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1}\right), \\
0=\sqrt{ } \mathbf{u}_{3}+3 \mu_{1} \mathbf{f}_{u u \mu}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1}\right)+3 \mu_{1}^{2} \mathbf{f}_{u \mu \mu}\left(t \mid \mathbf{u}_{1}\right)+ \\
+3 \mu_{1} \mathbf{f}_{u \mu}\left(t \mid \mathbf{u}_{2}\right)+3 \mathbf{f}_{u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{2}\right)+ \\
+3 \mu_{2} \mathbf{f}_{u \mu}\left(t \mid \mathbf{u}_{1}\right)+\mathbf{f}_{u t u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1} \mid \mathbf{u}_{1}\right),
\end{array}
\]

а для $p>3$
\[
\begin{aligned}
0 & =\sqrt{ } \mathbf{u}_{p}+p \mu_{p-1} \mathbf{f}_{u \mu}\left(t \mid \mathbf{u}_{1}\right)+p\left\{\mu_{1} \mathbf{f}_{u \mu}\left(t \mid \mathbf{u}_{p-1}\right)+\mathbf{f}_{u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{\mathbf{i}}\right| \mathbf{u}_{p-1}\right)\right\}+ \\
& +\frac{p(p-1)}{2}\left\{\mu_{2} \mathbf{f}_{u \mu}\left(t \mid \mathbf{u}_{p-2}\right)+\mathbf{f}_{u u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1} \mid \mathbf{u}_{p-2}\right)+\right. \\
& +\mu_{1}^{2} \mathbf{f}_{u \mu \mu}\left(t \mid \mathbf{u}_{p-2}\right)+2 \mu_{1} \mathbf{f}_{u u \mu}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{p-2}\right)+\mathbf{f}_{u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{2}\right| \mathbf{u}_{p-2}\right)+ \\
& +\mu_{p-2} \mathbf{f}_{u \mu}\left(t \mid \mathbf{u}_{2}\right)+\mu_{p-2} \mathbf{f}_{u u \mu}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1}\right)+ \\
& \left.+2 \mu_{1} \mu_{p-2} \mathbf{f}_{u \mu \mu}\left(t \mid \mathbf{u}_{1}\right)\right\}+\mathrm{g}_{p},
\end{aligned}
\]

где $\mathrm{g}_{p}$ зависит от членов более низкого порядка, т. е. $\mathbf{g}_{p}\left(\mu_{m}, \mathbf{u}_{l}\right)$, $l<p-2, m<p-2$. Естественно, что $\mathbf{u}_{p}(t)$ есть $n T$-периодическая вектор-функция.

Полезно также отметить, что разложение (IX.48) можно записать в виде
\[
\mathbf{u}_{p}=p\left[A_{p-1} \mathbf{Z}+\bar{A}_{p-1} \overline{\mathbf{Z}}\right]+p(p-1) \mathbf{w}_{p-2},
\]

где
\[
A(\varepsilon) \stackrel{\text { def }}{=} e^{i \varphi(\varepsilon)}=\sum_{p=0}^{\infty} \frac{A_{p}}{p !} \varepsilon^{p},
\]
a
\[
A_{p}=\left.\frac{d^{p}}{d \varepsilon^{p}} e^{i \varphi(\varepsilon)}\right|_{\varepsilon=0}=i \varphi_{p} e^{i \varphi_{0}}+b_{p} e^{i \varphi_{o}},
\]

где $b_{p}$ зависит от производных $\varphi_{l}=d^{l} \varphi /\left.d \varepsilon^{l}\right|_{\varepsilon=0}$ более низкого порядка $l<p$.

Для локального исследования устойчивости субгармонических решений вблизи $\varepsilon=0$ удобно разложить спектральную задачу (IX.6) по степеням \&. Находим разложенне правой части уравнения (IX.4), зависящей от (IX.49), и заключаем, что
\[
\begin{aligned}
\gamma \mathbf{y} & +\frac{d \mathbf{y}}{d t}=\mathbf{f}_{u}(t \mid \mathbf{y})+\varepsilon\left\{\mu_{1} \mathbf{f}_{u \mu}(t \mid \mathbf{y})+\mathbf{f}_{a u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{y}\right)\right\}+ \\
& +\frac{1}{2} \varepsilon^{2}\left\{\mathbf{f}_{u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{2}\right| \mathbf{y}\right)+2 \mu_{1} \mathbf{f}_{u u \mu}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{y}\right)+\mu_{2} \mathfrak{f}_{u \mu}(t \mid \mathbf{y})+\right. \\
& \left.+\mathbf{f}_{u u u}\left(t\left|\mathbf{u}_{1}\right| \mathbf{u}_{1} \mid \mathbf{y}\right)+\mu_{1}^{2} \mathbf{f}_{u \mu \mu}(t \mid \mathbf{y})\right\}+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\end{aligned}
\]

где $\mathbf{y} \in \mathbb{P}_{n T}$.