В этом дополнении мы применим методы проекции, изложенные в настоящей главе, к специальным задачам, которые приводят к интегро-дифференциальным уравнениям и к уравнениям с частными производными. Эти примеры можно рассматривать в качестве упражнений для студентов. Их цель-обучить интересующихся читателей, например, тому, как поставить их специальные задачи в рамки нашей общей теории.

Запишем эволюционную задачу, приведенную к локальной форме, в виде
\[
\frac{\mathrm{d} \mathbf{u}}{d t}=\mathbf{f}(\mu, \mathbf{u})=\mathbf{f}_{u}(\mu \mid \mathbf{u})+\frac{1}{2} \mathbf{f}_{u u}(\mu|\mathbf{u}| \mathbf{u})+\frac{1}{3 !} \mathbf{f}_{u u_{u}}(\mu|\mathbf{u}| \mathbf{u} \mid \mathbf{u})+\ldots .
\]

В некоторых задачах, исследуемых в настоящем дополнении, этот ряд для $\mathbf{f}$ обрывается и производные от $\mathbf{f}$ выше первого порядка не зависят от $\mu$ :
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \mathbf{f}_{u u}(\mu|\mathbf{u}| \mathbf{u}) & =\mathbf{B}(\mathbf{u}, \mathbf{u}), \\
\frac{1}{3 !} \mathbf{f}_{u a u}(\mu|\mathbf{u}| \mathbf{u} \mid \mathbf{u}) & =\mathbf{C}(\mathbf{u}, \mathbf{u}, \mathbf{u}) .
\end{aligned}
\]

Читатель обратит внимание на то, что некоторые из задач, рассматриваемых в качестве примеров и упражнений, излагаются в терминах гильбертовых пространств, как в общей теории. Аппарат гильбертова пространства удобен для строгого доказательства и изложения принципов бифуркации в терминах, аналогичных применяемым в $\mathbb{R}^{n}$. Будет очевидно, что для вычисления бифуркации гильбертово пространство не требуется. То, что действительно требуется для формального вычисления бифуркации, так это альтернатива Фредгольма. Во всех случаях эта альтернатива указывает путь, гарантирующий разрешимость уравнений, к которым приводит построение бифуркационного решения, и определяет проекции наименьшей размерности, которые фигурируют в этом построении.

Пример VI.1. (Интегро-дифференциальное уравнение.) ${ }^{1}$ ) Рассмотрим задачу об устойчивости и бифуркации решения $l=0$ следующего интегро-дифференциального уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial U(t, x)}{\partial t}+(1-\mu) U(t, x)-\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi}\{\sin x \sin y+b \sin 2 x \sin 2 y\} \times \\
\times\left\{U(t, y)+U^{s}(t, y)\right\} d y=0,
\end{array}
\]

где $U$-вещественная функция, определенная для $t \geqslant 0,0 \leqslant x \leqslant \pi$, непрерывная и один раз непрерыено дифференцируемая по $t$. Параметр $b$ фиксирован и удовлетворяет условиям $0<b<1$; $\mu$-бифуркационный параметр.
$U(t, x)$ – непрерывная функция от $x$ на интервале $0 \leqslant x \leqslant \pi$ для каждого фиксированного $t \geqslant 0$. Мы проводим различие между функцией $U(t, \cdot)$ и значением функции $U(t, x)$ при некотором $x$. Поэтому определим
\[
u(t) \stackrel{\text { det }}{=}[u(t)](\cdot) \stackrel{\text { def }}{=} U(t, \cdot),
\]

где $U(t, \cdot) \in C[0, \pi]$ принадлежит пространству непрерывных функций от $x \in[0, \pi]$. В этих обозначениях $t$ играет роль параметра и значение функции для $x$ есть $[u(t)](x)=U(t, x)$. Тогда можно (VI.120) представить в виде
\[
\frac{d u}{d t}=f_{a}(\mu \mid u)+C(u, u, u), u(t) \in C[0, \pi],
\]

где $u(t) \in C[0, \pi]$ означает, что $[u(t)](x)$ – непрерывная функция на $[0, \pi]$
\[
\begin{array}{l}
{\left[f_{a}(\mu \mid u(t))\right](x)=-(1-\mu) U(t, x)+} \\
+\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi}[\sin x \sin y+b \sin 2 x \sin 2 y] \times U(t, y) d y
\end{array}
\]
4) Подробное изложение см. в моног рафии Пимбли, указанной в литературе к гл. $\mathbf{1 .}$

и
\[
\left[C(u(t), u(t), u(t)](x)=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi}[\sin x \sin y+b \sin 2 x \sin 2 y] U^{3}(t, y) d y .\right.
\]

Мы хотим вычислить стационарные решения (VI.121) и исследовать их устойчивость. Сначала отметим, что $u=0$-решение (VI.121). Для того чтобы исследовать устойчивость решения $u=0$, рассмотрим спектральную задачу
\[
\sigma v=f_{v}(\mu \mid v) .
\]

Говорят, что значения $\sigma(\mu)$, для которых существуют решения $v
eq 0$, принадлежат спектру оператора $f_{a}(\mu \mid \cdot)$. Точнее, спектр можно определить как множество специальных значений $\sigma$, для которых задача
\[
\sigma v-f_{v}(\mu \mid v)=g
\]

не имеет единственного решения (см. § VI. 8 о преобразовании Лапласа для более полного объяснения). В данном случае мы имеем
\[
\sigma V(x)+(1-\mu) V(x)-\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi}(\sin x \sin y+b \sin 2 x \sin 2 y) V(y) d y=F(x) .
\]

Следовательно, $F(\cdot)$ в (VI.124) представляет собой то же самое, что и $g$ в (VI.123).
Чтобы решить (VI.124), представим $F$ и $V$ в виде
\[
\begin{array}{l}
F(x)=F_{1} \sin x+F_{2} \sin 2 x+F_{3}(x), \\
V(x)=V_{1} \sin x+V_{2} \sin 2 x+V_{3}(x),
\end{array}
\]

где
\[
\int_{0}^{\pi} V_{3}(x) \sin x d x=\int_{0}^{\pi} V_{3}(x) \sin 2 x d x=0 .
\]

Функция $F_{3}(x)$ удовлетворяет условиям, получаемым из (VI.126) при замене $V_{3}(x)$ на $F_{3}(x)$. Комбинируя (VI.124) и (VI.125), вычисляем
\[
\begin{aligned}
(\sigma+1-\mu) V_{3}(x) & =F_{3}(x), \\
(\sigma-\mu) V_{1} & =F_{1}, \\
(\sigma+1-\mu-b) V_{2} & =F_{2} .
\end{aligned}
\]

Очевидно, что спектр $\mathrm{f}_{a}(\mu \mid \cdot)$ целиком состоит из собственных значений
\[
\sigma_{0}(\mu)=\mu, \sigma_{1}(\mu)=\mu+b-1, \sigma_{2}(\mu)=\mu-1 .
\]

Можно получить (VI.128) непосредственно из решения уравнения (VI.122), которое для рассматриваемой задачи имеет вид (VI.124) с $F(x)=0$.

Поскольку $0<b<1$, то наибольшим из значений (VI.128) является $\sigma_{0}(\mu)$. Отсюда следует, что решение $U=0$ уравнения (VI.120) устойчиво, если $\mu<0$, и неустойчиво, если $\mu>0$. Более того, имеет место альтернатива Фредгольма. Рассмотрим задачу
\[
f_{u}(0 \mid v)=g .
\]

Мы знаем, что $\sigma_{0}(0)=0$-собственное значение $f_{n}(0 \mid \cdot)$ и разложение (VI.128) приводится к виду
\[
\begin{array}{c}
-V_{3}(x)=F_{3}(x), \\
0=F_{1}, \quad(b-1) V_{2}=F_{2} .
\end{array}
\]

Поэтому если $b
eq 1$, то условие совместимости для разрешимости (VI.129) есть $F_{1}=0$; это приводит к условию
\[
\int_{0}^{\pi} F(x) \sin x d x=0
\]

Если $b=1$, то $\sigma_{0}(0)=\sigma_{1}(0)=0$-двойное собственное значение $f_{a}(0 \mid \cdot)$, и, в дополнение к (VI.130), необходимо, чтобы
\[
\int_{0}^{\pi} F(x) \sin 2 x d x=0 .
\]

Несмотря на то что задача (VI.120) поставлена не в контексте гильбертовых пространств, которые были использованы при изложении общей теории этой главы, альтернатива Фредгольма здесь работает хорошо, и мы можем вычислить бифуркационные стационарные решения с помощью разложения по степеням амплитуды $\varepsilon$ :
\[
\begin{array}{c}
U(x, \varepsilon)=\varepsilon U_{1}(x)+\varepsilon^{2} U_{2}(x)+\varepsilon^{3} U_{3}(x)+O\left(\varepsilon^{4}\right), \\
\mu=\varepsilon \mu_{1}+\varepsilon^{2} \mu_{2}+O\left(\varepsilon^{3}\right),
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
U_{1}(x)=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi}\{\sin x \sin y+b \sin 2 x \sin 2 y\} U_{1}(y) d y \\
-\mu_{1} U_{1}(x)+U_{2}(x)=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi}\{\sin x \sin y+b \sin 2 x \sin 2 y\} U_{2}(y) d y \\
-\mu_{2} U_{1}(x)-\mu_{1} U_{2}(x)+U_{3}(x)= \\
=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi}\{\sin x \sin y+b \sin 2 x \sin 2 y\}\left(U_{3}(y)+U_{1}^{3}(y)\right) d y .
\end{array}
\]

Находим, что
\[
\begin{array}{c}
U(x, \varepsilon)=\varepsilon \sin x+O\left(\varepsilon^{3}\right), \\
\mu=-\frac{3}{4} \varepsilon^{2}+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\end{array}
\]

Бифуркационное решение является односторонним и субкритическим; следовательно, оно неустойчиво.

Бифуркационная задача, ассоциированная с (VI.120), имеет специфические особенности, которые дают возможность точного вычисления всех бифуркационных ветвей. Сначала заметим, что для всех стационарных решений (VI.120) имеет место $U(x)=0$ для $x=0$ и $x=\pi$. Поэтому мы можем разложить $U(x)$ в ряд Фурье по синусам и найдем, что все коэффициенты Фурье, за исключением первых двух, равны нулю. Поэтому
\[
U(x)=u_{1} \sin x+u_{2} \sin 2 x,
\]

и (VI.120) приводит к соотношениям
\[
\begin{array}{c}
\mu u_{1}+\frac{3}{4} u_{1}^{3}+\frac{3}{2} u_{1} u_{2}^{2}=0, \\
(\mu+b-1) u_{2}+\frac{3}{2} b u_{1}^{2} u_{2}+\frac{3}{4} b u_{2}^{3}=0 .
\end{array}
\]

Решения (VI.132) суть:
\[
\begin{array}{c}
u_{1}=u_{2}=0 \text { (нулевое решение), } \\
u_{1}= \pm \frac{2}{\sqrt{3}} V=\mu, \quad u_{2}=0 \text { (решение (VI.131)), } \\
u_{1}=0, \quad u_{2}= \pm(2 / \sqrt{3}) V=(\mu+b-1) / b, \\
u_{1}^{2}=\frac{4}{9}\left[\frac{2}{b}(1-\mu)+\mu-2\right], \quad u_{2}^{2}=\frac{4}{9}\left[\frac{\mu-1}{b}+1-2 \mu\right] .
\end{array}
\]

Упражнение
VI.1. Покажите, что вторичное бифуркационное решение ответвляется от (VI.133) п $_{1}$ при $\mu=(b-1) /(2 b-1)$, если $b>1 / 2$.

Пример VI. 2 (Бифуркация решений уравнений с частными производными). Рассмотрим следующее уравнение с частными производными:
\[
\frac{\partial U}{\partial t}-\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}}+\frac{1}{4}(\mu-1) U-\mu x \frac{\partial U}{\partial x}+U^{2}-4 U \frac{\partial U}{\partial x}+4 U\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)^{2}=0,
\]

где $U$-вещественная функция, определенная для $t \geqslant 0,0 \leqslant x \leqslant \pi$, и удовлетворяющая граничным условиям
\[
U(t, 0)=\frac{\partial U}{\partial x}(t, \pi)=0 .
\]

В этом примере возьмем $H=L^{2}(0, \pi)$ – пространство функций, интегрируемых с квадратом на $(0, \pi)$, которое является гильбертовым пространством со скалярным произведением
\[
\langle\mathbf{u}(t), \mathbf{v}(t)\rangle=\int_{0}^{\pi} U(t, x) \bar{V}(t, x) d x,
\]

где $\mathbf{u}(t)=U(t, \cdot)$-вектор с разными компонентами $\mathbf{u}(t)(x)$ для каждого $x$. Далее мы будем опускать переменную $t$.
Уравнения (VI.134) имеют в $H$ следующий вид:
\[
\frac{d \mathbf{u}}{d t}=\mathbf{f}_{u}(\mu \mid \mathbf{u})+\mathbf{B}(\mathbf{u}, \mathbf{u})+\mathbf{C}(\mathbf{u}, \mathbf{u}, \mathbf{u}),
\]

где операторы $\mathbf{f}_{u}(\mu \mid \cdot)$, B и $\mathbf{C}$ определены для $\mathbf{u}=U(\cdot)$ в подпространстве $H$, состоящем из $U(\cdot)$, удовлетворяющих граничным условиям $U(0)=\partial U(\pi) / \partial x=0$ и таких, что $U, \partial U / \partial x$ и $\partial^{2} U / \partial x^{2}$ квадратично интегрируемы на $(0, \pi)$; например, $\langle\partial U / \partial x, \partial U / \partial x\rangle<\infty$. Для более полного определения операторов, входящих в (VI.135), отметим, что
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{f}_{u}(\mu \mid \cdot)=\mathbf{f}_{a}(0 \mid \cdot)+\mu \mathbf{f}_{u \mu}(0 \mid \cdot), \\
{\left[\mathbf{f}_{u}(0 \mid \mathbf{u})\right](x)=\frac{\partial^{2} U(x)}{\partial x^{2}}+\frac{1}{4} U(x),} \\
{\left[\mathbf{f}_{u \mu}(0 \mid \mathbf{u})\right](x)=-\frac{1}{4} U(x)+x \frac{\partial U(x)}{\partial x},} \\
{[B(\mathbf{u}, \mathbf{v})](x)=-U(x) V(x)+2 U(x) \frac{\partial V(x)}{\partial x}+2 V(x) \frac{\partial U(x)}{\partial x},} \\
{[C(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w})](x)=-\frac{4}{3}\left\{U \frac{\partial V}{\partial x} \frac{\partial W}{\partial x}+W \frac{\partial U}{\partial x} \frac{\partial V}{\partial x}+V \frac{\partial W}{\partial x} \frac{\partial U}{\partial x}\right\} .}
\end{array}
\]

Для исследования устойчивости нулевого решения (VI.134) сначала заметим, что спектр $\mathrm{f}_{a}(\mu \mid \cdot)$ состоит только из собственных значений $\sigma$, удовлетворяющих краевой задаче
\[
\begin{array}{c}
\sigma U=\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}}+\frac{1}{4} U+\mu\left(-\frac{1}{4} U+x \frac{\partial U}{\partial x}\right), \\
U(0)=\frac{c}{\partial x}(\pi)=0
\end{array}
\]

для дважды непрерывно дифференцируемых функций $U$, не равных тождественно нулю. Аналитическое вычисление собственных значений задачи (VI.136) очень трудно, за исключением случая, когда $\mu=0$; собственные значения оператора $\mathbf{A}_{0}$ (отвечающего (VI.136) при $\mu=0$ ) суть
\[
\boldsymbol{\sigma}(0)=\frac{1}{4}-\frac{(2 k+1)^{2}}{4}, \text { где } k \in \mathbb{N},
\]

a ассоциированные собственные векторы пропорциональны $\sin ((2 k+1) / 2) x$. Нуль является собственным значением $\mathbf{f}_{u}(0 \mid \cdot)$ для $k=0$; другие собственные значения отрицательные.

Критическое собственное значение оператора $f_{a}(\mu / \cdot)$ для значений $\mu$, близких к нулю, можно получить на основе метода возмущений. Находим, что
\[
\begin{aligned}
\sigma(\mu) & =\xi^{\prime}\left(0 ! \mu+O\left(\mu^{2}\right),\right. \\
\xi^{\prime}(0) & =\left\langle\mathbf{f}_{u \mu}(0 \mid \xi), \zeta^{*}\right\rangle,
\end{aligned}
\]

где $\zeta(x)$ и $\zeta^{*}(x)$ пропорциональны, потому что $\mathbf{f}_{u}(0 \mid \cdot)=\mathrm{f}_{u}^{*}(0 \mid \cdot)=$ $=\left[\mathrm{f}_{a}(0 \mid \cdot)\right]^{*}$. Тогда, поскольку
\[
\zeta(x)=\sin \frac{x}{2}, \quad \zeta^{*}(x)=\frac{2}{\pi} \sin \frac{x}{2},
\]

имеем
\[
\left\langle\xi, \zeta^{*}\right\rangle=1, \quad \xi^{\prime}(0)=\frac{1}{4}>0 .
\]

Следовательно, нулевое решение устойчиво, если $\mu<0$, и неустойчиво, если $\mu>0$.

Непосредственно следуя методам, использованным в § VI. 2 для построения стационарных бифуркационных решений в виде рядов по степеням амплитуды, положим
\[
\left[\begin{array}{l}
\mathrm{u}(\varepsilon) \\
\mu(\varepsilon)
\end{array}\right]=\sum_{n \geqslant 1} \frac{\varepsilon^{n}}{n !}\left[\begin{array}{l}
\mathrm{u}_{n} \\
\mu_{n}
\end{array}\right] .
\]

Из (VI.137) и (VI.135) после отождествления членов при одинаковых степенях $\varepsilon$ находим уравнения для коэффициентов рядов Тейлора. В настоящем примере эти уравнения можно записать в виде
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{f}_{u}\left(0 \mid \mathbf{u}_{1}\right)=0 \\
\mathbf{f}_{u}\left(0 \mid \mathbf{u}_{2}\right)+2 \mu_{1} \mathbf{f}_{u \mu}\left(0 \mid \mathbf{u}_{1}\right)+2 B\left(\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{1}\right)=0 \\
\mathbf{f}_{u}\left(0 \mid \mathbf{u}_{3}\right)+3 \mu_{1} \mathbf{f}_{u \mu}\left(0 \mid \mathbf{u}_{2}\right)+6 \mathbf{B}\left(\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{8}\right)+ \\
+3 \mu_{2} \mathbf{f}_{u \mu}\left(0 \mid \mathbf{u}_{1}\right)+6 \mathbf{C}\left(\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{1}\right)=0
\end{array}
\]
\[
\mathbf{f}_{u}\left(0 \mid \mathbf{u}_{n}\right)+n \mu_{n-1} \mathbf{f}_{u \mu}\left(0 \mid \mathbf{u}_{1}\right)+\text { члены более низкого порядка }=0 .
\]

Из уравнения (VI.138) следует, что $\mathbf{u}_{1}=\zeta$ (см. (VI.7) и (VI.11)). Поэтому
\[
U_{1}(x)=\sin \frac{x}{2} .
\]

Далее вычисляем условие разрешимости для (VI.138)
\[
\begin{aligned}
\mu_{1}\left\langle\mathbf{f}_{\mu \mu}\left(0 \mid \mathbf{u}_{1}\right), \zeta^{*}\right\rangle & =-\left\langle\mathbf{B}\left(\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{1}\right), \zeta^{*}\right\rangle= \\
& =\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi}\left\{\sin ^{2} \frac{x}{2}-2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}\right\} \sin \frac{x}{2} d x=0 .
\end{aligned}
\]

Поскольку $\left\langle\mathbf{f}_{u \mu}(0 \mid \zeta), \zeta^{*}\right\rangle=\xi^{\prime}(0)=1 / 4$, то $\mu_{1}=0$ и
\[
\mathbf{f}_{u}\left(0 \mid \mathbf{u}_{2}\right)=-2 \mathbf{B}(\zeta, \zeta),\left\langle\mathbf{u}_{2}, \zeta^{*}\right\rangle=0 .
\]

Уравнение (VI.139) эквивалентно уравнениям
\[
\begin{array}{c}
U_{2}^{\prime \prime}+\frac{1}{4} U_{2}=1-\cos x-2 \sin x, \\
U_{2}(0)=U_{2}^{\prime}(\pi), \\
0=\int_{0}^{\pi} U_{2}(x) \sin \frac{x}{2} d x .
\end{array}
\]

Единственное решение (VI.140) имеет вид (упражнение для читателя)
\[
U_{2}(x)=4-\frac{32}{3 \pi} \sin \frac{x}{2}-\frac{16}{3} \cos \frac{x}{2}+\frac{4}{3} \cos x+\frac{8}{3} \sin x .
\]

В функциональных обозначениях запишем (VI.141) в виде
\[
\mathbf{u}_{2}=-2 \mathbf{f}_{u}^{-1}(0 \mid \mathbf{B}(\zeta, \zeta)),
\]

имея в виду, что $\mathbf{u}_{2}$ принадлежит подпространству, ортогональному $\zeta^{*}$.

Для того чтобы решить уравнение (VI.138) , $^{2}$ мы должны сначала вычислить
\[
\begin{array}{c}
6\left\langle\mathbf{B}\left(\zeta, \mathbf{u}_{2}\right), \zeta^{*}\right\rangle=20-\frac{176}{3 \pi}, \\
6\left\langle\mathbf{C}(\xi, \zeta, \zeta), \zeta^{*}\right\rangle=-\frac{3}{2} .
\end{array}
\]

Поэтому условие разрешимости (VI.138)з дает
\[
3 \mu_{2} \xi^{\prime}(0)-\frac{3}{2}+20-\frac{176}{3 \pi}=0,
\]

или $\mu_{2} \approx 0.232$.
Окончательно бифуркационноє решение можно представить в виде
\[
U(x)=\varepsilon \sin \frac{x}{2}+\frac{\varepsilon^{2}}{2} U_{2}(x)+O\left(\varepsilon^{3}\right),
\]

где $U_{2}$ определяется выражением (VI.141) и
\[
\mu \approx 0.11 \delta \varepsilon^{2}+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\]

Бифуркационное решение является суперкритическим; если $|\varepsilon|$ мало, то оно существует только для $\mu>0$ и имеет две ветви: $\varepsilon>0$ и $\varepsilon<0$. Обе ветви устойчивые.

Пример VI.3 (На котором читатель может проверить себя может ли он идти дальше!). Рассмотрим следующую систему уравнений с частными производными:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial U_{1}}{\partial t}-\frac{1}{\lambda} \frac{\partial^{2} U_{1}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial U_{2}}{\partial x}-\lambda U_{1}-U_{1} U_{2}=0, \\
\frac{\partial U_{2}}{\partial t}-\lambda^{2} \frac{\partial^{2} U_{2}}{\partial x^{2}}-\lambda^{4} U_{2}-U_{2}\left(\frac{\partial U_{1}}{\partial x}-\frac{\lambda x}{2} \frac{\partial U_{2}}{\partial x}\right)=0,
\end{array}
\]

где $0 \leqslant x \leqslant 1, t \geqslant 0$, а функции $U_{1}$ и $U_{2}$ удовлетворяют граничным условиям
\[
U_{i}(0, t)=U_{i}(1, t)=0, \quad i=1,2 .
\]
(Для эволюционной задачи должны быть заданы некоторые начальные условия: $U_{i}(x, 0), i=1,2$.)
(1) Пространством $H$ здесь является $\left\{L^{2}(0,1)\right\}^{2}=\left\{\left(u_{1}, u_{2}\right): u_{i} \in\right.$ $\left.\in L^{2}(0,1), i=1,2\right\}$ со скалярным произведением
\[
\left\langle\left(u_{1}, u_{2}\right),\left(v_{1}, v_{2}\right)\right\rangle=\int_{0}^{1}\left(u_{1} \vec{v}_{1}+u_{2} \bar{v}_{2}\right) d x .
\]

Покажите, что собственные значения линеаризованного оператора, появляющегося при исследовании устойчивости нулевого решения (VI.144) $)_{1}$, имеют вид $-\lambda^{2} k^{2} \pi^{2}+\lambda^{4}$ и $\lambda-k^{2} \pi^{2} \lambda \lambda$, где $k=1,2, \ldots$. Поэтому если $0<\lambda<\pi$, то все собственные значения вещественные и отрицательные, в то время как при $\lambda>\pi$ некоторые собственные значения положительные. Следовательно, нулевое решение устойчиво, если $\lambda<\pi$, и неустойчиво, если $\lambda>\pi$. Если $\mu=\lambda-\pi=0$, то собственное значение, равное нулю, является двойным и имеет индекс 1 ; собственные векторы можно взять такими:
\[
\zeta_{1}(x)=\left[\begin{array}{c}
\sin \pi x \\
0
\end{array}\right], \quad \zeta_{2}(x)=\left[\begin{array}{c}
x \sin \pi x \\
(2 / \pi) \sin \pi x
\end{array}\right] .
\]
(2) Покажите, что сопряженный оператор $\mathbf{f}_{u}^{*}(0 \mid \cdot)$ имеет вид
\[
\mathbf{f}_{u}^{*}(0 \mid \mathbf{u})=\left[\begin{array}{c}
(1 / \pi) U_{1}^{\prime \prime}+\pi U_{1} \\
\pi^{2} U_{2}^{\prime \prime}+U_{1}^{\prime}+\pi^{4} U_{2}
\end{array}\right], \text { где } \mathbf{u}=\left[\begin{array}{l}
U_{1} \\
U_{2}
\end{array}\right], \quad U_{i}^{\prime} \equiv \frac{\partial U_{i}}{\partial x},
\]

и $U_{i}, i=1,2$, удовлетворяют граничным условиям (VI.144) . Вычислите собственные векторы $\zeta_{1}^{*}, \zeta_{2}^{*}$ оператора $\mathrm{f}_{u}^{*}(0 \mid \cdot)$, такие, что $\left\langle\zeta_{i}, \zeta_{j}^{*}\right\rangle=\delta_{i j}$. Покажите, что можно взять
\[
\zeta_{1}^{*}(x)=\left[\begin{array}{c}
2 \sin \pi x \\
\left(-\frac{x}{\pi^{2}}+\frac{1}{2 \pi^{2}}-\frac{\pi}{2}\right) \sin \pi x
\end{array}\right], \quad \zeta_{2}^{*}(x)=\left[\begin{array}{c}
0 \\
\pi \sin \pi x
\end{array}\right] .
\]
(3) Теперь мы обратимся к ситуации § VI. 12 и найдем бифуркационное стационарное решение вида
\[
\mathbf{u}(\mu)=\mu \mathbf{u}_{1}+\frac{1}{2} \mu^{2} \mathbf{u}_{2}+O\left(\mu^{3}\right), \quad \mu=\lambda-\pi,
\]

где
\[
\mathbf{u}_{1}=\chi_{0} \xi_{1}+\theta_{0} \xi_{2} .
\]

Подставляя (VI.145) в (VI.144), получаем для $\chi_{0}, \theta_{0}$ систему двух нелинейных уравнений (см. (VI.113)):
\[
\begin{array}{l}
a_{1} \chi_{i}+b_{1} \theta_{0}+\alpha_{1} \chi_{0}^{2}+2 \beta_{1} \chi_{0} \theta_{0}+\gamma_{1} \theta_{0}^{2}=0, \\
a_{2} \chi_{0}+b_{2} \theta_{0}+\alpha_{2} \chi_{0}^{2}+2 \beta_{2} \chi_{0} \theta_{0}+\gamma_{2} \theta_{0}^{2}=0 .
\end{array}
\]

Вычислите коэффициенты в (VI.146) и покажите, что $a_{1}=2, b_{1}=$ $=1-\pi^{2}, \quad a_{2}=0, \quad b_{2}=2 \pi^{3}, \quad \alpha_{1}=0, \quad \alpha_{2}=0, \quad \beta_{1}=-\left(16 / 3 \pi^{2}\right)-\left(64 / 9 \pi^{4}\right)$, $\beta_{2}=0, \quad \gamma_{1}=(4 / 3 \pi)\left(-1+(2 / \pi)+\left(1 / \pi^{3}\right)\right), \quad \gamma_{2}=-8 / 3 \pi$. Покажите, что два конических сечения (VI.146) пересекаются в начале и еще в одной (и только одной) другой точке. Эта другая точка соответствует бифуркационному стационарному решению.
(4) Теперь попытайтесь найти стационарные бифуркационные решения в форме
\[
\mathbf{u}(\varepsilon)=\varepsilon \mathbf{u}_{1}+\frac{1}{2} \varepsilon^{2} \mathbf{u}_{2}+O\left(\varepsilon^{3}\right), \quad \mu=\varepsilon \mu_{1}+\frac{1}{2} \varepsilon^{2} \mu_{2}+O\left(\varepsilon^{3}\right),
\]

где $\mathbf{u}_{1}=\zeta_{1}+\theta_{0} \zeta_{2}$. Покажите, что все решения, найденные в (3), можно представить в виде рядов по степеням $\varepsilon$; однако, возможно, существует другое решение, не найденное в (3), для которого $\theta_{0}=0$ и $\mu_{1}=0$. Установите, действительно ли реализуется такая возможность, и пришлите ответ авторам. (Если ваша работа окажется корректной, то вы получите поздравительное письмо от одного из нас.)

Пример VI.4. (Теория несовершенств). В этом примере мы рассматриваем задачу, используя наши аналитические методы. Эту же задачу Матковский и Райсс (1977; см. замечания к гл. III этой книги) изучали на основе использования их метода выбора соответствующих асимптотических разложений.
Рассматриваемая задача имеет зид
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial U}{\partial t}=\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}}+\lambda[G(U)+\delta g(x, U)], \\
U(t, x)=0 \text { при } x=0, \pi,
\end{array}
\]

где $0 \leqslant x \leqslant \pi$ и $t \geqslant 0$. Мы сначала исследуем бифуркацию стационарных решений, когда $\delta=0$. Затем мы нарушим бифуркацию, считая $\delta
eq 0$.
Конкрегизируя (VI.147), будем считать, что
\[
G(U)=\sum_{n \geqslant 1} a_{n} U^{n}, \quad a_{1}>0,
\]

причем этот ряд сходится для достаточно малых $|U(t, x)|$, и что
\[
g(x, 0)
eq 0 .
\]

Условие (VI.149) гарантирует, что $U=0$ не является решением (VI.147) при $\delta
eq 0$.

В этом примере, как и в примере VI.2, $H=L^{2}(0, \pi)$ с тем же самым скалярным произведением. Определим линеаризованный «производный» оператор
\[
\mathbf{f}_{u}(\mu \mid \mathbf{u})=\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}}+\lambda a_{1} U=\mathbf{f}_{u}(0 \mid \mathbf{u})+\mu \mathbf{f}_{u \mu}(0 \mid \mathbf{u}),
\]

где $\mu=\lambda-1 / a_{1}$; его областью определения служит пространство
квадратично интегрируемы на $(0, \pi)\}^{1}$ ).

Собственные значения оператора $\mathrm{f}_{a}(\mu \mid \cdot)$ суть $\sigma_{n}=\lambda a_{1}-n^{2}, \quad n=1$, $2, \ldots$. Поэтому нулевое решение (VI.147) устойчиво, если $\mu<0$, и неустойчиво, если $\mu>0$.

Обращаясь теперь к построению бифуркационного решения (которое существует только если $\delta=0$ ), находим, что
\[
\mathbf{u}=\varepsilon \boldsymbol{\xi}+\frac{\varepsilon^{2}}{2} \mathbf{u}_{2}+\frac{\varepsilon^{3}}{6} \mathbf{u}_{3}+O\left(\varepsilon^{4}\right), \quad \mu=\varepsilon \mu_{1}+\frac{\varepsilon^{2}}{2} \mu_{2}+O\left(\varepsilon^{3}\right),
\]

при этом
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{f}_{u}(0 \mid \xi)=0, \\
\mathbf{f}_{u}\left(0 \mid \mathbf{u}_{2}\right)+2 a_{1} \mu_{1} \xi+\frac{2 a_{2} \xi^{2}}{a_{1}}=0, \\
\mathbf{f}_{u}\left(0 \mid \mathbf{u}_{3}\right)+3 a_{1} \mu_{2} \xi+3 a_{1} \mu_{1} \mathbf{u}_{2}+\frac{6 a_{2} \xi \mathbf{u}_{2}}{a_{1}}+\frac{6 a_{3} \xi^{3}}{a_{1}}+6 \mu_{1} a_{2} \xi^{2}=0, \\
\mathbf{f}_{u}\left(0 \mid \mathbf{u}_{n}\right)+n a_{1} \mu_{n-1} \xi+\text { члены более низкого порядка }=0 .
\end{array}
\]

Возьмем
\[
\zeta(x)=\sin x, \quad \zeta^{*}(x)=\frac{2}{\pi} \sin x,
\]

так что
\[
\mu_{1}=-\frac{a_{2}}{a_{1}^{2}} \frac{8}{3 \pi} .
\]

Если $a_{2}=0$, то получаем $\mu_{1}=0$ и $u_{2}=0$, и тогда $\mu_{2}=-3 a_{3} /\left(2 a_{1}^{2}\right)$. Поэтому бифуркационное решение (VI.147) с $\delta=0$ является двусторонним, если $a_{2}
eq 0$ :
\[
\begin{array}{c}
U(x)=\varepsilon \sin x+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
\mu=\lambda-\frac{1}{a_{1}}=-\frac{8 a_{2}}{3 \pi a_{1}^{2}}+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\end{array}
\]
1) Это пространство есть алгебра, т. е. произведение любых его двух элементов также принадлежит ему. Выражения, подобные گи $_{2}$, суть билинейные функционалы в этом пространстве.

или односторонним, если $a_{2}=0$ и $a_{3}
eq 0$ :
\[
\begin{array}{c}
U(x)=\varepsilon \sin x+O\left(\varepsilon^{2}\right), \\
\mu=\lambda-\frac{1}{a_{1}}=-\frac{3 a_{3}}{4 a_{1}^{2}} \varepsilon^{2}+O\left(\varepsilon^{3}\right) .
\end{array}
\]

Изучим теперь задачу с дефектом $(\delta
eq 0)$, используя обозначения § VI, 10. Имеем
\[
0=\tilde{\mathscr{F}}(\mu, \mathbf{u}, \delta) \equiv \mathbf{f}_{a}(0 \mid \mathbf{u})+\mu \mathbf{f}_{u \mu}(0 \mid \mathbf{u})+\left(\mu+\frac{1}{a_{1}}\right)\left[\sum_{n \geqslant 2} a_{n} \mathbf{u}^{n}+\delta \mathbf{g}(\cdot, \mathbf{u})\right] \text {. }
\]

Будем предполагать, что
\[
\mathbf{g}(\cdot, \mathbf{u})=\mathrm{g}_{0}+\mathrm{g}_{1} \mathbf{u}+O\left(\mathbf{u}^{2}\right),
\]

где $\mathbf{g}_{i}$ суть известные функции на $[0, \pi]$. Условие (VI.71) здесь принимает вид
\[
\frac{1}{a_{1}}\left\langle\mathrm{~g}_{0}, \zeta^{*}\right\rangle
eq 0 \text {, }
\]

или
\[
\int_{0}^{\pi} g_{0}(x) \sin x d x
eq 0 .
\]

Найдем теперь $\mathbf{u}(\mu, \varepsilon)$ и $\delta=\Delta(\mu, \varepsilon)$, где
\[
\varepsilon \stackrel{\text { dei }}{=}\left\langle\mathbf{u}, \zeta^{*}\right\rangle .
\]

Формулы (VI.79), (VI.80) приводят к выражениям
\[
\Delta_{\varepsilon \varepsilon}=-2 a_{2} \frac{\left\langle\zeta^{2}, \zeta^{*}\right\rangle}{\left\langle\mathrm{g}_{0}, \zeta^{*}\right\rangle}, \quad \Delta_{\mu \varepsilon}=\frac{-a_{1}^{2}}{\left\langle\mathrm{~g}_{0}, \zeta^{*}\right\rangle},
\]

и поэтому получаем зависимость
\[
\left.\delta=-\left(\frac{8}{3 \pi} a_{2} \varepsilon^{2}+a_{1}^{2} \varepsilon \mu\right)\right)\left\langle\mathrm{g}_{0}, \zeta^{*}\right\rangle^{-1}+O\left[|\varepsilon|(|\varepsilon|+|\mu|)^{2}\right],
\]

которая описывает разрушение бифуркации (VI.150) при $a_{2}
eq 0$. В случае, когда $a_{2}=0$, имеем $\Delta_{\varepsilon \varepsilon}=0, u_{\varepsilon \varepsilon}=0$ и
\[
\Delta_{\varepsilon \varepsilon \varepsilon}=-\frac{6 a_{3}\left\langle\zeta^{3}, \zeta^{*}\right\rangle}{\left\langle g_{0}, \zeta^{*}\right\rangle}, \quad \Delta_{\mu \varepsilon \varepsilon}=\frac{2 a_{1}^{2}\left\langle g_{1} \zeta_{1}, \zeta^{*}\right\rangle}{\left\langle g_{0}, \zeta^{*}\right\rangle^{2}}, \quad \Delta_{\mu \mu \varepsilon}=\frac{2 a_{1}^{3}}{\left\langle g_{0}, \zeta^{*}\right\rangle} .
\]

Поэтому если $a_{2}=0$, то разрушение бифуркации (VI.151) описывается зависимостью
\[
\delta=\left[-a_{1}^{2} \varepsilon \mu-\frac{3 a_{3}}{4} \varepsilon^{3}+a_{1}^{2} \frac{\left\langle\mathrm{g}_{1} \zeta^{6}, \zeta^{*}\right\rangle}{\left\langle\mathrm{g}_{0}, \zeta^{*}\right\rangle} \mu \varepsilon^{2}+a_{1}^{3} \mu^{2} \varepsilon\right]\left\langle\mathrm{g}_{0}, \zeta^{*}\right\rangle^{-1}+O\left(|\varepsilon|(|\varepsilon|+|\mu|)^{3}\right) .
\]

Отметим, что равенство $\delta=0$ снова дает бифуркационные решения (VI.150), (VI.151). Если $a_{2}
eq 0$, то зависимость $\mu(\varepsilon, \delta / \varepsilon)$ имеет вид
\[
\mu=-\frac{\left\langle\mathrm{g}_{0}, \zeta^{*}\right\rangle}{a_{1}^{2}} \frac{\delta}{\varepsilon}-\frac{8}{3 \pi} \frac{a_{2}}{a_{1}^{2}} \varepsilon+O\left(|\varepsilon|+\left|\frac{\delta}{\varepsilon}\right|\right)^{2} .
\]

Если же $a_{2}=0, a_{3}
eq 0$, то
\[
\mu=-\frac{\left\langle\mathrm{g}_{0}, \zeta^{*}\right\rangle}{a_{1}^{2}} \frac{\delta}{\varepsilon}-\frac{3 a_{3}}{4 a_{1}^{2}} \varepsilon^{2}-\frac{\left\langle\mathrm{g}_{1} \zeta, \zeta^{*}\right\rangle}{a_{1}^{2}} \frac{\delta}{\varepsilon} \varepsilon+\frac{\left\langle\mathrm{g}_{0}, \zeta^{*}\right\rangle^{2}}{a_{1}^{3}}\left(\frac{\delta}{\varepsilon}\right)^{2}+O\left(|\varepsilon|+\left|\frac{\delta}{\varepsilon}\right|\right)^{3} .
\]