ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИОСТИ И БИФУРКАЦИЙ (Ж.Йосс, Д. Джозеф)

Научная библиотека

Научная библиотека

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИОСТИ И БИФУРКАЦИЙ (Ж.Йосс, Д. Джозеф)

Gerard Iooss, Daniel D. Joseph
Elementary Stability and Bifurcation Theory

Springer-Verlag
New York Heidelberg Berlin 1980

ж.Йосс, д. Джозеф ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИОСТИ И БИФУРКАЦИЙ

Перевод с аналийского
B. Н. РУБАНОВСКОГО

под редакцией
H. H. MOUCEEBA
МОСКВА «МИР\” 1983

ББК 22.161.6
И75

удК 517.91
Ӥосс Ж., Джозеф д.

и75 Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. Пер. с англ.-М.: Мир., 1983.-301 с., ил.
Книга американских математиков, отражающая современное состояние теории устойчивости и бифуркаций. Простота ззложения поэволяет непосредственно использовать теорию в самых различвых приклддных областях, в которых встречаются системы нелинейных дифференциальных уравнений.
Для математиков-прикладников, инженеров, аспирантов и студентов институтов.
\[
\text { ค } \frac{1702050000-330}{041(01)-83} 22-83,4.1
\]

ББК 517.2

Редакция литературы по патематическим наукам
(C) 1980 by Springer-Verlag New York Inc. All rights reserved.
Authorized translation from English language edition published by Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York
(C) Перевод на русский язык, «Мир», 1983

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
Глава I. РАВНОВЕСНЫЕ РЕШЕНИЯ ЭвОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧ
§ I.1. Одномерная, двумерная, $n$-мерная и бесконечномерная интерпретации уравнения (1.1)
§ I.2. Нетривиальные решения; стационарные и $T$-периодические решения; автономные и неавтономные задачи
§ I.3. Редукция к локальной форме
§ I.4. Равновесные решения
§ I.5. Равновесные решения и бифуркационные решения
§ I.6. Бифуркационные решения и линейная теория устойчивости
§ I.7. Обозначение для функционального разложения $\mathrm{F}(t, \mu, \mathrm{U})$
Глава II БИФУРКАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ ОДНОМЕРНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
§ II.1. Теорема о неявной функции
§ II.2. Классификация точек кривых, изображающих решения
§ II.3. Характеристическая квадратичная форма. Двойные точки, точки возврата и сопряженные точки
§ II.4. Двойная точка бифуркации и теорема о неявной функции
§ II.5. Бифуркация в точке возврата и характеристические квадратные уравнения
§ II.6. Тройная точка бифуркацин
§ II.7. Теорема о достаточных условиях устойчивости
§ II.8. Теорема о факторизации в одномерном случае
§ II.9. Эквивалентность строгой потери устойчивости и двойной точки бифуркации
§ II.10. Смена устойчивости в двойной точке
§ II.11. Смена устойчивости в двойной точке для задач, приведенных к локальной форме
§ II.12. Смена устойчивости в точке возврата
§ II.13. Смена устойчивости в тройной точке
§ II.14. Глобальные свойства устойчивости изолированных решений
Глава III. ТЕОРИЯ НЕСОВЕРШЕНСТВ И ИЗОЛИРОВАННЫЕ РЕШЕНИЯ, РАЗРУШАЮЩИЕ БИФУРКАЦИЮ
§ III.1. Структура задач, в которых происходит разрушение двойной точки бифуркации
§ III.2. Теорема о неявной функции и седлообразная поверхность разрушения бифуркации
§ III.3. Примеры изолированных решений, разрушающих бифуркацию
§ III.4. Итеративные процедуры построения решений
§ III.5. Устойчивость решений, разрушающих бифуркацию
§ III.6. Изоляты
Глава IV УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ В ДВУМЕРНОМ И n-МЕРНОМ СЛУЧАЯХ
§ IV.1. Собственные значения и собственные векторы $(n \times n)$-матрицы
§ IV.2. Алгебраическая и геометрическая кратности, индекс Риса
§ IV.3. Присоединенная задача на собственные значения
§ IV.4. Собственные значения и собственные векторы $(2 \times 2)$-матрицы
§ IV.5. Спектральная задача и устойчивость решения $\mathrm{u}=0$ в $\mathbb{R}^{n}$ Полагая в (IV.3) $\mathbf{v}=e^{\sigma t} \mathbf{x}$, находим, что
§ IV.6. Узлы, седла и фокусы
§ IV.7. Критическое значение и строгая потеря устойчивости
Дополнение IV.1. Биортогональность обобщенных собственных векторов
Дополнение IV.2. Проекции
Глава V БИФУРКАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ И УСТОЙЧИВОСТЬ БИФУРКАЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ
§ V.I. Вид стационарных бифуркационных решений и их устойчивость
§ V.2. Классификация трех типоз бифуркации стационарных решений
§ V.3. Бифуркация в простом собственном значении
§ V.4. Устойчивость стационарного решения, ответвляющегося в простом собственном значении
§ V.5. Бифуркация в двойном собственном значении с индексом, равным двум ${ }^{1}$ )
§ V.6. Устойчивость стационарного решения, ответвляющегося в двойном собственном значении с индексом, равным двум
§ V.7. Бифуркация и устойчивость стационарных решений в форме (V.2) в двойном собственном значении (полупростом) с индексом, равным единице ${ }^{1}$ )
§ V.8. Бифуркация и устойчивость стационарных решений (V.3) в полупростом двойном собственном значении
§ V.9. Примеры анализа устойчивости в двойном полупростом (с индексом, равным единице) собственном значении
Дополнение V.10. Теорема о неявной функции для системы двух уравнений с двумя неизвестными функциями от одной переменной
Глава VI. МЕТОДЫ ПРОЕКЦИИ ДЛЯ ОБЩИХ ЗАДАЧ БИФУРКАЦИИ В СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ
§ VI.1. Эволюционное уравнение и спектральная задача
VI.2. Построение стационарных бифуркационных решений в виде степенных рядов от амплитуды
§ VI.3. $\mathbb{R}^{1}$ и $\mathbb{R}^{1}$ как проекция
§ VI.4. Устойчивость бифуркационного решения
§ VI.5. Добавочная малая часть для $\mathbb{R}^{1}$ как проекции
§ VI.6. Проекции задач высокой размерности
§ VI.7. Спектральная задача для анализа устойчивости решения $\mathbf{u}=\mathbf{0}$
§ VI.8. Спектральная задача и преобразование Лапласа
§ VI.9. Проекции в $\mathbb{R}^{1}$
§ VI.10. Метод проекции для изолированных решений, разрушающих бифуркацию в простом собственном значении (теория несовершенств)
§ VI.11. Метод проекции в двойном собственном значении с индексом, равным двум
§ VI.12. Метод проекции в двойном полупростом собственном значении
Дополнение VI.1. Примеры применения метода проекции
Глава VII БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ИЗ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ (БИФУРКАЦИЯ ХОПФА) НА ПЛОСКОСТИ
§ VII.1. Структура двумерной задачи, описывающей бифуркацию Хопфа
§ VII.2. Амплитудное уравнение для бифуркации Хопфа
§ VII.3. Решение в виде рядов
VII.4. Уравнения для коэффициентов рядов Тейлора
§ VII.5. Условия разрешимости (альтернатива Фредгольма)
§ VII.6. Теория Флоке
§ VII.7. Уравнения, определяющие устойчивость периодических решений
§ VII.8. Теорема о факторизации
§ VII.9. Интерпретация условия устойчивости
Глава VIII. БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
§ VIII.1. Собственные проекции спектральной задачи
§ VIII.2. Уравнения для проекции и дополнительная проекция
§ VIII.3. Решение в виде рядов с использованием альтернативы Фредгольма
§ VIII.4. Устойчивость бифуркации Хопфа в общем случае
Глава IX. СУБГАРМОНИЧЕСКАЯ БИФУРКАЦИЯ НЕТРИВИАЛЬНЫХ T-ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
§ IX.1. Постановка задачи о субгармонической бифуркации
§ IX.2. Спектральные задачи и собственные значения $\sigma(\mu)$
§ IX.3. Биортогональность
§ IX.4. Критическая точка
§ IX.5. Альтернатива Фредгольма для $J(\mu)-\sigma(\mu)$ и формула, выражающая строгое пересечение (IX.20)
§ IX.6. Предположения о спектре
§ IX.7. Рациональные и иррациональные значения отношения частот в критической точке
§ IX.8. Оператор § и его собственные векторы
§ IX. 9. Сопряженный оператор ${ }^{*}$, биортогональность, строгое пересечение и альтернатива Фредгольма для J
§ IX.10. Амплитуда $\varepsilon$ и биортогональное разложение бифуркационных субгармонических решений
§ IX.11. Уравнения для определения производных от бифуркационных субгармонических решений по $\varepsilon$ при $\varepsilon=0$
§ IX.12. Бифуркация и устойчивость T-периодических и $2 \mathrm{~T}$-периодических решений
§ IX.13. Бифуркация и устойчивость $n T$-периодических решений c $n>2$
§ IX.14. Бифуркация и устойчивость $3 T$-периодических решений
§ IX.15. Бифуркация $4 T$-периодических решений
§ IX.16. Устойчивость $4 T$-периодических решений
§ IX.17. Несуществование субгармонических решений более высокого порядка и слабый резонанс
§ IX.18. Сводка результатов о субгармонической бифуркации
§ IX.19. Теория несовершенств с периодическим дефектом
Глава X. БИФУРКАЦИЯ НЕТРИВИАЛЬНЫХ Т-ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
§ X.1. Биортогональное разложение решения и биортогональное разложение уравнений
§ X.2. Замена переменных
§ Х.3. Нормальная форма уравнений
§ X.4. Нормальные уравнения в полярных координатах
§ X.5. Тор и траектории на торе в иррациональном случае
§ X.6. Тор и траектории на торе, если $\omega_{0} T / 2 \pi-$ рациональная точка более высокого порядка ( $n \geqslant 5$ )
§ Х.7. Форма тора в случае $\boldsymbol{n}=5$
§ X.8. Траектории на торе при $\boldsymbol{n}=5$
§ X.9. Форма тора при $n>5$
§ X.10. Траектории на торе при $\boldsymbol{n} \geqslant 5$
§ X.11. Асимптотически квазипернодические решения
§ X.12. Устойчивость бифуркацнонного тора
§ X.13. Субгармонические решения на торе
§ X.14. Устойчивость субгармонических решений на торе
§ X.15. Захват частоты
Дополнение X.1. Построение асимптотически квазипериодических решений, ответвляющихся в рациональных точках более высокого порядка ( $n \geqslant 5$ ), методом степенных рядов с использованием альтернативы Фредгольма
Дополнение (X.2). Прямое построение асимптотически квазипериодических решений, ответвляющихся в иррациональных точках, методом, включающим две временные переменные, степенные ряды и альтернативу Фредгольма
Дополнение X.3. Прямое построение асимптотически квазипериодических решений, ответвляющихся в рациональных точках более высокого порядка, методом двух временны́х переменных
Глава XI ВТОРИЧНАЯ СУБГАРМОНИЧЕСКАЯ И АСИМПТОТИЧЕСКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКАЯ БИФУРКАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ (ТИПА ХОПФА) В АВТОНОМНОМ СЛУЧАЕ
§ XI.1. Спектральные задачи
§ XI.2. Критическая точка и рациональные точки
§ XI.3. Предположения о спектре оператора $J_{0}$
§ XI.4. Предположения о спектре оператора \& в критической точке
§ XI.5. Строгая потеря устойчивости в простом собственном значении оператора $J_{0}$
§ XI.6. Строгая потеря устойчивости в двойном полупростом собственном значении оператора $J_{0}$
XI.7. Строгая потеря устойчивости в двойном собственном значении с индексом два ${ }^{1}$ )
§ XI.8. Постановка задачи о субгармонической бифуркации периодических решений автономных задач
§ XI.9. Амплитуда бифуркационного решения
§ XI.10. Решения бифуркационной задачи в форме степенных рядов
§ XI.11. Субгармоническая бифуркация для $n=2$
§ XI.12. Субгармоническая бифуркация для $n>2$
§ XI.13. Субгармоническая бифуркация для $n=1$ в полупростом случае
§ XI.14. «Субгармоническая» бифуркация для $n=1$ в случае, когда нуль является двойным собственным значением оператора $J_{0}$ с индексом два
§ XI.15. Устойчивость субгармонических решений
§ XI.16. Обзор результатов о субгармонической бифуркации в автономном случае
§ XI.17. Бифуркация тора в автономных нерезонансных случаях
§ XI.18. Асимптотически квазипериодические решения на инвариантном торе
§ XI.19. Строго квазипериодические решения на бифуркационном торе $^{1}$ )
ПОСЛЕСЛОВИЕ