Предположим теперь, что $F(\cdot ,\cdot )$ имеет непрерывные частные производные четвертого порядка, и покажем, что происходит в точке возврата с касанием второго порядка. При $\mu =\mu (\epsilon )$ все производные от $\mathcal{f}(\epsilon )\equiv F(\mu (\epsilon ),\epsilon )\equiv 0$ равны нулю. Тогда имеем
$$\begin{array}{c}\frac{d^2\mathcal{F}}{d{\epsilon }^2}=F_{\epsilon \epsilon }+2{\mu }_{\epsilon }{F}_{\epsilon \mu }+{\mu }_{\epsilon }^2{F}_{\mu \mu }+{\mu }_{\epsilon \epsilon }{F}_{\mu }=0\\ \frac{d^3\mathcal{F}}{d{\epsilon }^3}=F_{\epsilon \epsilon \epsilon }+3{\mu }_{\epsilon }{F}_{\epsilon \epsilon \mu }+3{\mu }_{\epsilon }^2{F}_{\epsilon \mu \mu }+{\mu }_{\epsilon }^3{F}_{\mu \mu \mu }+\\ +3{\mu }_{\epsilon \epsilon }{F}_{\epsilon \mu }+3{\mu }_{\epsilon \epsilon }{\mu }_{\epsilon }{F}_{\mu \mu }+{\mu }_{\epsilon \epsilon \epsilon }F=0\\ \frac{d^4\mathcal{F}}{d{\epsilon }^4}=F_{\epsilon \epsilon \epsilon \epsilon }+4{\mu }_{\epsilon }{F}_{\epsilon \epsilon \epsilon \mu }+6{\mu }_{\epsilon }^2{F}_{\epsilon \epsilon \mu \mu }+4{\mu }_{\epsilon }^3{F}_{\epsilon \mu \mu \mu }+\\ +{\mu }_{\epsilon }^4{F}_{\mu \mu \mu \mu }+4{\mu }_{\epsilon \epsilon \epsilon }{F}_{\epsilon \mu }+4{\mu }_{\epsilon \epsilon \epsilon }{\mu }_{\epsilon }{F}_{\mu \mu }+3{\mu }_{\epsilon \epsilon }^2{F}_{\mu \mu }+\\ +6{\mu }_{\epsilon \epsilon }{F}_{\epsilon \epsilon \mu }+12{\mu }_{\epsilon }{\mu }_{\epsilon \epsilon }{F}_{\epsilon \mu \mu }+6{\mu }_{\epsilon \epsilon }{\mu }_{\epsilon }^2{F}_{\mu \mu \mu }+{\mu }_{\epsilon \epsilon \epsilon \epsilon }{F}_{\mu }=0\end{array}$$

Если $\epsilon =\epsilon (\mu )$, то $f(\mu )\equiv F(\mu ,\epsilon (\mu ))\equiv 0$ и
$$\begin{array}{c}\frac{d^2\ell }{d{\mu }^2}=F_{\mu \mu }+2{\epsilon }_{\mu }{F}_{\epsilon \mu }+{\epsilon }_{\mu }^2{F}_{\epsilon \epsilon }+{\epsilon }_{\mu \mu }{F}_{\epsilon }=0,\\ \frac{d^3\ell }{d{\mu }^3}=F_{\mu \mu \mu }+3{\epsilon }_{\mu }{F}_{\epsilon \mu \mu }+3{\epsilon }_{\mu }^2{F}_{\epsilon \epsilon \mu }+{\epsilon }_{\mu }^3{F}_{\epsilon \epsilon \epsilon }+\\ +3{\epsilon }_{\mu \mu }{F}_{\epsilon \mu }+3{\epsilon }_{\mu \mu }{\epsilon }_{\mu }{F}_{\epsilon \epsilon }+{\epsilon }_{\mu \mu \mu }{F}_{\epsilon }=0,\\ \frac{d^4\mathcal{f}}{d{\mu }^4}=F_{\mu \mu \mu \mu }+4{\epsilon }_{\mu }{F}_{\epsilon \mu \mu \mu }+6{\epsilon }_{\mu }^2{F}_{\epsilon \epsilon \mu \mu }+4{\epsilon }_{\mu }^3{F}_{\epsilon \epsilon \epsilon }+\\ +{\epsilon }_{\mu }^4{F}_{\epsilon \epsilon \epsilon \epsilon }+4{\epsilon }_{\mu \mu \mu }{F}_{\epsilon \mu }+4{\epsilon }_{\mu \mu }{\epsilon }_{\mu }{F}_{\epsilon \epsilon }+3{\epsilon }_{\mu \mu }^2{F}_{\epsilon \epsilon }+\\ +6{\epsilon }_{\mu \mu }{F}_{\epsilon \mu \mu }+12{\epsilon }_{\mu }{\epsilon }_{\mu \mu }{F}_{\epsilon \epsilon \mu }+6{\epsilon }_{\mu \mu }{\epsilon }_{\mu }^2{F}_{\epsilon \epsilon \epsilon }+{\epsilon }_{\mu \mu \mu \mu }{F}_{\epsilon }=0.\end{array}$$

В точке возврата $F=F_{\epsilon }=F_{\mu }=D=0$. В случае (А) $F_{\mu \mu }eq0$, ${\mu }_{\epsilon }\left({\epsilon }_0\right)=-F_{\epsilon \mu }/F_{\mu \mu }$, (II.14) удовлетворяется тождественно, а (II. 15) принимает вид
$$F_{\epsilon \epsilon \epsilon }+3{\mu }_{\epsilon }\left({\epsilon }_0\right)F_{\epsilon \epsilon \mu }+3{\mu }_{\epsilon }^2\left({\epsilon }_0\right)F_{\epsilon \mu \mu }+{\mu }_{\epsilon }^3{F}_{\mu \mu \mu }=0.$$

В (II.16) коэффициент при ${\mu }_{\epsilon \epsilon е}$ обращается в нуль, и это соотношение переходит в квадратное уравнение для кривизны ${\mu }_{\epsilon \epsilon }$ при ${\epsilon }_0$ :
$${\mu }_{\epsilon \epsilon }^2+2\left(\frac{{\mu }_{\epsilon \epsilon }\xi }{F_{\mu \mu }}\right)+\left(\frac{\zeta }{F_{\mu \mu }}\right)=0,$$

где
$$\xi =F_{\epsilon \epsilon \mu }+2{\mu }_{\epsilon }{F}_{\epsilon \mu \mu }+{\mu }_{\epsilon }^2{F}_{\mu \mu \mu }$$

и
$$3\zeta =F_{\epsilon \epsilon \epsilon \epsilon }+4{\mu }_{\epsilon }{F}_{\epsilon \epsilon \epsilon \mu }+6{\mu }_{\epsilon }^2{F}_{\epsilon \epsilon \mu \mu }+4{\mu }_{\epsilon }^3{F}_{\epsilon \mu \mu \mu }+{\mu }_{\epsilon }^4{F}_{\mu \mu \mu \mu }.$$

Уравнение (II.19) имеет два корня
$$\left[\begin{array}{l}{\mu }_{\epsilon \epsilon }^{(1)}\left({\epsilon }_0\right)\\ {\mu }_{\epsilon \epsilon }^{(2)}\left({\epsilon }_0\right)\end{array}\right]=-\frac{\xi }{F_{\mu \mu }}\left[\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}\right]+\sqrt{\frac{{\mathcal{D}}_1}{F_{\mu \mu }^2}}\left[\begin{array}{r}1\\ -1\end{array}\right],$$

где
$${\mathcal{D}}_1={\xi }^2-F_{\mu \mu }\zeta .$$

В случае (Б) $F_{\mu \mu }=0$, и поскольку $D=0$, то $F_{\epsilon \mu }=0,F_{\epsilon \epsilon }eq0$ и ${\epsilon }_{\mu }\left({\mu }_0\right)=0$. Тогда из (II.17) следует, что $F_{\mu \mu \mu }=0$, а (II.18) приводится к квадратному уравнению для кривизны ${\epsilon }_{\mu \mu }\left({\mu }_0\right)$ :
$${\epsilon }_{\mu \mu }^2+2\left(\frac{{\epsilon }_{\mu \mu }{F}_{\epsilon \mu \mu }}{F_{\epsilon \epsilon }}\right)+\left(\frac{F_{\mu \mu \mu \mu }}{3F_{\epsilon \epsilon }}\right)=0.$$

Уравнение (II.22) имеет два корня
$$\left[\begin{array}{l}{\epsilon }_{\mu \mu }^{(1)}\left({\mu }_0\right)\\ {\epsilon }_{\mu \mu }^{(2)}\left({\mu }_0\right)\end{array}\right]=-\frac{F_{\epsilon \mu \mu }}{F_{\epsilon \epsilon }}\left[\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}\right]+\sqrt{\frac{{\mathcal{D}}_2}{F_{\epsilon \epsilon }^2}}\left[\begin{array}{r}1\\ -1\end{array}\right],$$

где
$${\mathcal{D}}_2=F_{\epsilon \mu \mu }^2-\left(\frac{F_{\epsilon \epsilon }{F}_{\mu \mu \mu \mu }}{3}\right).$$

В точке касания второго порядка двух кривых они имеют общую касательную и разные вещественные кривизны. Отсюда следует, что ${\mathcal{D}}_1>0$ или ${\mathcal{D}}_2>0$ в точке касания второго порядка.

На основе теоремы о неявной функции можно показать, что кривизны, даваемые формулами (II.20) и (II.23), соответствуют вещественным кривым, проходящим через точку возврата.