Предположим теперь, что $F(\cdot, \cdot)$ имеет непрерывные частные производные четвертого порядка, и покажем, что происходит в точке возврата с касанием второго порядка. При $\mu=\mu(\varepsilon)$ все производные от $\mathscr{f}(\varepsilon) \equiv F(\mu(\varepsilon), \varepsilon) \equiv 0$ равны нулю. Тогда имеем
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{2} \mathcal{F}}{d \varepsilon^{2}}=F_{\varepsilon \varepsilon}+2 \mu_{\varepsilon} F_{\varepsilon \mu}+\mu_{\varepsilon}^{2} F_{\mu \mu}+\mu_{\varepsilon \varepsilon} F_{\mu}=0 \\
\frac{d^{3} \mathcal{F}}{d \varepsilon^{3}}=F_{\varepsilon \varepsilon \varepsilon}+3 \mu_{\varepsilon} F_{\varepsilon \varepsilon \mu}+3 \mu_{\varepsilon}^{2} F_{\varepsilon \mu \mu}+\mu_{\varepsilon}^{3} F_{\mu \mu \mu}+ \\
+3 \mu_{\varepsilon \varepsilon} F_{\varepsilon \mu}+3 \mu_{\varepsilon \varepsilon} \mu_{\varepsilon} F_{\mu \mu}+\mu_{\varepsilon \varepsilon \varepsilon} F=0 \\
\frac{d^{4} \mathcal{F}}{d \varepsilon^{4}}=F_{\varepsilon \varepsilon \varepsilon \varepsilon}+4 \mu_{\varepsilon} F_{\varepsilon \varepsilon \varepsilon \mu}+6 \mu_{\varepsilon}^{2} F_{\varepsilon \varepsilon \mu \mu}+4 \mu_{\varepsilon}^{3} F_{\varepsilon \mu \mu \mu}+ \\
+\mu_{\varepsilon}^{4} F_{\mu \mu \mu \mu}+4 \mu_{\varepsilon \varepsilon \varepsilon} F_{\varepsilon \mu}+4 \mu_{\varepsilon \varepsilon \varepsilon} \mu_{\varepsilon} F_{\mu \mu}+3 \mu_{\varepsilon \varepsilon}^{2} F_{\mu \mu}+ \\
+6 \mu_{\varepsilon \varepsilon} F_{\varepsilon \varepsilon \mu}+12 \mu_{\varepsilon} \mu_{\varepsilon \varepsilon} F_{\varepsilon \mu \mu}+6 \mu_{\varepsilon \varepsilon} \mu_{\varepsilon}^{2} F_{\mu \mu \mu}+\mu_{\varepsilon \varepsilon \varepsilon \varepsilon} F_{\mu}=0
\end{array}
\]

Если $\varepsilon=\varepsilon(\mu)$, то $f(\mu) \equiv F(\mu, \varepsilon(\mu)) \equiv 0$ и
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{2} \ell}{d \mu^{2}}=F_{\mu \mu}+2 \varepsilon_{\mu} F_{\varepsilon \mu}+\varepsilon_{\mu}^{2} F_{\varepsilon \varepsilon}+\varepsilon_{\mu \mu} F_{\varepsilon}=0, \\
\frac{d^{3} \ell}{d \mu^{3}}=F_{\mu \mu \mu}+3 \varepsilon_{\mu} F_{\varepsilon \mu \mu}+3 \varepsilon_{\mu}^{2} F_{\varepsilon \varepsilon \mu}+\varepsilon_{\mu}^{3} F_{\varepsilon \varepsilon \varepsilon}+ \\
+3 \varepsilon_{\mu \mu} F_{\varepsilon \mu}+3 \varepsilon_{\mu \mu} \varepsilon_{\mu} F_{\varepsilon \varepsilon}+\varepsilon_{\mu \mu \mu} F_{\varepsilon}=0, \\
\frac{d^{4} \mathcal{f}}{d \mu^{4}}=F_{\mu \mu \mu \mu}+4 \varepsilon_{\mu} F_{\varepsilon \mu \mu \mu}+6 \varepsilon_{\mu}^{2} F_{\varepsilon \varepsilon \mu \mu}+4 \varepsilon_{\mu}^{3} F_{\varepsilon \varepsilon \varepsilon}+ \\
+\varepsilon_{\mu}^{4} F_{\varepsilon \varepsilon \varepsilon \varepsilon}+4 \varepsilon_{\mu \mu \mu} F_{\varepsilon \mu}+4 \varepsilon_{\mu \mu} \varepsilon_{\mu} F_{\varepsilon \varepsilon}+3 \varepsilon_{\mu \mu}^{2} F_{\varepsilon \varepsilon}+ \\
+6 \varepsilon_{\mu \mu} F_{\varepsilon \mu \mu}+12 \varepsilon_{\mu} \varepsilon_{\mu \mu} F_{\varepsilon \varepsilon \mu}+6 \varepsilon_{\mu \mu} \varepsilon_{\mu}^{2} F_{\varepsilon \varepsilon \varepsilon}+\varepsilon_{\mu \mu \mu \mu} F_{\varepsilon}=0 .
\end{array}
\]

В точке возврата $F=F_{\varepsilon}=F_{\mu}=D=0$. В случае (А) $F_{\mu \mu}
eq 0$, $\mu_{\varepsilon}\left(\varepsilon_{0}\right)=-F_{\varepsilon \mu} / F_{\mu \mu}$, (II.14) удовлетворяется тождественно, а (II. 15) принимает вид
\[
F_{\varepsilon \varepsilon \varepsilon}+3 \mu_{\varepsilon}\left(\varepsilon_{0}\right) F_{\varepsilon \varepsilon \mu}+3 \mu_{\varepsilon}^{2}\left(\varepsilon_{0}\right) F_{\varepsilon \mu \mu}+\mu_{\varepsilon}^{3} F_{\mu \mu \mu}=0 .
\]

В (II.16) коэффициент при $\mu_{\varepsilon \varepsilon е}$ обращается в нуль, и это соотношение переходит в квадратное уравнение для кривизны $\mu_{\varepsilon \varepsilon}$ при $\varepsilon_{0}$ :
\[
\mu_{\varepsilon \varepsilon}^{2}+2\left(\frac{\mu_{\varepsilon \varepsilon} \xi}{F_{\mu \mu}}\right)+\left(\frac{\zeta}{F_{\mu \mu}}\right)=0,
\]

где
\[
\xi=F_{\varepsilon \varepsilon \mu}+2 \mu_{\varepsilon} F_{\varepsilon \mu \mu}+\mu_{\varepsilon}^{2} F_{\mu \mu \mu}
\]

и
\[
3 \zeta=F_{\varepsilon \varepsilon \varepsilon \varepsilon}+4 \mu_{\varepsilon} F_{\varepsilon \varepsilon \varepsilon \mu}+6 \mu_{\varepsilon}^{2} F_{\varepsilon \varepsilon \mu \mu}+4 \mu_{\varepsilon}^{3} F_{\varepsilon \mu \mu \mu}+\mu_{\varepsilon}^{4} F_{\mu \mu \mu \mu} .
\]

Уравнение (II.19) имеет два корня
\[
\left[\begin{array}{l}
\mu_{\varepsilon \varepsilon}^{(1)}\left(\varepsilon_{0}\right) \\
\mu_{\varepsilon \varepsilon}^{(2)}\left(\varepsilon_{0}\right)
\end{array}\right]=-\frac{\xi}{F_{\mu \mu}}\left[\begin{array}{l}
1 \\
1
\end{array}\right]+\sqrt{\frac{\mathscr{D}_{1}}{F_{\mu \mu}^{2}}}\left[\begin{array}{r}
1 \\
-1
\end{array}\right],
\]

где
\[
\mathscr{D}_{1}=\xi^{2}-F_{\mu \mu} \zeta .
\]

В случае (Б) $F_{\mu \mu}=0$, и поскольку $D=0$, то $F_{\varepsilon \mu}=0, \quad F_{\varepsilon \varepsilon}
eq 0$ и $\varepsilon_{\mu}\left(\mu_{0}\right)=0$. Тогда из (II.17) следует, что $F_{\mu \mu \mu}=0$, а (II.18) приводится к квадратному уравнению для кривизны $\varepsilon_{\mu \mu}\left(\mu_{0}\right)$ :
\[
\varepsilon_{\mu \mu}^{2}+2\left(\frac{\varepsilon_{\mu \mu} F_{\varepsilon \mu \mu}}{F_{\varepsilon \varepsilon}}\right)+\left(\frac{F_{\mu \mu \mu \mu}}{3 F_{\varepsilon \varepsilon}}\right)=0 .
\]

Уравнение (II.22) имеет два корня
\[
\left[\begin{array}{l}
\varepsilon_{\mu \mu}^{(1)}\left(\mu_{0}\right) \\
\varepsilon_{\mu \mu}^{(2)}\left(\mu_{0}\right)
\end{array}\right]=-\frac{F_{\varepsilon \mu \mu}}{F_{\varepsilon \varepsilon}}\left[\begin{array}{l}
1 \\
1
\end{array}\right]+\sqrt{\frac{\mathscr{D}_{2}}{F_{\varepsilon \varepsilon}^{2}}}\left[\begin{array}{r}
1 \\
-1
\end{array}\right],
\]

где
\[
\mathscr{D}_{2}=F_{\varepsilon \mu \mu}^{2}-\left(\frac{F_{\varepsilon \varepsilon} F_{\mu \mu \mu \mu}}{3}\right) .
\]

В точке касания второго порядка двух кривых они имеют общую касательную и разные вещественные кривизны. Отсюда следует, что $\mathscr{D}_{1}>0$ или $\mathscr{D}_{2}>0$ в точке касания второго порядка.

На основе теоремы о неявной функции можно показать, что кривизны, даваемые формулами (II.20) и (II.23), соответствуют вещественным кривым, проходящим через точку возврата.