Анализ наименее сложен, если $r$ иррационально; поэтому используем рассмотрение этого случая, чтобы ввести понятие тора и асимптотически квазипериодического решения на торе. Отметим, что системы (X.40,41) автономны с точностью до членов $R_{j}$, которыми можно пренебречь в первом приближении. Уравнение (X. 25 ) для $\mathbf{Y}$ содержит линейную сжимающую часть $J(\mu)=-(d / d t)+\mathbf{f}_{u}(t, \mu \mid \cdot)$, потому что все экспоненты Флоке $\sigma=\xi+i \eta$ имеют отрицательные вещественные части в $\mathbf{Y}$-подпространстве, т. е. для векторов $\mathbf{Y}$, удовлетворяющих условию $\left\langle\mathbf{Y}, \zeta^{*}\right\rangle=0$. Для автономных задач в $\mathbb{R}^{2}$ решениями неизменного вида являются неподвижные точки или замкнутые кривые, соответствующие предельным циклам. В самом деле, мы получим замкнутую кривую $\rho(\theta)$ для системы, аппроксимирующей систему (X. $40,41,44,25$ ), если $R_{1}, R_{2}$ и $\mathbf{B}_{2}$ положить равными нулю. Будет показано, что приближенная задача имеет периодическое решение с частотой, зависящей от амплитуды, при этом амплитудой служит средний радиус замкнутой кривой $\rho(\theta)$. Решение исходной задачи (более точно, приближение ее решения с точностью до членов порядка $\rho^{N}$ ) представляет собой суперпозицию $T$-периодических функций и вышеупомянутых периодических решений с периодом $\tau$, зависящим от усредненного значения $\varepsilon$ функции $\rho(\theta)$.

Чтобы наглядно представить себе двумерный тор, удобно проследить этапы наших вычислений. Сначала напомним, что исходная задача (X.1) была приведена к локальной форме; решение $\mathbf{u}=0$ уравнения (X.1) соответствует нетривиальному $T$-периодическому решению $\mathbf{U}(t)=\mathbf{U}(t+T)$. Это решение можно представить в виде окружности в $(n+1)$-мерном фазовом пространстве, координатами которого являются компоненты вектора $\mathbf{u}$ и время $t$. Эта «окружность» отождествляется с решением $\mathbf{u}=0$ в $\mathbb{R}^{n}$ и множеством чисел $t \in[0, T)$, где $t+T$ отождествляется с точкой $t \in[0, T$ ) (потому что $\mathbf{U}(t+T)=\mathbf{U}(t))$. Интервал [0,T) и правило отождествления для $t+T$ называется одномерным тором $T^{1}$. Отождествление означает, что мы «соединяем» концы интервала $[0, T$ ) и образуем окружность $T^{1} \times 0$ в $\mathbb{R}^{n+1}$. Эта окружность является предельным циклом для нетривиальной периодической задачи, который можно наглядно представить себе как настоящую окружность любого радиуса с углом $\varphi=$ $=2 \pi t / T$, где $\varphi \in[0,2 \pi)$, а $\varphi+2 \pi$ отождествляется с $\varphi$, как показано на рис. X.1.

Двумерный тор $T^{2}$ со средним радиусом в ответвляется от $T^{2}$ при $\varepsilon=0$. Радиус поперечного сечения тора есть $\rho(\theta)=\rho(\theta+2 \pi)$. траектория есть кривая
\[
\theta=\theta(t), \rho=\rho(\theta(t)), \quad \varphi=\frac{2 \pi t}{T}
\]

на торе. Траектории наматываются на тор. Они прошивают отдельное поперечное сечение, например, $A$ на рис. X.1, каждый раз, когда $t$ увеличивается на один период (а $\varphi$ увеличивается на угол $2 \pi$ ). Если после некоторого числа циклов, скажем $n$, за время которых угол $\varphi$ увеличивается на $2 \pi n$, угол $\theta$ также периодически повторяется, т. е.
\[
\theta(t+n T)=\theta(t),
\]

то решение на торе является периодическим. Если решение квазипериодическое, то оно имеет две рационально независимые частоты $2 \pi / T$ и $\omega(\varepsilon)$, при этом $\theta=\omega(\varepsilon) t$. В квазипериодическом случае траектории плотны на торе $T^{2}$ и называются эргодическими.

Пытливый читатель теперь может спросить, почему мы говорим о приближенной задаче с точностью до членов порядка $\rho^{N}$, если $N$ произвольно. Почему не переходим к пределу? Ответ здесь состоит в том, что получаемые решения являются асимптотическими (при $\varepsilon \rightarrow 0$ ) и, вообще говоря, расходящимися (см. замечания в конце этого параграфа). Для расходящихся приближений часто имеет место ситуация, когда существует некоторое оптимальное $N(\varepsilon)$, зависящее от $\varepsilon$, такое что приближения для некоторого $\varepsilon$ становятся все лучше и лучше, если $N<N(\varepsilon)$ и возрастает, и все хуже и хуже, если $N>N(\varepsilon)$ и возрастает. Поэтому лучше представлять себе приближение фиксированного, но произвольного порядка.

Установим теперь вид функции $\rho(\theta)$ и траекторий $\theta(t)$ и покажем, что приближенное решение
$\mathbf{u}^{(N)}(t)=Z^{(N)}(t, \varepsilon) \xi\left(\mu^{(N)}, t\right)+\bar{Z}^{(N)}(t, \varepsilon) \bar{\xi}\left(\mu^{(N)}, t\right)+\mathbf{W}^{(N)}(t, \varepsilon) \quad$ (X.49)
является квазипериодическим с двумя частотами, если $r=\omega_{0} T / 2 \pi$, $0<r<1$, иррационально. В этом случае находим, что $\rho^{N}(\theta)=\varepsilon$ есть постоянная, не зависящая ог $\theta$. Чтобы показать это, рассмотрим приближение уравнения (X.40) с $R_{1}=0$ и найдем его стационарные решения, которые удовлегворяют уравнению
\[
\mu \hat{\xi}(\mu)+\sum_{q \geqslant 1}^{2 q+1 \leqslant N} \operatorname{Re}\left(a_{q}(\mu) \rho^{2 q}\right)=0 .
\]

Вообще говоря, удобно решать это уравнение относительно $\mu$, представляя решение по степеням $\rho^{2}$. Для стационарных решений положим $\rho=\varepsilon$ и разложим левую часть (X.50) по степеням $\varepsilon$, предполагая, что $a_{q}(\mu)$ и $\hat{\xi}(\mu)$ можно разложить по степеням $\mu$. После отождествления коэффициентов при независимых степенях $\varepsilon$ находим, что $\mu=\mu^{(N)}(\varepsilon)$,
\[
\mu^{(N)}(\varepsilon)=-\left(\frac{\left(\operatorname{Re} a_{1}(0)\right) \varepsilon^{2}}{\hat{\xi}(0)}\right)+O\left(\varepsilon^{4}\right)=\mu^{(N)}(-\varepsilon), \rho^{(N)}=\varepsilon .
\]

Кроме того, в том же самом приближении, пренебрегая членом $R_{2}$, находим, что решение уравнения (X.41) имеет вид
\[
\theta^{(N)}=\varepsilon^{2 \hat{\theta}^{(N)}}\left(\varepsilon^{2}\right) t,
\]

где
\[
\varepsilon^{2} \hat{\theta}^{(N)}\left(\varepsilon^{2}\right)=\mu^{(N)}(\varepsilon) \dot{\hat{\omega}}\left[\mu^{(N)}(\varepsilon)\right]+\sum_{q \geqslant 1}^{2 q+1 \leqslant N} \operatorname{Im}\left(a_{q}\left[\mu^{(N)}(\varepsilon)\right] \varepsilon^{2 q}\right) .
\]

Прослеживая в обратном порядке замены переменных, находим, что приближенное решение до $N$ членов ( $N$ произвольное) уравнения (X.1) имеет вид (X.49), где
\[
\begin{array}{l}
Z^{(N)}(t, \varepsilon)=\varepsilon \exp \left[i\left(\omega_{0}+\varepsilon^{2} \hat{\theta}^{(N)}\left(\varepsilon^{2}\right)\right) t\right]+ \\
\quad+\sum_{p+q \geqslant 2}^{N} \gamma_{p q}^{\prime}\left(t, \mu^{(N)}(\varepsilon)\right) \varepsilon^{p+q} \exp \left\{i(p-q)\left[\omega_{0}+\varepsilon^{2} \hat{\theta}^{(N)}\left(\varepsilon^{2}\right)\right] t\right\}, \quad(\mathrm{X} .54)_{1}
\end{array}
\]
a
\[
\mathbf{W}^{(N)}(t, \varepsilon)=\sum_{p+q \geqslant 2}^{N} \Gamma_{p q}^{\prime}\left(t, \mu^{(N)}(\varepsilon)\right) \varepsilon^{p+q} \exp \left\{(p-q) i\left[\omega_{0}+\varepsilon^{2 \hat{\theta}(N)}\left(\varepsilon^{2}\right)\right] t\right\},
\]

при этом $\mu^{(N)}(\varepsilon)$ и $\hat{\theta}^{(N)}\left(\varepsilon^{2}\right)$ определяются формулами (X.51) и (X.53). Мы утверждаем без доказательства, что решения на торе удовлетворяют оценкам
\[
\begin{aligned}
\mu(\varepsilon)-\mu^{(N)}(\varepsilon) & =O\left(\varepsilon^{N+2}\right), \\
\mathbf{W}(t, \mu)-\tilde{\mathbf{W}}^{(N)}(t, \varepsilon) & =O\left(\varepsilon^{N+1}\right), \\
Z(t, \mu)-\tilde{Z}^{(N)}(t, \varepsilon) & =O\left(\varepsilon^{N+1}\right), \\
\zeta(\mu, t)-\zeta\left(\mu^{(N)}, t\right) & =O\left(\mathrm{e}^{N+2}\right),
\end{aligned}
\]

где $\tilde{\mathbf{W}}^{(N)}$ и $Z^{(N)}$ получаются из выражений (X.54) в результате замены $\varepsilon^{2} \hat{\theta}^{(N)}\left(\varepsilon^{2}\right) t$ на $\theta(t)$, а
\[
\theta(t)-e^{2} \hat{\theta}^{(N)}\left(\varepsilon^{2}\right) t=\chi(t, \varepsilon) .
\]

Эти оценки являются равномерными по $t$, даже если $\chi(t, \varepsilon)$ содержит вековые члены, которые, подобно членам, линейным по $t$, неограниченны. Тем не менее $|\dot{\chi}(t, \varepsilon)|=O\left(\varepsilon^{N}\right)$. Все функции $\zeta\left(\mu^{(N)}, t\right)$, $\gamma_{p q}^{\prime}\left(t, \mu^{(N)}\right)$ и $\Gamma_{p q}^{\prime}\left(t, \mu^{(N)}\right)$ суть $T$-периодические.
Теперь мы утверждаем, что вектор
\[
\mathbf{u}^{(N)}(t)=\mathcal{U}^{(N)}\left(\tau_{1}(t), \tau_{\mathbf{8}}(t)\right),
\]

даваемый формулой (X.49), представляет собой дважды периодическую вектор-функцию, для которой
\[
\tau_{1}(t)=t, \quad \tau_{2}(t)=\left[\omega_{0}+\varepsilon^{2} \hat{\theta^{(N)}}\left(\varepsilon^{2}\right)\right] t,
\]

и что
\[
U^{(N)}\left(\tau_{1}, \tau_{2}\right)=U^{(N)}\left(\tau_{1}+T, \tau_{2}\right)=\mathcal{U}^{(N)}\left(\tau_{1}, \tau_{2}+2 \pi\right) .
\]

Поэтому говорят, что поток является асимптотически квазипериодическим с двумя основными частотами
\[
\omega_{1}=\frac{2 \pi}{T}, \quad \omega_{2}=\omega_{0}+\varepsilon^{2 \hat{\theta}(N)}\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

Вторая частота является полиномом относительно $\varepsilon^{2}$, однако ряд для нее, формально получаемый при $N \rightarrow \infty$, вообще говоря, расходится. Пока не существует прямого доказательства расходимости, но сходимость противоречила бы некоторым немного экзотическим математическим теоремам, которые выходят за рамки элементарной книги (см. G. Iooss, Bifurcation of Maps and Applications (Amsterdam: North-Holland, 1979)). Отметим, что $\mathcal{U}^{(N)}$ является квазипериодической вектор-функцией для таких значений $\varepsilon$, для которых $T / 2 \pi\left(\omega_{0}+\varepsilon^{2} \hat{\theta}^{(N)}\left(\varepsilon^{2}\right)\right)$ есть иррациональное число. В рациональном случае она периодическая; однако строго доказано, что линейная зависимость (X.55) $)_{2} \tau_{1}$ и $\tau_{2}$ от $t$, вообще говоря, не имеет места для точного решения $\mathbf{u}(t)$ при всех значениях $\varepsilon$.