Рассмотрим линейный оператор $\mathbf{P}$, определенный в $\mathbb{R}^{n}$ соотношением
\[
\mathbf{P} \cdot \mathbf{x}=\left\langle\mathbf{x}, \psi^{*}\right\rangle \psi \text { для любого } \mathbf{x} \text { в } \mathbb{R}^{n},
\]

где $\psi$ и $\psi^{*}$-два вектора, удовлетворяющие условию $\left\langle\boldsymbol{\psi}, \boldsymbol{\psi}^{*}\right\rangle=1$. Тогда $\mathbf{P}^{2} \cdot \mathbf{x}=\mathbf{P}(\mathbf{P} \cdot \mathbf{x})=\left\langle\mathbf{x}, \quad \boldsymbol{\psi}^{*}\right\rangle \mathbf{P} \cdot \boldsymbol{\psi}=\left\langle\mathbf{x}, \quad \boldsymbol{\psi}^{*}\right\rangle \mathbf{I} \cdot \boldsymbol{\psi}=\mathbf{P} \cdot \mathbf{x}$, и поэтому имеем
\[
\mathbf{P}^{2}=\mathbf{P} \text {. }
\]

Более обще, всякий линейный оператор $\mathbf{P}$ в $\mathbb{R}^{n}$, удовлетворяющий условию $\mathbf{P}^{2}=\mathbf{P}$, называется проекцией.

Рассмотрим теперь семейство $р$ векторов $\left(\psi_{1}, \ldots, \psi_{p}\right.$ ) из $\mathbb{R}^{n}$ и биортогональное семейство $\left(\Psi_{1}^{*}, \ldots, \Psi_{p}^{*}\right)$, удовлетворяющие условиям
\[
\left\langle\psi_{i}, \psi_{i}^{*}\right\rangle=\delta_{i j}, i, j=1, \ldots, p .
\]

Тогда можно определить линейнь.й оператор $\mathbf{P}$ следующим образом:
\[
\mathbf{P} \cdot \mathbf{x}=\sum_{i=1}^{p}\left\langle\mathbf{x}, \boldsymbol{\Psi}_{i}^{*}\right\rangle \boldsymbol{\psi}_{i},
\]

Легко проверить, что (IV.39) выполняется; поэтому (IV.41) определяет проекцию на $p$-мерное подпространство пространства $\mathbb{R}^{n}$. У’словия (IV.40) необходимы, иначе для этого оператора не выполнялось бы условие $\mathbf{P}^{2}=\mathbf{P}$.

Пример IV. 2 (в $\mathbb{R}^{3}$ ). Векторы
\[
\Psi_{1}=\left[\begin{array}{r}
1 \\
-1 \\
0
\end{array}\right], \quad \Psi_{2}=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right], \quad \Psi_{1}^{*}=\left[\begin{array}{r}
0 \\
-1 \\
0
\end{array}\right], \quad \psi_{2}^{*}=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right]
\]

удовлетворяют условиям $\left\langle\boldsymbol{\psi}_{i}, \boldsymbol{\psi}_{j}^{*}\right\rangle=\delta_{i j}, i, j=1,2$.
Матрицу проекции $\mathbf{P}$, определяемую соотношением
\[
\mathbf{P} \cdot \mathbf{x}=\sum_{i=1}^{2}\left\langle\mathbf{x}, \psi_{i}^{*}\right\rangle \boldsymbol{\psi}_{i},
\]

можно посюроить из столбцов P.е, матрицы $\mathbf{P}$, где $\mathbf{e}_{\text {, суть стан- }}$ дартные ортонормированные базисные векторы в $\mathbb{R}^{n},\left\langle\mathbf{e}_{i}, \mathbf{e}_{j}\right\rangle=\delta_{i j}$. Поэтому
\[
(\mathbf{P} \cdot \mathbf{x}) \cdot \mathbf{e}_{l}=(\mathbf{P} \cdot \mathbf{x})_{l}=\sum_{j=1}^{3}\left(\mathbf{P} \cdot \mathbf{e}_{j}\right)_{l} x_{j} .
\]

Таким образом, $P_{l j}=\left(\mathbf{P} \cdot \mathbf{e}_{j}\right)_{l}$. Например, (IV.42) можно было бы записать в виде
\[
(\mathbf{P} \cdot \mathbf{x})_{l}=\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{3}\left\langle\mathbf{e}_{j}, \boldsymbol{\psi}_{i}^{*}\right\rangle\left\langle\boldsymbol{\psi}_{i}, \mathbf{e}_{l}\right\rangle x_{j},
\]

так что
\[
P_{t j}=\sum_{i=1}^{2}\left\langle\mathbf{e}_{j}, \boldsymbol{\psi}_{i}^{*}\right\rangle\left\langle\boldsymbol{\psi}_{i}, \mathbf{e}_{l}\right\rangle .
\]

Поэтому
\[
\mathbf{P}=\left[\begin{array}{rrr}
0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right] \text { и } \mathbf{P}^{2}=\mathbf{P} .
\]

Проекции представляют собой математический инструмент, который мы применяем для уменьшения размерности бифуркационных задач. Чаще используют проекции, коммутирующие с линейным оператором $\mathbf{A}$ :
\[
\mathbf{P} \cdot \mathbf{A}=\mathbf{A} \cdot \mathbf{P} \text {. }
\]

Пусть $\mathbf{A}$-линейный оператор в $\mathbb{R}^{n}$ (представимый посредством $(n \times n)$-матрицы), имеющий собственное значение $\sigma$ кратности $n_{v}$ с индексом Риса v. Результаты, приведенные в дополнении IV.1, гарантируют возможность построения проекции $\mathrm{P}$, определяемой соотношением
\[
\mathbf{P} \cdot \mathbf{x}=\sum_{m}\left\langle\mathbf{x}, \boldsymbol{\psi}_{i}^{*(m)}\right\rangle \boldsymbol{\psi}_{i}^{(m)}, \quad 1 \leqslant m \leqslant v_{i} .
\]

Мы утверждаем и затем докажем, что
\[
\mathbf{P} \cdot \mathbf{A} \cdot \mathbf{x}=\mathbf{A} \cdot \mathbf{P} \cdot \mathbf{x} \text { для любого } \mathbf{x} .
\]

Для доказательства определим $\mathbf{T}=\mathbf{A}-\sigma \mathbf{I}$ и покажем, что равенство
\[
\mathbf{P} \cdot \mathbf{T} \cdot \mathbf{x}=\mathbf{T} \cdot \mathbf{P} \cdot \mathbf{x}
\]

эквивалентно (IV.43). Имеем
\[
\begin{aligned}
\mathbf{T} \cdot \mathbf{P} \cdot \mathbf{x} & =\sum_{m}\left\langle\mathbf{x}, \boldsymbol{\psi}_{i}^{*(m)}\right\rangle \mathbf{T} \cdot \boldsymbol{\psi}_{i}^{(m)} \text { для } 2 \leqslant m \leqslant v_{i}, \\
& =\sum_{m}\left\langle\mathbf{x}, \boldsymbol{\psi}_{i}^{*(m+1)}\right\rangle \boldsymbol{\psi}_{i}^{(m)} \text { для } 1 \leqslant m \leqslant v_{1}-1 .
\end{aligned}
\]

Дополнительно к этому имеем
\[
\begin{aligned}
\mathbf{P} \cdot \mathbf{T} \cdot \mathbf{x} & =\sum_{m}\left\langle\mathbf{x}, \mathbf{T}^{T} \cdot \boldsymbol{\psi}_{i}^{(m)}\right\rangle \boldsymbol{\psi}_{i}^{(m)} \text { для } 1 \leqslant m \leqslant v_{i}, \\
& =\sum_{m}\left\langle\mathbf{x}, \boldsymbol{\psi}_{i}^{*(m+1)}\right\rangle \boldsymbol{\psi}_{i}^{(m)} \text { для } 1 \leqslant m \leqslant v_{i}-1,
\end{aligned}
\]

что и доказывает (IV.43).
Пример IV. 3 (в $\left.\mathbb{R}^{4}\right)$
\[
\mathbf{T}=\left[\begin{array}{rrrr}
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right] .
\]

Нулевое собственное значение имеєт кратность 3 и индекс 2 , и можно взять следующую систему обобщенных собственных векторов:
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{\psi}_{1}^{(1)}=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{\psi}_{2}^{(1)}=\left[\begin{array}{r}
1 \\
-1 \\
0 \\
0
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{\psi}_{2}^{(2)}=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right], \\
\boldsymbol{\psi}_{1}^{*(i)}=\left[\begin{array}{r}
1 \\
1 \\
0 \\
-2
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{\psi}_{2}^{*(1)}=\left[\begin{array}{r}
0 \\
-1 \\
0 \\
0
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{\psi}_{2}^{*{ }^{2)}}=\left[\begin{array}{r}
0 \\
0 \\
1 \\
-1
\end{array}\right] .
\end{array}
\]

Проекшия (являющаяся суммой проекций описанного выше типа)
\[
P=\left\langle\cdot, \Psi_{1}^{*, 1)}\right\rangle \boldsymbol{\psi}_{1}^{(1)}+\left\langle\cdot, \psi_{2}^{*(1)}\right\rangle \boldsymbol{\psi}_{2}^{(1)}+\left\langle\cdot, \psi_{2}^{*(2)}\right\rangle \boldsymbol{\psi}_{2}^{(2)}
\]
имеет матричное представление
\[
\mathbf{P}=\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 & -2 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right],
\]

и можно проверить, что
\[
\mathbf{P} \cdot \mathbf{T}=\mathbf{T} \cdot \mathbf{P}=\left[\begin{array}{rrrr}
0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]
\]

действительно совпадает с $\mathbf{T}$ на подпространстве, порождаемом $\boldsymbol{\psi}_{1}^{(1)}$, $\boldsymbol{\psi}_{2}^{(1)}, \boldsymbol{\psi}_{2}^{(2)}$, т. е. $\mathbf{T} \cdot \mathbf{x}=\mathbf{P} \cdot \mathbf{T} \cdot \mathbf{x}$, где $\mathbf{x}=\alpha \boldsymbol{\psi}_{1}^{(1)}+\beta \boldsymbol{\psi}_{2}^{(1)}+\gamma \boldsymbol{\psi}_{2}^{(2)}$. В данном случае это подпространство содержит все векторы, четвертая компонента которых равна нулю.