Здесь и в § V. 8 нас будет интересовать бифуркация и устойчивость стационарных решений при условиях (3) из § V.2. Эти условия состоят в том, что $\sigma(0)=0$-двойное собственное значение (полупростое) с индексом, равным единице. Из этих условий следует, что $a_{0}=b_{0}=c_{0}=d_{0}=0$. Бифуркационные решения можно искать как в форме (V.2), так и в форме (V.3). Если решения в обеих формах существуют, то они эквивалентны и можно переходить от одного к другому: $\left(\mu, u_{1}(\mu), u_{2}(\mu)\right) \leftrightarrows(\varepsilon \lambda(\varepsilon), \varepsilon, \varepsilon y(\varepsilon))$. Здесь мы исследуем форму (V.2), а в § V. 8 рассмотрим решение в форме (V.3).
Стационарные решения (V.2) определяются как корни $\lambda(\varepsilon), y(\varepsilon)$ двух нелинейных уравнений
\[
\tilde{g}_{l}(\lambda, \varepsilon, y)=\frac{g_{l}(\lambda, \varepsilon, y)}{\varepsilon}=0, \quad l=1,2,
\]
где
\[
\begin{array}{l}
\tilde{g}_{1}(\lambda, \varepsilon, y)=\lambda\left(a^{\prime}+b^{\prime} y\right)+\alpha_{1}+2 \beta_{1} y+\gamma_{1} y^{2}+O(\varepsilon), \\
\tilde{g}_{2}(\lambda, \varepsilon, y)=\lambda\left(c^{\prime}+d^{\prime} y\right)+\alpha_{2}+2 \beta_{2} y+\gamma_{2} y^{2}+O(\varepsilon) .
\end{array}
\]
Мы разыскиваем решения (V.20), которые ответвляются в $(\varepsilon, \lambda, y)=$ $=\left(0, \lambda_{0}, y_{0}\right)$. Отсюда следует, чтс
\[
\begin{array}{l}
\tilde{g}_{1}\left(\lambda_{0}, 0, y_{0}\right)=\lambda_{0}\left(a_{0}^{\prime}+b_{0}^{\prime} y_{0}\right)+\alpha_{10}+2 \beta_{10} y_{0}+\gamma_{10} y_{0}^{2}=0, \\
\tilde{g}_{2}\left(\lambda_{0}, 0, y_{0}\right)=\lambda_{0}\left(c_{0}^{\prime}+d_{0}^{\prime} y_{0} !+\alpha_{20}+2 \beta_{20} y_{0}+\gamma_{20} y_{0}^{2}=0 .\right.
\end{array}
\]
1) Эта задача исследована Д. Б. Маклеодом и Д. Г. Саттингером (Loss of stability and bifurcation at a double eigenvalue, J. Functional Analysis, 14, 62 (1973). Задачи с кратными полупростыии собственными значениями возникают в бифуркационных задачах, в которых происходит разрушение пространственной симметрии (см. книгу Саттингера, включенную в список литературы в конце гл. I). Часто случается, что собственные значения, зависящие более чем от одного параметра, являются полупросыми только при специальных соотношениях между параметрами. Поэтому представляется кнтересным исследовать, что происходит, если параметры изменяются таким образом, что кратные собственные значения расщепляются. Этим способом можно даже обнаружить вторичные бифуркацин (см. пример V. 6 и упр. V. 6 в конце этой главы).
Можно гарантировать бифуркацию, используя теорему о неявной функции в $\mathbb{R}^{2}$ (см. дополнение V.1), если
\[
\operatorname{det} \tilde{\tilde{\mathbf{J}}}
eq 0 \text {, }
\]
где матрица $\tilde{\mathbf{J}}$ определяется выражением
\[
\tilde{\mathbf{J}}=\left[\begin{array}{ll}
\frac{\partial \tilde{g}_{1}}{\partial \lambda} & \frac{\partial \tilde{g}_{1}}{\partial y} \\
\frac{\partial \tilde{g}_{2}}{\partial \lambda} & \frac{\partial \tilde{g}_{2}}{\partial y}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
a_{0}+b_{0}^{\prime} y_{0} & 2 \beta_{10}+2 \gamma_{10} y_{0}+\lambda_{0} b_{0}^{\prime} \\
c_{0}^{\prime}+d_{0}^{\prime} y_{0} & 2 \beta_{20}+2 \gamma_{20} y_{0}+\lambda_{0} d_{0}^{\prime}
\end{array}\right]
\]
при $(\varepsilon, \lambda, y)=\left(0, \lambda_{0}, y_{0}\right)$.
Устойчивость $\left(\mu(\varepsilon), u_{1}(\varepsilon), u_{2}(\varepsilon)\right)=(\varepsilon \lambda(\varepsilon), \varepsilon, \varepsilon y(\varepsilon))$ может быть исследована на основе анализа собственных значений матрицы
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{J}=\varepsilon\left[\begin{array}{ll}
\lambda_{0} a_{0}^{\prime}+2 \alpha_{10}+2 \beta_{10} y_{0} & \lambda_{0} b_{0}^{\prime}+2 \beta_{10}+2 \gamma_{10} y_{0} \\
\lambda_{0} c_{0}^{\prime}+2 \alpha_{20}+2 \beta_{20} y_{0} & \lambda_{0} d_{0}^{\prime}+2 \beta_{20}+2 \gamma_{20} y_{0}
\end{array}\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right)= \\
\quad=\varepsilon \mathbf{J}_{0}+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\end{array}
\]
Если \& мало, то можно установить характер уетойчивости по знаку вещественных частей двух собственных значений матрицы $\mathbf{J}_{0}$.
Теперь обратим внимание читателя на большое различие между задачей бифуркации в исследуемом здесь полупростом случае (3) и в ранее рассмотренных случаях (1) и (2) бифуркации в простом собственном значении и в двойном собственном значении с индексом, равным двум. В двух последних случаях $\hat{f}_{l}=\varepsilon g_{l}$, где $g_{1}$ и $g_{2}$ тождественно не равны нулю при $\varepsilon=0$. Тогда члены наименьшего порядка пропорциональны $\varepsilon$ и приводят к линейным уравнениям (V.7) или (V.15), из которых единственным образом определяется $y_{0}$ или $\lambda_{0}$. В настоящем, полупростом случае, $f_{t}=\varepsilon^{2} g_{l}$, где $\tilde{g}_{1}$ и $\tilde{g}_{2}$ отличны от нуля при $\varepsilon=0$. Члены наименьшего порядка пропорциональны $\varepsilon^{2}$ и приводят к нелинейным уравненгям. Из этих нелинейных уравнений мы иногда можем получить несколько бифуркационных решений.
Для того чтобы показать, как задача с полупростым собственным значением приводит к кратным решениям, заметим только, что (V.22) эквивалентно кубическому уравненню $\mathscr{C}\left(y_{0}\right)=0$ относительно $y_{0}$, если $d_{0}^{\prime} \gamma_{10}-b_{0}^{\prime} \gamma_{20}
eq 0$, где
\[
\begin{aligned}
\mathscr{C}\left(y_{0}\right)= & \left(c_{0}^{\prime}+d_{0}^{\prime} y_{0}\right)\left(\alpha_{1 \mathrm{c}}+2 \beta_{10} y_{0}+\gamma_{10} y_{0}^{2}\right)- \\
& -\left(a_{0}^{\prime}+b_{0}^{\prime} y_{0}\right)\left(\alpha_{20}+2 \beta_{20} y_{0}+\gamma_{20} y_{0}^{2}\right) .
\end{aligned}
\]
Это уравнение имеет или три вещегтвенных корня, или два вещественных корня, один из которых кратный, или один трехкратный вещественный корень (см. рис. V.2).
Для каждого простого вещественного корня $y_{0}^{[k]}$ кубического уравнения $\mathscr{C}\left(y_{0}\right)=0$ можно построить бифуркационное решение $\left(\lambda^{[k]}(\varepsilon)\right.$, $y^{[k]}(\varepsilon)$ в виде ряда по степеням $\varepsilon$. Так как $1 \leqslant k \leqslant 3$, то может быть 1,2 или 3 решения с различными бифуркационными кривыми $\lambda^{[k]}(\varepsilon)$, как показано на рис. V.3. Для того чтобы получить коэффициенты степенных рядов, необходимо произвести повторное дифференцирование $\tilde{g}_{l}\left(\lambda^{[k]}(\varepsilon), \varepsilon, y^{[k]}(\varepsilon)\right)$ по $\varepsilon$ при $\varepsilon=0$. Например, можно вычислить $d \lambda^{[k]}(0) / d \varepsilon$ и $d y^{[k]}(0) / d \varepsilon$ из двух уравнений ( $l=1,2$ )
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \tilde{g}_{l}\left(\lambda^{[k]}, 0, y^{[k]}\right)}{\partial \varepsilon}+ \\
+\frac{d \lambda^{[k]}}{d \varepsilon}(0) \frac{\partial \tilde{g}_{l}\left(\lambda^{[k]}, 0, y^{[k]}\right)}{\partial \lambda}+ \\
+\frac{\partial \tilde{g}_{l}}{\partial y} \frac{d y^{[k]}}{d \varepsilon}(0)=0 .
\end{array}
\]
Рис. V.2. Число решений, которые мсгут ответвляться от $\varepsilon=0$ в двойном полупростом собственном значении и соответствующие корням кубического уравнения $\mathscr{C}\left(y_{0}\right)=0$, если $d_{0}^{\prime} \gamma_{10}-b_{0}^{\prime} \gamma_{20}
eq 0$.
Вторые производные $\left(d y^{[k]} / d \varepsilon\right)(0) \quad$ и $\quad(d \lambda[k] / d \varepsilon)(0)$ можно вычислить, дифференцируя $\tilde{g}$ дважды, и т. д.
Распределение устойчивости решений, которые разветвляются в полупростом случае, носит сложный характер. Здесь могут иметь место самые разнообразные случаи (см. § V.9).
