Вектор $\mathbf{Z}(s)$ удовлетворяет уравнению $\mathfrak{J Z}=0$, где
\[
\text { § } \stackrel{\text { def }}{=}-\omega_{0} \frac{d}{d s}+\mathbf{F}_{v}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}(s) \mid \cdot\right)
\]
— линейный оператор, действующий на $2 \pi n$-периодические функции от $s, n \in \mathbb{N}$, а $\mathbf{U}_{0}(s) \stackrel{\text { def }}{=} \mathbf{U}\left(s, \mu_{0}\right)$. Линейный оператор
\[
\mathfrak{J}^{*}=\omega_{0} \frac{d}{d \mathrm{~s}}+\mathbf{F}_{v}^{*}\left(\mu_{0}, \mathbf{U}_{0}(s \mid \cdot)\right.
\]

является сопряженным по отношению к оператору 』 относительно скалярного произведения $[\cdot, \cdot]_{2 \pi n}$, т. е. $[\mathfrak{J} \mathbf{a}, \mathbf{b}]=[\mathbf{a}, \sqrt{ } * \mathbf{b}]_{2 \pi n}$ для произвольных $2 \pi n$-периодических векторов $\mathbf{a}(s)$ и $\mathbf{b}(s)$.

При выполнении условия (I) или (II) относительно $J_{0}$ существует, по крайней мере, $2 \pi n$-периодическая вещественная собственная функция
\[
\mathbf{Z}_{0}(s)=\dot{\mathbf{U}}_{0}(s)=\mathbf{Z}_{0}(s+2 \pi) .
\]

Если $\eta_{0}
eq 0$, или если $\gamma\left(\mu_{0}\right)=0$ представляет собой геометрически двойное собственное значение, то собственный вектор
\[
\mathbf{Z}_{i}(s)=e^{i(m / n) s} \boldsymbol{\Gamma}_{0}(s)=\mathbf{Z}_{1}(s+2 \pi n)
\]

соответствует нулевому собственному значению оператора $\mathfrak{J}$, т. е. $\mathfrak{I} \mathbf{Z}_{0}=\mathfrak{I} \mathbf{Z}_{1}=0$. Если $\mathbf{Z}_{1}(s)$-комплексный вектор, то
\[
\mathbf{Z}_{2}(s)=\overline{\mathbf{Z}}_{1}(s)
\]

также является собственной функцией оператора $ภ$, соответствующей нулевому собственному значению. Соображения, приведенные в § IX. 7 и § IX.8, приложимы и здесь. Вектор $\mathbf{Z}_{1}(s)$ можно считать вещественным, если таковым является множитель $\lambda_{0}$, т. е. когда
\[
\lambda_{0}=1, \quad \frac{m}{n}=\frac{0}{1}
\]

или
\[
\lambda_{10}=-1, \quad \frac{m}{n}=\frac{1}{2} .
\]

Во всех других случаях $\lambda_{0}$ есть комплексное число.
В § IX. 8 была приведена лемма, относящаяся к оператору 』 для нетривиальной $T$-периодической задачи. Теперь мы хотим сформулировать соответствуюшую лемму для автономной задачи. Эта лемма дает объяснение тому факту, что в автономной задаче вектор $\dot{\mathbf{U}}_{0}=\mathbf{Z}_{0}$ всегда принадлежит нуль-пространству оператора $\mathfrak{\Omega}, \sqrt{ } \mathbf{Z}_{0}=0$.

Пусть выполняется условие (I) или (II) относительно собственного значения оператора $J_{0}$. Тогда имеют место следующие случаи.

(a) $n=1$ и нуль есть двойное (полупростое) с индексом один собственное значение оператора $\mathfrak{J}=J_{0}$. В этом случае можно найти $2 \pi$ периодические векторы, удовлетворяющие следующим уравнениям
\[
\begin{array}{c}
Z_{0}(s)=\dot{U}_{0}(s)=\Gamma_{00}(s), \quad Z_{0}^{*}=\Gamma_{00}^{*}(s), \\
Z_{1}(s)=\Gamma_{01}(s), \quad Z_{1}^{*}(s)=\Gamma_{01}^{*}(s),
\end{array}
\]

так что $\mathfrak{J} \mathbf{Z}_{l}=\mathfrak{J} * \mathbf{Z}_{i}^{*}=0$,
\[
\left[\mathbf{Z}_{l}, \mathbf{Z}_{m}^{*}\right]_{2 \pi}=\delta_{l n}, \quad l, m=1,2 .
\]

При выполнении условий случая (а) потеря устойчивости решения $\dot{\mathbf{U}}(\cdot, \mu)$ носит до некоторой степени особый характер. Например, в случае бифуркации Хопфа, изученной в § VIII.4, случай (а) не может иметь места, если не выполняется равенство $\omega_{\mu}\left(\mu_{0}\right)=0$ и если не реализуются некоторые дополнительные условия (указанные после формулы (XI.27)).
(б) $n=1$, нуль есть (не полупростое) с индексом два собственное значение оператора $\mathfrak{I}=J_{0}$ с одним правильным собственным вектором $\boldsymbol{Z}_{0}=\boldsymbol{\Gamma}_{00}$, одним обобщенным собственным вектором $\mathbf{Z}_{1}=\boldsymbol{\Gamma}_{01}$, соответствующим правильному сопряженному собственному вектору $\mathbf{Z}_{1}^{*}=\boldsymbol{\Gamma}_{01}^{*}$, и с обобщенным сопряженным собственным вектором $\mathbf{Z}_{0}^{*}=\Gamma_{00}^{*}$, удовлетворяющим задаче (XI.29) и (XI.30).

B § VIII. 4 были даны некоторые достаточные условия реализуемости случая (б), если $\omega_{\mu}\left(\mu_{0}\right)
eq 0$.
(в) $n=2$, нуль есть полупростое двойное собственное значение оператора $\sqrt{2}$ свумя вещественными $4 \pi$-периодическими собственными векторами
\[
\begin{array}{r}
\mathbf{Z}_{0}(s)=\dot{\mathbf{U}}_{0}(s)=\mathbf{Z}_{0}(s+2 \pi), \\
\mathbf{Z}_{1}(s)=e^{i(s / 2)} \boldsymbol{\Gamma}_{0}(s)=\overline{\mathbf{Z}}_{1}(s)=\mathbf{Z}_{1}(s+4 \pi),
\end{array}
\]
\[
(\mathrm{XI} .16)_{3}
\]

удовлетворяющими условиям (XI.16) 1 $^{2}$.
(г) $n>2$, нуль есть полупростое тройное собственное значение оператора \& с одним вещественным $2 \pi$-периодическим собственным вектором $\mathbf{Z}_{0}(s)=\dot{U}(s)$ и двумя комплексными $2 \pi n$-периодическими собственными векторами
\[
\mathbf{Z}_{1}(s)=e^{i(m / n) s} \boldsymbol{\Gamma}_{0}(s), \Gamma_{0}(s)=\Gamma_{0}(s+2 \pi),
\]

и $\overline{\mathbf{Z}}_{1}=\mathbf{Z}_{2}$. В этом случае собственные векторы удовлетворяют условиям биортогональности
\[
\left[Z_{l}, Z_{m}^{*}\right]_{2 \pi n}=\delta_{l m}, \quad l, m=0,1,2 .
\]