Обратимся теперь к исследованию устойчивости стационарных бифуркационных решений в $\mathbb{R}^{2}$. Для любого стационарного бифуркационного решения $(\mu(\varepsilon), u(\varepsilon)$ ) имеем $\mathbf{f}(\mu(\varepsilon), u(\varepsilon))=0$. Бесконечно малое возмущение $\mathbf{v}$ решения $\mathbf{u}(\varepsilon)$ удовлетворяет уравнению
\[
\frac{d \mathbf{v}}{d t}=\mathbf{f}_{u}(\mu(\varepsilon), \mathbf{u}(\varepsilon) \mid \mathbf{v}),
\]
где в $\mathbb{R}^{2}$
\[
\mathbf{f}_{u}(\mu(\varepsilon), \mathbf{u}(\varepsilon) \mid \mathbf{v})=\mathcal{A}(\varepsilon) \cdot \mathbf{v},
\]
а $\mathcal{A}(\varepsilon)$ есть $(2 \times 2)$-матрица. Полагая $\mathbf{v}=e^{\gamma t \zeta}$ и используя (VI.23), получаем спектральное уравнение
\[
\gamma \zeta=\mathbf{f}_{n}(\mu(\varepsilon), \mathbf{u}(\varepsilon) \mid \zeta) .
\]
$\mathrm{B} \mathbb{R}^{2}$ существуют два собственных значения $\gamma$ матрицы $\mathcal{A}(\varepsilon)$. Одно из них близко к $\xi_{1}(0)=0$, а другое-к $\xi_{2}(0)$. Если $\varepsilon$ близко к нулю, то два собственные значения обязательно вещественные, если $\xi_{2}(0)
eq 0$, так как комплексные собственные значения должны появляться комплексно-сопряженными парами. Задача на собственные значения, сопряженная к (VI.24), описывается уравнением
где в $\mathbb{R}^{2}$
\[
\overline{\gamma \zeta^{*}}=\mathbf{f}_{u}^{*}\left(\mu(\varepsilon), \mathbf{u}(\varepsilon) \mid \zeta^{*}\right) .
\]
\[
\mathbf{f}_{u}^{*}\left(\mu(\varepsilon), \mathbf{u}(\varepsilon) \mid \zeta^{*}\right)=\mathcal{A}^{T}(\varepsilon) \cdot \zeta^{*}
\]
и $\mathcal{A}^{T}(\varepsilon)$-матрица, транспонированная к $\mathcal{A}(\varepsilon)$.
Теорема о факторизации. Пусть $\zeta(\varepsilon) u \bar{\zeta}^{*}(\varepsilon)$-собственные векторы, принадлежащие $\gamma(\varepsilon)$, и пусть $\gamma(\varepsilon)$-простое собственное значение $\mathrm{f}_{u}(\mu(\varepsilon), \mathbf{u}(\varepsilon) \mid \cdot) \quad u\left\langle\mathbf{u}_{\varepsilon}(\varepsilon), \zeta^{*}(\varepsilon)\right\rangle
eq 0$. Тогда
\[
\begin{array}{c}
\gamma(\varepsilon)=\frac{-\mu_{\varepsilon}(\varepsilon)\left\langle\mathbf{f}_{\mu}(\mu(\varepsilon), \mathbf{u}(\varepsilon)), \zeta^{*}(\varepsilon)\right\rangle}{\left\langle\mathbf{u}_{\varepsilon}(\varepsilon), \zeta^{*}(\varepsilon)\right\rangle}, \\
\zeta(\varepsilon)=\frac{1}{\left\langle\mathbf{u}_{\varepsilon}(\varepsilon), \zeta^{*}\left(\varepsilon_{j}\right\rangle\right.}\left\{\mathbf{u}^{\prime}(\varepsilon)+\mu_{\varepsilon}(\varepsilon) \mathbf{q}(\varepsilon)\right\},
\end{array}
\]
где $\mathbf{q}(\varepsilon)$ удовлетворяет соотношению
\[
-\frac{\left\langle\mathbf{f}_{\mu}, \zeta^{*}\right\rangle}{\left\langle\mathbf{u}_{\varepsilon}, \zeta^{*}\right\rangle} \mathbf{u}_{\varepsilon}+\mathbf{f}_{\mu}(\mu(\varepsilon), \mathbf{u}(\varepsilon))+\left(\gamma \mathbf{q}-\mathbf{f}_{u}(\mu(\varepsilon), \mathbf{u}(\varepsilon) \mid \mathbf{q})\right)=0
\]
$u$
\[
\left\langle\mathbf{q}(\varepsilon), \zeta^{*}(\varepsilon)\right\rangle=0 .
\]
Кроме того, при $\varepsilon \rightarrow 0$ имеем $\mu(\varepsilon) \rightarrow 0, \zeta^{*}(\varepsilon) \rightarrow y_{1}, \quad \mathbf{u}_{\varepsilon}(\varepsilon) \rightarrow \mathbf{x}_{1}$, $\left\langle\mathbf{f}_{\mu}(\mu(\varepsilon), \mathbf{u}(\varepsilon)), \xi^{*}\right\rangle \rightarrow\left\langle\mathbf{f}_{\mu u}\left(0,0 \mid \mathbf{x}_{1}\right), \mathbf{y}_{1}\right\rangle \varepsilon=\xi_{1}^{\prime}(0) \varepsilon$
$u$
\[
\gamma_{\varepsilon}(\varepsilon)=-\mu_{\varepsilon}(\varepsilon)\left\{\xi_{1}^{\prime}(0) \varepsilon+O\left(\varepsilon^{2}\right)\right\} .
\]
Доказательство. Так как $\mathbf{f}(\mu(\varepsilon), \mathbf{u}(\varepsilon))=0$, то после дифференцирования по $\varepsilon$ получаем
\[
\mu_{\varepsilon}(\varepsilon) \mathbf{f}_{\mu}(\mu(\varepsilon), \mathbf{u}(\varepsilon))+\mathbf{f}_{z}\left(\mu(\varepsilon), \mathbf{u}(\varepsilon) \mid \mathbf{u}_{\varepsilon}(\varepsilon)\right)=0 .
\]
Соотношение (VI.25) получается из скалярного произведения <(VI.29), $\left.\zeta^{*}\right\rangle$ с использованием преобразования $\left\langle\mathbf{f}_{\mu}\left(\mu, \mathbf{u} \mid \mathbf{u}_{\varepsilon}\right), \quad \xi^{*}\right\rangle=\left\langle\mathbf{u}_{\varepsilon}\right.$, $\left.\tilde{f}_{u}^{*}\left(\mu, \mathbf{u} \mid \zeta^{*}\right)\right\rangle=\gamma\left\langle\mathbf{u}_{\varepsilon}, \zeta^{*}\right\rangle$. Для того чтобы найти (VI.27), подставим (VI.25) и (VI.26) в (VI.24) и исключим $\mathbf{f}_{u}\left(\mu, \mathbf{u} \mid \mathbf{u}_{\varepsilon}\right.$ ) при помощи (VI.29). Тогда произведение $\mu_{\varepsilon}(\varepsilon)$ на левую часть (VI.27) равно ну. лю. Теперь можно показать, что функция $\mathbf{q}_{\varepsilon}$, удовлетворяющая (VI.27), является гладкой по $\varepsilon$, а потому все члены левой части (VI.27) представляют собой гладкие функции по $\varepsilon$. Следоввательно. $\mu_{\varepsilon}(\varepsilon)$ есть истинный множитель, и левая часть (VI.27) равна нулю Чтобы найти решение $\mathbf{q}$ задачи (VI.27), сначала нужно решить задачу (VI.24).
Факторизация (VI.25) для $\mathbb{R}^{\mathbf{1}}$ как проекции аналогична факторизации (II.44) для $\mathbb{R}^{\mathbf{1}}$, а (VI.28) для $\mathbb{R}^{\mathbf{1}}$ как проекции совпадает $\mathrm{c}$ (II.53) для $\mathbb{R}^{1}$. Все заключения о локальных свойствах бифуркационных решений являются одними и теми же в $\mathbb{R}^{1}$ и в $\mathbb{R}^{1}$ как проекции.
