Чтобы понять, как ведут себя траектории на торе и вблизи него, необходимо рассмотреть свойства субгармонических решений на торе, порождаемые захватом частоты. Краткое обсуждение этого вопроса дано в § X.15. Здесь достаточно выявить свойства субгармонических решений на торе, который ответвляется в критической точке, если экспонентой Флоке является рациональная точка.

Пусть ${\omega }_0=2\pi m/nT,n⩾3$. Если $x$-стационарное решение уравнения (X.35), то $y(t)=e^{i{\omega }_{0}t}x$ есть $nT$-периодическая функция, а $Z(t)=$ $=y(t)-\gamma (t,\mu ,Z(t),\overline{Z}(t))$ и $\mathbf{u}(t)=Z(t)\zeta (t)+\overline{Z}(t)\overline{\zeta }(t)-\mathbf{\Gamma }(t,\mu$, $Z(t),\overline{Z}(t))$ представляют собой суперпозиции $T$-периодических и $nT$-периодических функций. Поэтому из стационарных решений уравнения (X.35) мы получаем некоторое приближение субгармонических решений с точностью до, членов $O\left(|x{|}^{N+1}\right)$.
Рассмотрим случаи $n=3$ и $n=4$ сильного резонанса:
$$\begin{array}{ll}n=3:& \dot{x}=\mu \hat{\sigma }x+x|x{|}^2{a}_1+{\overline{x}}^2{a}_{0,-1}+O\left(|x{|}^4\right),\\ n=4:& \dot{x}=\mu \hat{\sigma }x+x|x{|}^2{a}_1+{\overline{x}}^3{a}_{0,-1}+O\left(|x{|}^5\right).\end{array}$$

Стационарные решения $x$ находим в форме (IX.68) и (IX.80). Следуя методу, использованному в гл. IX, определим некоторую амплитуду $\delta$ (прежде был введен параметр $\epsilon$, который был определен как средний радиус профиля поперечного сечения тора, описываемый уравнением $\rho =\rho (\theta ))$ и положим $x=\delta e^{i\phi (\delta )}$ и $\mu ={\mu }^{(1)}\delta +{\mu }^{(2)}{\delta }^2+{\mu }^{(3)}{\delta }^3+\dots$. Если $n=3$, то из баланса главных членов получаем уравнение
$${\mu }^{(1)}\widehat{{\sigma }_0}{e}^{i{\phi }_0}+e^{-2i{\phi }_0}{a}_{0,-1}=0,$$

которое соответствует уравнению (IX.68). В критической точке по обе стороны от нее при малых $\delta$ ответвляется одно $3T$-периодическое решение и уравнения (X.1) (см. § IX.14).
Если же $n=4$, то получаем ${\mu }^{(1)}=0$ и приходим к уравнению
$$({\mu }^{(2)}{\hat{\sigma }}_0+a_1)e^{i{\phi }_0}+e^{-3i{\phi }_{\circ }}{a}_{0,-1}=0,$$

которое соответствует уравнению (IX.80). Находим, что ответвляются два $4T$-периодических решения и уравнения (X.1), если выполняется одно вполне определенное неравенство, вытекающее из (X.26) (см. (IX.83)).

Если $n⩾5$, то приходим к случаю слабого резонанса и находим, что субгармонические решения возможны, если только выполняются исключительные условия. В первом приближении по $\delta$ находим, что ${\mu }^{(1)}=0$, а во втором приближении получаем уравнение
$${\mu }^{(2)}{\hat{\sigma }}_0+a_1=0.$$
$У$ равнение (X.127) не может иметь вещественного решения ${\mu }^{(2)}$, если $a_1/{\hat{\sigma }}_0$ не является вещественным числом. Отсюда получаем первое исключительное условие; оно совпадает с условием (IX.101) и имеет место для всех $n⩾5$. Для $n=5$ имеем
$$\dot{x}=\mu \hat{\sigma }x+x|x{|}^2{a}_1+{\overline{x}}^4{a}_{0,-1}+O\left(|x{|}^6\right).$$

В третьем приближении получаем
$${\mu }^{(3)}{\hat{\sigma }}_v+e^{-ii{\phi }_0}{a}_{0,-1}=0.$$

Если же $n=6$, то имеем
$$\begin{array}{c}\dot{x}=\mu \hat{\sigma }x+x|x{|}^2{a}_1+x|x{|}^4{a}_2+{\overline{x}}^5{a}_{0,-1}+O\left(|x{|}^7\right),\\ {\mu }^{(1)}={\mu }^{(3)}={\mu }^{(2n+1)}=0,{\mu }^{(2)}{\hat{\sigma }}_0+a_1=0\text{ и }\\ {\mu }^{(4)}{\hat{\sigma }}_0+a_2+e^{-6i{\phi }_0}{a}_{0;-1}=0.\end{array}$$

Если $n>6$, то получаем ${\mu }^{(1)}={\mu }^{(3)}=0$ и, помимо (X.127), имеем второе исключительное условие, вытекающее из уравнения
$${\mu }^{(4)}{\hat{\sigma }}_0+a_2=0.$$

Предположим теперь, что выполняются оба исключительных условия; тогда получаем
$${\mu }^{(5)}\widehat{{\sigma }_0}+e^{-2i{\phi }_0}{a}_{0,-1}=0,$$

если $n=7$. Если же $n=8$, то ${\mu }^{(3)}=0$ и
$${\mu }^{(6)}{\hat{\sigma }}_0+a_2+e^{8i\phi }{a}_{0,-1}=0.$$

При выводе уравнений для $n⩾6$ предполагалось для простоты, что $\hat{\sigma },a_1,a_{0.-1}$ не зависят от $\mu$. Анализ показывает, что для реализации субгармонической бифуркации требуется выполнение исключительных условий; одно новое условие добавляется для каждого нечетного значения $n$, начиная с $n=5$. Для нечетного $n⩾5$ вычисление бифуркации подобно тому, которое было дано для $n=3$, и имеет следующие отличия. Так как ${\mu }^{(1)}=0,{\mu }^{(2)}eq0$ и ${\mu }^{(n-2)}eq0$, если $n⩾5$ нечетное, то бифуркация является односторонней, однако функция $\mu (\delta$ ) не является четной и поэтому существуют два решения с одним и тем же значением $\mu$, но с разными амплитудами $\delta$. (Здесь, может быть, необходимо предостеречь читателя от смешивания амплитуды $\delta$ с амплитудой $\epsilon$, ранее использовавшейся.)

Если $n⩾6$ четное, то вычисление бифуркации подобно тому, которое дано для $n=4$, и ответвляется два $nT$-периодических решения, если выполняется вполне определенное дополнительное неравенство, гарантирующее устойчивость.

Покажем теперь, что субгармонические решения, которые ответвляются при $n⩾5$, лежат на торе. Сначала отметим, что всегда можно определить поперечное сечение $\rho (\theta )$ тора, если не выполняются некоторые условия, которые являются даже более исключительными, чем условия, требуемые для субгармснической бифуркации с $n⩾5$. В самом деле, условие ${\mu }^{(2)}eq0$ достаточно для существования функции $\rho (\theta )$. Для субгармонической бифуркации мы должны иметь $\dot{\rho }=\dot{\theta }=0$. При выполнении этих условий уравнение $\dot{\rho }={\rho }^{\prime }(\theta )\dot{\theta }$ удовлетворяется
тождественно, и субгармонические решения лежат на торе
$$\rho (\theta ,\epsilon )=\sum _{p=1}^N{\rho }_p(\theta ){\epsilon }^p+O\left({\epsilon }^{N+1}\right),$$

где функции ${\rho }_p$ удовлетворяют уравнению (X.105) или (X.106). Точки пересечения периодического решения с замкнутой кривой $\rho (\theta ,\epsilon )$ определяются корнями, для которых $\dot{\theta }=0$, т. е. для корней значения $\theta$ таковы, что правая часть уравнения (X.107) или (X.108) обращается в нуль. Так как левая часть уравнения не содержит свободных параметров, то уравнение $\dot{\theta }=0$ определяет $2n$ точек пересечения $\theta (\epsilon )$ на замкнутой кривой $\rho (\theta ,\epsilon )$.

Полезно показать, как выполннется это вычисление в самом низком существенном порядке при $n=5$. Сначала отметим, что
$$\rho (\theta )=\epsilon +{\epsilon }^2{\rho }_2(\theta ),{\bar{\overline{\rho }}}_2=0,{\mu }_2{\hat{\xi }}_0+{\alpha }_{10}=0,$$

где ${\rho }_2(\theta )$ дается формулами (X.67) ${)}_2$ и (X.68). Теперь условие $\dot{\theta }=0$ приводит к соотношению
$${\mathrm{\Omega }}_0={\mu }_2{\hat{\omega }}_0+{\beta }_{10}=0.$$

Тогда
$$\begin{array}{rl}{\rho }_2(\theta )& =-\frac{{\alpha }_{010}}{2{\alpha }_{10}}{e}^{i\theta }-\frac{{\overline{\alpha }}_{010}}{2{\alpha }_{10}}{e}^{-\delta i\theta }=\\ & =\frac{\left|{\alpha }_{010}\right|}{{\mu }_2{\hat{\xi }}_0}\cos (5\theta +\arg {\alpha }_{010}).\end{array}$$

Первое приближение $\theta (0)={\theta }_0$ для функции $\theta (\epsilon )$ получается из условия $\dot{\theta }=0$, требование выполнения которого до членов $O\left({\epsilon }^3\right)$ приводит к соотношению
$${\mathrm{\Theta }}_1\left({\theta }_0\right)=2{\beta }_{10}{\rho }_2\left({\theta }_0\right)+{\beta }_{010}{e}^{5i{\theta }_0}+{\overline{\beta }}_{010}{e}^{-5i{\theta }_0}=0.$$

Покажем теперь, что (X.136) определяет первое приближение для десяти точек пересечения $\theta (\epsilon )$ на замкнутой кривой $\rho (\theta ,\epsilon )$. Сначала отметим, что из (Х.57) следует, что ${\alpha }_{\text{ек }}+i{\beta }_{0k}=0$, поэтому ${\beta }_{010}=i{\alpha }_{010}$ и
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Theta }}_1(\theta )& =\frac{1}{{\hat{\xi }}_0}(i{\hat{\sigma }}_0{\alpha }_{010}{e}^{5i\theta }-i{\hat{\sigma }}_0{\overline{\alpha }}_{010}{e}^{-5i\theta })=\\ & =-\frac{2}{{\hat{\xi }}_0}\left|{\hat{\sigma }}_0{\alpha }_{010}\right|\sin (5\theta +\arg {\alpha }_{010}+\arg {\hat{\sigma }}_0).\end{array}$$

Поэтому
$$5{\theta }_0+\arg {\alpha }_{010}+\arg {\hat{\sigma }}_0=k\pi ,k=0,1,2,\dots ,9,$$

и существует десять значений ${\theta }_0$. Возвращаясь теперь к (X.135) и принимая во внимание (X.138), находим, что существует два значения ${\rho }_2\left({\theta }_0\right)$ :
$$\begin{array}{rl}{\rho }_2\left({\theta }_0\right)& =\frac{\left|{\alpha }_{010}\right|}{{\mu }_2{\hat{\xi }}_0}\cos (k\pi -\arg {\hat{\sigma }}_0)=\\ & =\frac{\left|{\alpha }_{011}\right|}{{\mu }_2{\hat{\xi }}_0}\times \{\begin{array}{r}\cos (\arg {\hat{\sigma }}_0),\text{ если }k=0,2,4,6,8,\\ -\cos (\arg {\hat{\sigma }}_0),\text{ если }k=1,3,5,7,9.\end{array}\end{array}$$

Поскольку для $\mu =0$ имеем $\widehat{{\xi }_0}={\xi }_{\mu }>0,\widehat{{\omega }_0}={\omega }_{\mu },\widehat{{\sigma }_0}={\sigma }_{\mu }$, то $-\pi /2<$ $<\arg {\hat{\sigma }}_0<\pi /2$, а так как ${\mu }_2>0$ (нас интересует устойчивость, т. е. суперкритический тор), то ${\rho }_2\left({\theta }_0\right)>0$, если $k$ четное, и ${\rho }_2\left({\theta }_0\right)<0$, если $k$ нечетное. Наибольшее и наименьшее значения ${\rho }_2(\theta )$ достигаются, если ${\hat{\omega }}_0=\arg {\hat{\sigma }}_0=0$. Поэтому положения точек пересечения на замкнутой кривой $\rho (\theta )\approx \epsilon +{\epsilon }^2{\rho }_2(\theta ),\epsilon >0$, сдвинуты на угол $\arg {\hat{\sigma }}_0$ от впадин и гребней этой кривой.

Наконец, отметим, что десять точек пересечения на замкнутой кривой в поперечном сечении тора в точности совпадают с точками, определяемыми из уравнения (X. 129). Связь между амплитудой $\delta >0$, которая использована в (X.129), и параметром \& можно установить в наименышем порядке из соотношения
$$x=\delta e^{i{\phi }_0}=[\epsilon +{\epsilon }^2{\rho }_2\left({\theta }_0\right)]e^{i{\theta }_0}.$$

Отсюда следует, что существуют два значения ${\delta }_1$ и ${\delta }_2$ амплитуды $\delta$
$$\delta =\epsilon +{\epsilon }^2{\rho }_2\left({\mathrm{\Theta }}_0\right),{\phi }_0={\theta }_0,$$

которые соответствуют двум значениям ${\rho }_2\left({\theta }_0\right)$, а
$$\begin{array}{rl}\mu (\delta (\epsilon ))& ={\mu }^{(2)}{\delta }^2+{\mu }^{(3)}{\delta }^3+\dots =\\ & ={\mu }^{(2)}{\epsilon }^2+[2{\mu }^{(2)}{\rho }_2\left({\theta }_0\right)+{\mu }^{(3)}]{\epsilon }^3+O\left({\epsilon }^4\right).\end{array}$$

В разложении $\mu (\delta (\epsilon ))=\mu (\epsilon )={\mu }_2{\epsilon }^2+{\mu }_4{\epsilon }^4+\dots$ нечетные степени $\epsilon$ равны нулю. Например, в результате отождествления коэффициентов находим, что ${\mu }^{(2)}={\mu }_2$, и из (X.129) находим, что ${\mu }^{(3)}=-2{\mu }^{(2)}{\rho }_2\left({\theta }_0\right)$.