Чтобы понять, как ведут себя траектории на торе и вблизи него, необходимо рассмотреть свойства субгармонических решений на торе, порождаемые захватом частоты. Краткое обсуждение этого вопроса дано в § X.15. Здесь достаточно выявить свойства субгармонических решений на торе, который ответвляется в критической точке, если экспонентой Флоке является рациональная точка.

Пусть $\omega_{0}=2 \pi m / n T, n \geqslant 3$. Если $x$-стационарное решение уравнения (X.35), то $y(t)=e^{i \omega_{0} t} x$ есть $n T$-периодическая функция, а $Z(t)=$ $=y(t)-\gamma(t, \mu, \quad Z(t), \bar{Z}(t))$ и $\mathbf{u}(t)=Z(t) \zeta(t)+\bar{Z}(t) \bar{\zeta}(t)-\boldsymbol{\Gamma}(t, \mu$, $Z(t), \bar{Z}(t))$ представляют собой суперпозиции $T$-периодических и $n T$-периодических функций. Поэтому из стационарных решений уравнения (X.35) мы получаем некоторое приближение субгармонических решений с точностью до, членов $O\left(|x|^{N+1}\right)$.
Рассмотрим случаи $n=3$ и $n=4$ сильного резонанса:
\[
\begin{array}{ll}
n=3: & \dot{x}=\mu \hat{\sigma} x+x|x|^{2} a_{1}+\bar{x}^{2} a_{0,-1}+O\left(|x|^{4}\right), \\
n=4: & \dot{x}=\mu \hat{\sigma} x+x|x|^{2} a_{1}+\bar{x}^{3} a_{0,-1}+O\left(|x|^{5}\right) .
\end{array}
\]

Стационарные решения $x$ находим в форме (IX.68) и (IX.80). Следуя методу, использованному в гл. IX, определим некоторую амплитуду $\delta$ (прежде был введен параметр $\varepsilon$, который был определен как средний радиус профиля поперечного сечения тора, описываемый уравнением $\rho=\rho(\theta))$ и положим $x=\delta e^{i \varphi(\delta)}$ и $\mu=\mu^{(1)} \delta+\mu^{(2)} \delta^{2}+\mu^{(3)} \delta^{3}+\ldots$. Если $n=3$, то из баланса главных членов получаем уравнение
\[
\mu^{(1)} \hat{\sigma_{0}} e^{i \varphi_{0}}+e^{-2 i \varphi_{0}} a_{0,-1}=0,
\]

которое соответствует уравнению (IX.68). В критической точке по обе стороны от нее при малых $\delta$ ответвляется одно $3 T$-периодическое решение и уравнения (X.1) (см. § IX.14).
Если же $n=4$, то получаем $\mu^{(1)}=0$ и приходим к уравнению
\[
\left(\mu^{(2)} \hat{\sigma}_{0}+a_{1}\right) e^{i \varphi_{0}}+e^{-3 i \varphi_{\circ}} a_{0,-1}=0,
\]

которое соответствует уравнению (IX.80). Находим, что ответвляются два $4 T$-периодических решения и уравнения (X.1), если выполняется одно вполне определенное неравенство, вытекающее из (X.26) (см. (IX.83)).

Если $n \geqslant 5$, то приходим к случаю слабого резонанса и находим, что субгармонические решения возможны, если только выполняются исключительные условия. В первом приближении по $\delta$ находим, что $\mu^{(1)}=0$, а во втором приближении получаем уравнение
\[
\mu^{(2)} \hat{\sigma}_{0}+a_{1}=0 .
\]
$У$ равнение (X.127) не может иметь вещественного решения $\mu^{(2)}$, если $a_{1} / \hat{\sigma}_{0}$ не является вещественным числом. Отсюда получаем первое исключительное условие; оно совпадает с условием (IX.101) и имеет место для всех $n \geqslant 5$. Для $n=5$ имеем
\[
\dot{x}=\mu \hat{\sigma} x+x|x|^{2} a_{1}+\bar{x}^{4} a_{0,-1}+O\left(|x|^{6}\right) .
\]

В третьем приближении получаем
\[
\mu^{(3)} \hat{\sigma}_{v}+e^{-i i \varphi_{0}} a_{0,-1}=0 .
\]

Если же $n=6$, то имеем
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}=\mu \hat{\sigma} x+x|x|^{2} a_{1}+x|x|^{4} a_{2}+\bar{x}^{5} a_{0,-1}+O\left(|x|^{7}\right), \\
\mu^{(1)}=\mu^{(3)}=\mu^{(2 n+1)}=0, \mu^{(2)} \hat{\sigma}_{0}+a_{1}=0 \text { и } \\
\mu^{(4)} \hat{\sigma}_{0}+a_{2}+e^{-6 i \varphi_{0}} a_{0 ;-1}=0 .
\end{array}
\]

Если $n>6$, то получаем $\mu^{(1)}=\mu^{(3)}=0$ и, помимо (X.127), имеем второе исключительное условие, вытекающее из уравнения
\[
\mu^{(4)} \hat{\sigma}_{0}+a_{2}=0 .
\]

Предположим теперь, что выполняются оба исключительных условия; тогда получаем
\[
\mu^{(5)} \hat{\sigma_{0}}+e^{-2 i \varphi_{0}} a_{0,-1}=0,
\]

если $n=7$. Если же $n=8$, то $\mu^{(3)}=0$ и
\[
\mu^{(6)} \hat{\sigma}_{0}+a_{2}+e^{8 i \varphi} a_{0,-1}=0 .
\]

При выводе уравнений для $n \geqslant 6$ предполагалось для простоты, что $\hat{\sigma}, a_{1}, a_{0 .-1}$ не зависят от $\mu$. Анализ показывает, что для реализации субгармонической бифуркации требуется выполнение исключительных условий; одно новое условие добавляется для каждого нечетного значения $n$, начиная с $n=5$. Для нечетного $n \geqslant 5$ вычисление бифуркации подобно тому, которое было дано для $n=3$, и имеет следующие отличия. Так как $\mu^{(1)}=0, \mu^{(2)}
eq 0$ и $\mu^{(n-2)}
eq 0$, если $n \geqslant 5$ нечетное, то бифуркация является односторонней, однако функция $\mu(\delta$ ) не является четной и поэтому существуют два решения с одним и тем же значением $\mu$, но с разными амплитудами $\delta$. (Здесь, может быть, необходимо предостеречь читателя от смешивания амплитуды $\delta$ с амплитудой $\varepsilon$, ранее использовавшейся.)

Если $n \geqslant 6$ четное, то вычисление бифуркации подобно тому, которое дано для $n=4$, и ответвляется два $n T$-периодических решения, если выполняется вполне определенное дополнительное неравенство, гарантирующее устойчивость.

Покажем теперь, что субгармонические решения, которые ответвляются при $n \geqslant 5$, лежат на торе. Сначала отметим, что всегда можно определить поперечное сечение $\rho(\theta)$ тора, если не выполняются некоторые условия, которые являются даже более исключительными, чем условия, требуемые для субгармснической бифуркации с $n \geqslant 5$. В самом деле, условие $\mu^{(2)}
eq 0$ достаточно для существования функции $\rho(\theta)$. Для субгармонической бифуркации мы должны иметь $\dot{\rho}=\dot{\theta}=0$. При выполнении этих условий уравнение $\dot{\rho}=\rho^{\prime}(\theta) \dot{\theta}$ удовлетворяется
тождественно, и субгармонические решения лежат на торе
\[
\rho(\theta, \varepsilon)=\sum_{p=1}^{N} \rho_{p}(\theta) \varepsilon^{p}+O\left(\varepsilon^{N+1}\right),
\]

где функции $\rho_{p}$ удовлетворяют уравнению (X.105) или (X.106). Точки пересечения периодического решения с замкнутой кривой $\rho(\theta, \varepsilon)$ определяются корнями, для которых $\dot{\theta}=0$, т. е. для корней значения $\theta$ таковы, что правая часть уравнения (X.107) или (X.108) обращается в нуль. Так как левая часть уравнения не содержит свободных параметров, то уравнение $\dot{\theta}=0$ определяет $2 n$ точек пересечения $\theta(\varepsilon)$ на замкнутой кривой $\rho(\theta, \varepsilon)$.

Полезно показать, как выполннется это вычисление в самом низком существенном порядке при $n=5$. Сначала отметим, что
\[
\rho(\theta)=\varepsilon+\varepsilon^{2} \rho_{2}(\theta), \overline{\bar{\rho}}_{2}=0, \mu_{2} \hat{\xi}_{0}+\alpha_{10}=0,
\]

где $\rho_{2}(\theta)$ дается формулами (X.67) $)_{2}$ и (X.68). Теперь условие $\dot{\theta}=0$ приводит к соотношению
\[
\Omega_{0}=\mu_{2} \hat{\omega}_{0}+\beta_{10}=0 .
\]

Тогда
\[
\begin{aligned}
\rho_{2}(\theta) & =-\frac{\alpha_{010}}{2 \alpha_{10}} e^{i \theta}-\frac{\bar{\alpha}_{010}}{2 \alpha_{10}} e^{-\delta i \theta}= \\
& =\frac{\left|\alpha_{010}\right|}{\mu_{2} \hat{\xi}_{0}} \cos \left(5 \theta+\arg \alpha_{010}\right) .
\end{aligned}
\]

Первое приближение $\theta(0)=\theta_{0}$ для функции $\theta(\varepsilon)$ получается из условия $\dot{\theta}=0$, требование выполнения которого до членов $O\left(\varepsilon^{3}\right)$ приводит к соотношению
\[
\Theta_{1}\left(\theta_{0}\right)=2 \beta_{10} \rho_{2}\left(\theta_{0}\right)+\beta_{010} e^{5 i \theta_{0}}+\bar{\beta}_{010} e^{-5 i \theta_{0}}=0 .
\]

Покажем теперь, что (X.136) определяет первое приближение для десяти точек пересечения $\theta(\varepsilon)$ на замкнутой кривой $\rho(\theta, \varepsilon)$. Сначала отметим, что из (Х.57) следует, что $\alpha_{\text {ек }}+i \beta_{0 k}=0$, поэтому $\beta_{010}=i \alpha_{010}$ и
\[
\begin{aligned}
\Theta_{1}(\theta) & =\frac{1}{\hat{\xi}_{0}}\left(i \hat{\sigma}_{0} \alpha_{010} e^{5 i \theta}-i \hat{\sigma}_{0} \bar{\alpha}_{010} e^{-5 i \theta}\right)= \\
& =-\frac{2}{\hat{\xi}_{0}}\left|\hat{\sigma}_{0} \alpha_{010}\right| \sin \left(5 \theta+\arg \alpha_{010}+\arg \hat{\sigma}_{0}\right) .
\end{aligned}
\]

Поэтому
\[
5 \theta_{0}+\arg \alpha_{010}+\arg \hat{\sigma}_{0}=k \pi, \quad k=0,1,2, \ldots, 9,
\]

и существует десять значений $\theta_{0}$. Возвращаясь теперь к (X.135) и принимая во внимание (X.138), находим, что существует два значения $\rho_{2}\left(\theta_{0}\right)$ :
\[
\begin{aligned}
\rho_{2}\left(\theta_{0}\right) & =\frac{\left|\alpha_{010}\right|}{\mu_{2} \hat{\xi}_{0}} \cos \left(k \pi-\arg \hat{\sigma}_{0}\right)= \\
& =\frac{\left|\alpha_{011}\right|}{\mu_{2} \hat{\xi}_{0}} \times\left\{\begin{array}{r}
\cos \left(\arg \hat{\sigma}_{0}\right), \text { если } k=0,2,4,6,8, \\
-\cos \left(\arg \hat{\sigma}_{0}\right), \text { если } k=1,3,5,7,9 .
\end{array}\right.
\end{aligned}
\]

Поскольку для $\mu=0$ имеем $\hat{\xi_{0}}=\xi_{\mu}>0, \hat{\omega_{0}}=\omega_{\mu}, \hat{\sigma_{0}}=\sigma_{\mu}$, то $-\pi / 2<$ $<\arg \hat{\sigma}_{0}<\pi / 2$, а так как $\mu_{2}>0$ (нас интересует устойчивость, т. е. суперкритический тор), то $\rho_{2}\left(\theta_{0}\right)>0$, если $k$ четное, и $\rho_{2}\left(\theta_{0}\right)<0$, если $k$ нечетное. Наибольшее и наименьшее значения $\rho_{2}(\theta)$ достигаются, если $\hat{\omega}_{0}=\arg \hat{\sigma}_{0}=0$. Поэтому положения точек пересечения на замкнутой кривой $\rho(\theta) \approx \varepsilon+\varepsilon^{2} \rho_{2}(\theta), \varepsilon>0$, сдвинуты на угол $\arg \hat{\sigma}_{0}$ от впадин и гребней этой кривой.

Наконец, отметим, что десять точек пересечения на замкнутой кривой в поперечном сечении тора в точности совпадают с точками, определяемыми из уравнения (X. 129). Связь между амплитудой $\delta>0$, которая использована в (X.129), и параметром \& можно установить в наименышем порядке из соотношения
\[
x=\delta e^{i \varphi_{0}}=\left[\varepsilon+\varepsilon^{2} \rho_{2}\left(\theta_{0}\right)\right] e^{i \theta_{0}} .
\]

Отсюда следует, что существуют два значения $\delta_{1}$ и $\delta_{2}$ амплитуды $\delta$
\[
\delta=\varepsilon+\varepsilon^{2} \rho_{2}\left(\Theta_{0}\right), \quad \varphi_{0}=\theta_{0},
\]

которые соответствуют двум значениям $\rho_{2}\left(\theta_{0}\right)$, а
\[
\begin{aligned}
\mu(\delta(\varepsilon)) & =\mu^{(2)} \delta^{2}+\mu^{(3)} \delta^{3}+\ldots= \\
& =\mu^{(2)} \varepsilon^{2}+\left[2 \mu^{(2)} \rho_{2}\left(\theta_{0}\right)+\mu^{(3)}\right] \varepsilon^{3}+O\left(\varepsilon^{4}\right) .
\end{aligned}
\]

В разложении $\mu(\delta(\varepsilon))=\mu(\varepsilon)=\mu_{2} \varepsilon^{2}+\mu_{4} \varepsilon^{4}+\ldots$ нечетные степени $\varepsilon$ равны нулю. Например, в результате отождествления коэффициентов находим, что $\mu^{(2)}=\mu_{2}$, и из (X.129) находим, что $\mu^{(3)}=-2 \mu^{(2)} \rho_{2}\left(\theta_{0}\right)$.